Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Sở GD và ĐT Phú Thọ (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ ĐỀ THI HỌC SINH LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Đề có 03 trang PHẦN I: TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm). Chọn phương án trả lời đúng xx2 1. Qxxxxxx 654322 2 2 2 21 Câu 1: Cho Giá trị biểu thức bằng A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 2 Câu 2: Số dư trong phép chia xxxx 3 5 7 9 2038 cho xx 12 30 bằng A. 1. B. 2038. C. 0. D. 2023. xaxaaax2 2 2 22 1 Câu 3: Giá trị của phân thức A tại x 20232022 và a 5 bằng xaxaaax2 2 2 22 1 5 31 2019 5 A. . B . . C. . D. . 4 21 5 20232022 12 Câu 4: Phân thức A có giá trị nhỏ nhất khi giá trị của x bằng: xx2 46 A. 2 . B . 4 . C. 2 . D. 2 và 1. abc Câu 5: Giá trị biểu thức C với abc 1 bằng 1 a ab 11 b bc c ca A. 1. B . 2 . C. 2. D. 1. Câu 6: Tổng các nghiệm của phương trình x 23 4 xx 2 4 x 4 0 là 1 1 11 11 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 xm x5 Câu 7: Cho phương trình 2 (ẩn x , tham số m ). Điều kiện của m để phương x 5 xm trình có một nghiệm duy nhất là A. m 5. B. m 5. C. m 5 . D. m 5. 33 Câu 8: Số nghiệm của phương trình: xx 3 1 36 là: A. 1. B. 4 . C. 2 . D. 3 . Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD , dựng AH vuông góc với BD( H∈ BD) biết HD 9 cm và HB 16 cm . Diện tích hình chữ nhật ABCD bằng A. 300cm 2 . B. 280cm 2 . C. 302cm 2 . D. 310cm 2 . Câu 10: Cho hình bình hành ABCD , dựng AE vuông góc với CD và AF vuông góc với CB ( EF; thứ tự thuộc các cạnh CD và BC), Biết AC 25 cm và EF 24 cm . Khoảng cách từ A đến trực tâm H của tam giác AEF bằng Trang 1 / 15
2. A. 5cm . B. 7cm . C. 8cm . D. 1cm . Câu 11: Cho hình thangABDC( AB // CD ) có đường trung bình bằng 7cm ; độ dài đáy AB 4 cm khi đó đáy CD bằng A. 4cm . B. 10cm . C. 7cm . D. 18cm . Câu 12: Cho tam giác ABC có AB 6, cm AC 8 cm . Các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Độ dài BC là 3 5 5 A. . B.25. C. . D. . 2 2 3 Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A ; đường cao AH vuông góc với BC, H BC . Biết HB 9 cm , HC 16 cm . Độ dài cạnh AB, AC lần lượt là A. 15cm và 20cm. B. 12 cm và 23cm. C. 14cm và 21cm. D. 18cm và 17cm. Câu 14: Trong tam giác ABC , đường trung tuyến AM M BC , K là một điểm nằm trên AK 1 đoạn thẳng AM sao cho , BK cắt AC ở N . Biết diện tích tam giác ABC bằng KM 2 60cm 2 , khi đó diện tích tam giác AKN là A. 20cm 2 . B. 30cm 2 . C. 3cm 2 . D. 2cm 2 . Câu 15. Số bàn thắng ghi được trong mỗi trận đấu (không tính loạt sút luân lưu) của một giải bóng đá được ghi lại trong bảng sau: Số bàn thắng 0 1 2 3 4 5 Số trận 4 7 8 9 2 2 Hỏi trong giải đấu đó có thể có nhiều nhất bao nhiêu trận đấu kết thúc với tỉ số hòa (trong 90 phút thi đấu chính thức)? A.32. B.4. C. 7. D. 14. Câu 16: Trong một kì thi Hội khỏe Phù Đổng trường A có 12 học sinh giành được các giải thưởng, trong đó: 7 học sinh giành được ít nhất 2 giải, 4 học sinh giành được ít nhất 3 giải, 2 học sinh giành được số giải nhiều nhất, mỗi em 4 giải. Số giải trường A giành được là: A. 26 . B. 25 . C. 24 . D. 23 . II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1. (3,0 điểm) a) Tìm tất cả các số tự nhiên n để Bn 4227 n 121là số nguyên tố b) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: xx24 41 y. c) Biết ab; là các số nguyên dương thỏa mãn a22−+ ab b chia hết cho 9, chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3. Trang 2 / 15
3. Câu 2. (4,0 điểm) 112 a) Cho hai số thực khác nhau ab, thóa mãn: , ab22 111 ab 11 Tính giá trị của biểu thức: M . ab2023 112023 222 xx 33 79 x 6 0. b) Giải phương trình 2 xx 22 x 4 c) Tìm ab, để f x ax32 bx10 x 4 chia hết cho đa thức gx x2 x 2 . Câu 3. (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. a) Chứng minh: ABD ACE b) Chứng minh: CH CE CDCA c) Kẻ EK AC tại K; DI EC tại I. Chứng minhAH// IK 1 d) Chứng minh SS EIK 4 ABC Câu 4 (1 điểm). Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện xy 6.Tìm giá trị nhỏ nhất 68 của biểu thức M 32 xy  xy Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!!! Hết Họ và tên: . SBD: Trang 3 / 15
4. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI SỞ GD&ĐT PHÚ THỌ NĂM HỌC 2022-2023 Môn: Toán 8 Thời gian làm bài: 150 phút Đề chính thức ( không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM (Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm) Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Đ.A D D B C D A C C A B C B A D D C Hướng dẫn chi tiết xx2 1. 65432 Câu 1: Cho Giá trị biểu thức Qxxxxxx 2 2 2 2 21 là A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Lời giải Ta có xx22 1 xx 1 0. Ta có Qxxxxxx 654322 2 2 2 21 Qxxx 42 1 xxx32 12 xxx22 1 xxx 2 13 xx2 144 Chọn D. 2 Câu 2: Số dư trong phép chia xxxx 3 5 7 9 2038 cho xx 12 30 là A. 1 B. 2038 C. 0 D. 2023 Lời giải Ta có: xxxx 3 5 7 9 2035 xx22 12 27 xx 12 35 2035 Đặt xx2 12 30 a ta có xx22 12 27 xx 12 35 2035 aa2 2 2023 Chọn D. xaxaaax2 2 2 22 1 Câu 3: Giá trị của phân thức A tại x 20232022 và a 5 là: xaxaaax2 2 2 22 1 5 31 2019 5 A. B . C. D. 4 21 5 20232022 Lời giải 22 xaxaaax2 2 2 22 11 x 11 aa aa2 Ta có: A . xaxaaax2 2 2 22 11 x22 11 aa aa2 Trang 4 / 15
5. Chọn B. 12 Câu 4: Phân thức A có giá trị nhỏ nhất khi giá trị của x bằng: xx2 46 A. 2 B . 4 C. 2 D. 2 và 1 Lời giải 12 12 A Ta có: 22. Chọn C. xx 46 x 22 abc Câu 5: Giá trị biểu thức C (với abc 1) là : 1 a ab 11 b bc c ca A. 1 B . 2 C. 2 D. 1 Lời giải Ta có: abc a b bc C 1 a ab 11 b bc c ca abc a ab1 b bc b bc bca 1 b bc 1. Chọn D. bc b11 b bc 1 b bc Câu 6: Tổng các nghiệm của phương trình x 23 4 xx 2 4 x 4 0 là 1 1 11 11 A. B. C. D. 3 3 3 3 Lời giải Ta có: x 2 3 4 x x22 4 x 4 0 3xx 10 0. Chọn A. xm x5 Câu 7: Cho phương trình 2 (ẩn x , tham số m ). Điều kiện của m để phương x 5 xm trình có một nghiệm duy nhất là A. m 5 B. m 5 C. m 5 D. m 5 Lời giải x 5 Điều kiện . xm xm x5 2 2xm 5 m2 10 m 25 0 . x 5 xm m 5 m 5 Để phương trình có nghiệm duy nhất thì 55 m . Chọn C. 2 m 5 m 2 33 Câu 8: Số nghiệm của phương trình: xx 3 1 36 là: A. 1 B. 4 C. 2 D. 3 Lời gi ải Trang 5 / 15
6. 33 x 3 x 1 36 6 xx2 24 10 0 . Chọn C. Câu 9: Cho hình chữ nhật ABCD , dựng AH vuông góc với BD( H∈ BD) biết HD 9 cm và HB 16 cm . Diện tích hình chữ nhật ABCD là A. 300cm 2 B. 280cm 2 C. 302cm 2 D. 310cm 2 Lời giải A B H D C 2 Ta có AH HD. HB AH 12 SABCD 2 S ADB 300 . Chọn A. Câu 10: Cho hình bình hành ABCD , dựng AE vuông góc với CD và AF vuông góc với CB ( EF; thứ tự thuộc các cạnh CD và BC), Biết AC 25 cm và EF 24 cm . Khoảng cách từ A đến trực tâm H của tam giác AEF là A. 5cm B. 7cm C. 8cm D. 1cm Lời giải A K B H F D E C Dựng CK AB , ta có AKCE là hình chữ nhật nên AC EK , CEHF và AHFK là hình bình hành và, nên AH KF , Mặt khác KFE 90 , theo Pytago ta có: KF EK22 EF 7 . Chọn B. Câu 11: Cho hình thangABDC( AB // CD ) có đường trung bình bằng 7cm ; độ dài đáy AB 4 cm khi đó đáyCD bằng A. 4cm B. 10cm C. 7cm D. 18cm Trang 6 / 15
7. Lời giải A B N M C D Ta có: DC 2 MN AB10 cm . Chọn B. Câu 12: Cho tam giác ABC có AB 6, cm AC 8 cm . Các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau. Độ dài BC là 3 5 5 A. . B.25. C. . D. . 2 2 3 A E D M B C Lời giải 22xy Đặt BD x, CE y BM x,, MD CM y , ME 3 33 3 AB AC Ta có EB , DC . 22 AB2 y 244 x 2 AC 2 y 22 x Theo Py ta go ta có: , . 4 994 99 AB22 AC55 BM 2 CM 2 AB22 AC5 BC 2 BC 25. Chọn B 44 4 4 Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A ; đường cao AH vuông góc với BC, H BC . Biết HB 9 cm , HC 16 cm . Độ dài cạnh AB, AC lần lượt là A. 15cm và 20cm. B. 12 cm và 23cm. C. 14cm và 21cm. D. 18cm và 17cm. Trang 7 / 15
8. Lời giải B H A C Ta có AH2 HB. HC AH 12 . Theo Pytago ta có AB 15, AC 20. Chọn A. Câu 14: Trong tam giác ABC , đường trung tuyến AM M BC , K là một điểm nằm trên AK 1 đoạn thẳng AM sao cho , BK cắt AC ở N . Biết diện tích tam giác ABC bằng KM 2 60cm 2 , khi đó diện tích tam giác AKN là A. 20cm 2 . B. 30cm 2 . C. 3cm 2 . D. 2cm 2 . Lời giải A N K I B C M AK NK AN 1 Ta có AKN# MKI (g-g) nên . KM KI MI 2 CN AN 1 Ta có MI . 25AC SS ACM 1 AKC AK 11 S AKN AN 1 Ta có SS ACB 2;ACM SS AKC ACM ; S ACB 2 SAMC AM 33S AKC AC 5 1 11 111 60 Ta có: SS .S S 2cm 2 . Chọn D. ANK 5AKC 53AMC 532ABC 30 Trang 8 / 15
9. Câu 15. Số bàn thắng ghi được trong mỗi trận đấu (không tính loạt sút luân lưu) của một giải bóng đá được ghi lại trong bảng sau: Số bàn thắng 0 1 2 3 4 5 Số trận 4 7 8 9 2 2 Hỏi trong giải đấu đó có thể có nhiều nhất bao nhiêu trận đấu kết thúc với tỉ số hòa (trong 90 phút thi đấu chính thức)? A.32. B.4. C. 7. D. 14. Lời giải Số trận đấu kết thúc với tỉ số hòa thì số bàn thắng có thể là 0,2,4 vậy có thể có tối đa 14 trận hòa Chọn D. Câu 16: Trong một kì thi Hội khỏe Phù Đổng trường A có 12 học sinh giành được các giải thưởng, trong đó: 7 học sinh giành được ít nhất 2 giải, 4 học sinh giành được ít nhất 3 giải, 2 học sinh giành được số giải nhiều nhất, mỗi em 4 giải. Số giải trường A giành được là: A. 26 . B. 25 . C. 24 . D. 23 . Lời giải Số học sinh được 4 giải là 2 em. Số học sinh được dành được 3 giải là 2 em Số học sinh được 2 giải là 3 em Số học sinh được 1 giải là 4 em Vậy tổng số giải của trường A là: 24 giải . Chọn C Trang 9 / 15
10. Phần II: TỰ LUẬN (12 điểm) Nội dung Điểm Câu 1 (3,0 điểm). a) Tìm tất cả các số tự nhiên n để Bn 4227 n 121là số nguyên tố b) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: xx24 41 y 3,0 c) Biết ab; là các số nguyên dương thỏa mãn a22−+ ab b chia hết cho 9, chứng minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3. n Bn 4227 n 121 a) Tìm tất cả các số tự nhiên để là số nguyên tố 1,0 Ta có Bnn=42 −27 + 121 =( nn 42 + 22 + 121) − 49 nn 22 =( ++ 11 7 nnn)( 2 +− 11 7 ) 0,25 Với n = 0 , không thỏa mãn 0,25 Với nN∈ * thì n22++11 7 nn > +− 11 7 n Do đó để B là số nguyên tố thì điều kiện cần để B là số nguyên tố là 2 0,25 nn−7 + 11 =⇔= 1 nn 5; = 2 Thử lại ta có nn=5, = 2 thỏa mãn Bn 4227 n 121 là số nguyên tố. 0,25 b) Giải phương trình nghiệm nguyên sau: xx24 41 y 1,0 2 Ta có: x2 41 x y 4 x 2 y 4 3 x 2 yx22 2 y 3 0,25 Do x 22 yx22 ynên ta có: 2 2 0,5 xy 23 xy 21 ()I hoặc ()II xy 21 2 xy 232 Từ (I) và (II) ta tìm được: (;xy ) 4; 1, 4;1,0;1,0; 1  0,25 c) Biết ab; là các số nguyên dương thỏa mãn a22−+ ab b chia hết cho 9, chứng 1,0 minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3. a22++ ab b 9 ⇒49a22 ++ ab b ⇒ −+2 2 Ta có: ( ) ( ) (2ab) 39 b (1) 0,25 Trang 10 / 15
11. 2 − 2 − 2 Mà 33b  nên ()23ab mà 3 là số nguyên tố nên ()23ab−  nên ()29ab .(2) 0,25 Từ ()1 và ()2 ⇒ 39b2 ⇒ b2 3 mà 3 là số nguyên tố ⇒ b 3 .    ()23ab−  và b3 ⇒ 23a mà ()2;3= 1 nên a3. 0,25 Vậy cả a vàb đều chia hết cho 3. Câu 2. 112 a) Cho hai số thực khác nhau ab, thóa mãn: , ab22 111 ab 11 Tính giá trị của biểu thức: M 4,0 ab2023 112023 222 xx 33 79 x 6 0. b) Giải phương trình 2 xx 22 x 4 32 2 c) Tìm ab, để f x ax bx10 x 4 chia hết cho đa thức gx x x 2 112 a) Cho hai số thực khác nhau ab, thóa mãn: , ab22 111 ab 11 1,5 Tính giá trị của biểu thức: M ab2023 112023 112 11 11 Xét: 0 ab22 1111 ab a2 1 ab b2 1 1 ab 0,25 22 11 ab a 1 ab b 1 ab a22ab b 00 a2 11 ab b 2 11 ab a 22 11 ab b 1 1 ab ab a ba b ab b a 00 22 a22 11 ab b 11 ab 1 ab ba 11 22 0,5 ba ba ab 22 ab abba ba ab 00 11 ab 22 ab 22 ba 11 ba 11 2 abab a b ab a b ab 1 0. 0 0,5 11 ab 22 ab 22 b 11 a ba 11 Trang 11 / 15
12. TH1: ab 0 a b(Loại) vì ab 1 11 TH2: ab 1 a thay vào biểu thức: M b ab2023 112023 11bb2023 12023 1 0,25 M 1. 2023 bbbb2023 11112023 2023 2023 1 1 b 222 xx 33 79 x 6 0. 1,5 a) Giải phương trình 2 xx 22 x 4 ĐKXĐ: x 2 xx 33 xx 33 x2 9 ab  Đặt ab; 2 , ta có xx 22 xx 22x 4 0,25 ababababab22 6 7 0 ( )( 6 ) 0 hoặc ab 6 xx 33 V ớ i ab ta có: (xx 3)( 2) ( xx 2)( 3) xx 22 xx22 56 xx 56 0,5 10x 0 x 0 (thỏa mãn ĐKXĐ). xx 33 Với ab 6 , ta có: 6 (xx 3)( 2) 6( xx 2)( 3) xx 22 xx22 5 6 6 x 30 x 36 5xx2 35 30 0 xx2 7 60 0,5 (xx 1)( 6) 0 x 1 (thỏa mãn ĐKXĐ) hoặc x 6 (thỏa mãn ĐKXĐ). Vậy tập nghiệm của phương trình là S {0; 1; 6} 0,25 32 2 b) Tìm ab, để f x ax bx10 x 4 chia hết cho đa thức gx x x 2 1,0 Ta có: gx x2 x2 x 12 x . 0,25 f x ax32 bx10 x 4 chia hết cho gx nên 0,25 f x ax32 bx 10 x 4 x 1 x 2 . Q x Với x 1 và x 2 ta có ab 6 và 8ab 4 24 0 ab 4; 2 0,25 Trang 12 / 15
13. Vậy để f x ax32 bx10 x 4 chia hết cho đa thức gx x2 x 2 thì 0,25 ab 4; 2. Câu 3. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao BD và CE cắt nhau ở H. a) Chứng minh ABDá ACE b) Chứng minh CH CE CDCA c) Kẻ EK AC tại K; DI EC tại I. Chứng minhAH// IK 4,0 1 d) Chứng minh SS EIK 4 ABC A K D E H I B C a) Chứng minh ABDá ACE 1,0 Có BD là đường cao của tam giác ABC 0  BD AC BDA BDC 90 0,25 Có CE là đường cao của tam giác ABC 0 0,25  CE AB CEB CEA 90 Xét tam giác ABD& ACE có 0,25 BDA CEA 900 . BAC chung ABDá ACE(.) g g 0,25 b) Chứng minh CH CE CDCA 1,0 Xét tam giác CHD và tam giác CHE có 0,5 Trang 13 / 15
14.  ECA chung  CHDá CAE(.) g g CDH CEA 900  CH CD CH CE CDCA 0,5 CA CE c) Kẻ EK AC tại K; DI EC tại I. Chứng minhAH// IK 1,0 0 Xét CID và CKE có:CID CKE 90 ICD chung CIDá CKE (g-g) 0,25 CI CD CD CH (1) mà CH CE CDCA (cm b) (2) 0,25 CK CE CE CA CI CH CI CK Từ (1), (2) CK CA CH CA 0,25 CI CK Xét CAH có: (cmt) CH CA IK// AH ( ĐL Ta-lét đảo) 0,25 1 d) Chứng minh SS 1,0 EIK 4 ABC Có IK// AH (cm c) KIE AHE (đồng vị) 0,25 Mà ABC AHE (cùng phụ với EAH ) ABC KIE Xét EIK và ABC có: KIE ABC (cmt) IEK BAC (cùng phụ với AEK ) 0,25 EIKá ABC (g-g) 2 S EK EK 2 EIK 2 SABC AC AC Chứng minh: AEKá ECK (g-g) 0,25 AK EK EK2 AK. CK EK CK 2 S AK. CK 4. AK CK AK CK AC 2 1 EIK 22 2 2 0,25 SABC AC4 AC 44 AC AC 4 Dấu “=” xảy ra AK CK . Trang 14 / 15
15. Câu 4. (1 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện xy 6.Tìm giá trị nhỏ 68 1,0 nhất của biểu thức M 32 xy  xy 6 8 12 16 Ta có 2M 23 x 2 y 3 xy 3 x y 0,25 xy x y Từ giả thiết và theo BĐT Cô – si, ta có: 12 12 16 16 0,25 3 xy 3.6 18; 3 x 2 3 x . 12; y 2 y . 8 x x yy Do đó, 2MM 18 12 8 38 19 0,25 Vậy minM = 19. Dấu “=” xảy ra khi x = 2; y = 4. 0,25 Chú ý: Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa Trang 15 / 15