Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Hạ Hòa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Hạ Hòa (Có đáp án)

1. Ề Í Ứ – 2016 Môn: Toán ( làm bài: - Đề có r ) Bài 1(3 đ ểm): a) Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình: x + xy + y = 9. b) Với a, b là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu 4a22 + 3ab 11b chia hết cho 5 thì ab44 chia hết cho 5. Bài 2( đ ểm): a) Cho f( x ) ( x3 12 x 31) 2015 . Tính f (a) với a 33 16 8 5 16 8 5 . xy44 1 b) Cho a, b, x, y là các số thực thoả mãn: xy22 1 và . a b a b xy2016 2016 2 Chứng minh rằng: a1008 b 1008() a b 1008 Bài 3 ( đ ể ) a) Giải phương trình: 2x 3 5 2 x 3 x2 12 x 14 4xy22 2 2 b) Giải hệ phương trình sau : 2 x xy 2 Bài 4 (7 đ ể ) Cho đường tròn tâm O, đường kính BC cố định và một điểm A chuyển động trên nửa đường tròn (A khác B và C). Hạ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A dựng hai nửa đường tròn tâm P đường kính HB và tâm Q đường kính HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F. a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC. b) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh rằng ba điểm I, A, K thẳng hàng. AH 3 c) Chứng minh tỷ số không đổi. BC BE CF d) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác PEFQ đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị đó. Bài 5 ( đ ể ) 1 1 1 Cho x;y;z dương sao cho 6 x y y z z x 1 1 1 Tìm giá trị lớn nhất của P . 3x 3y 2z 3y 3z 2x 3z 3x 2y HẾT
2. Ư Ẫ ẤM ĂM -2016 M«n To¸n 9 C©u Néi dung Chia đ ể I.a a. , đ ể 0,75 - Từ (gt) ta có :(x + 1)(y + 1) = 10 ; vì 10 = 1.10 = 2.5 - Vì x,y N 0,75 - Lập bảng ta tìm được 4 nghiệm (x ;y) =(0 ;9) ;(9 ;0) ;(1 ;4) ;(4 ;1) I.b b. , đ ể - Ta có : 0,5 4a2 3ab 11b 2 5 5a 2 5ab 10b 2 a 2 2ab b 2 5 0,25 a22 2ab b 5 2 0,5 a b 5 a b 5 ( Vì 5 là số nguyên tố) 0,25 - Ta có:a4 b 4 a 2 b 2 a b a b 5 (đpcm) âu a( đ ể ) II a 3316 8 5 16 8 5 0,5 0,5 a3 32 33 (16 8 5)(16 8 5).(33 16 8 5 16 8 5) 0,5 aa3 32 3.( 4). aa3 32 12 aa3 12 32 0 0,5 aa3 12 31 1 fa( ) 12015 1 Câu b( đ ể ) x 4 y 4 (x 2 y 2 )2 Ta cã: (x2 y 2 )2 1 nªn a b a b b(a b)x4 a(a b)y 4 ab(x4 2x2 y 2 y 4 ) b2 x4 a2 y 4 2abx 2 y 2 0 1 (bx 2 ay 2 )2 0 Tõ ®ã: x 2 y 2 x 2 y 2 1 xy2016 2016 1 xy2016 2016 2 1008 1008 1008 1008 1008 1008 a b a b a b a b() a b a b() a b KL: 1 III âu a( đ ể ) Gi¶i ph•¬ng tr×nh: 2x 3 5 2 x 3 x2 12 x 14 §K: 1,5 x 2,5 0,5 + Sö dông bÊt ®¼ng thøc c« si hoÆc Bu nhi a ®¸nh gi¸ VT 2 + §¸nh gi¸ VP 2 0,75 VT 2 2xx 3 5 2 Do ®ã: PT x 2 VP 2 x 2 0,75 KL. III âu b( đ ể )
3. Từ (gt) ta có :3x2-xy -2y2 =0 (x-y)(3x+2y)=0  x=y hoặc x = 2 y 1 3 - Nếu x = y thay vào (1) ta được x = 1 ;x = -1 1 - Nếu x = y Thay vào hệ ta được hệ vô nghiệm KL : Hệ phương trình có 2 nghiệm (x ;y) =(1 ;1) ;(-1 ;-1). IV N K A F M I E B C P H O Q IV Câu a(1 đ ể ) XÐt tam gi¸c vu«ng ABH cã HE  AB AB.AE = AH2 (1) 0,5 XÐt tam gi¸c vu«ng ACH cã HF AC AC.AF = AH2 (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra AE.AB = AF.AC. 0,5 IV Gãc IAH b»ng 2 lÇn gãc BAH Gãc KAH b»ng 2 lÇn gãc CAH Suy ra gãc IAH + gãc KAH =2( gãc BAH + gãc CAH) = 1800 Suy ra I, A vµ K th¼ng hµng IV âu ( đ ể ) Ta có: AH2 = BH.CH AH4 = BH2 .CN2 = BE.BA.CF.CA = AH 3 BE.CF.AH.BC AH3 = BE.CF.BC = 1 BE CE BC IV âu d( đ ể ) 11 BC S = (PE FQ ). FE BC . FE . Mà FE PQ hay FE PQFE 24 2 BC 2 SPQFE Dấu đẳng thức xảy ra khi A là điểm chính giữa của nửa 8 đường tròn tâm O, đường kính BC. V ( đ ể ) HD Áp dụng BĐT + với a; b là các số dương. Ta có:
4. + ) = + ) + )+ + )] = + ) Tương tự + ) + ) Cộng từng vế của bất đẳng thức ta được: + ) + + ) = + + ) =