Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Vĩnh Lộc (Có đáp án)

1. TRUNG TÂM GIA SƯ UBND HUYỆN VĨNH LỘC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) Cho biểu thức P = 3 x 9 x 3 x 1 x 2 x x 2 x 2 x 1 a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P b. Tìm x để P < 0 Bài 2: (4,0 điểm) 2 a. Giải phương trình: x7 x 6 x 5 3 0 . 11 b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng ab.4 ab Bài 3: (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương 2 2 2 b. Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x y z Chứng minh A = xy chia hết cho 12 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA', BB', CC'. a. Chứng minh Δ A C 'C Δ A B 'B b. Trên BB' lấy M, trên CC' lấy N sao cho AMCANB 900 . Chứng minh rằng AM = AN. c. Gọi S, S' lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A'B'C'. 222 S ' Chứng minh rằng c o sABC c o s c o s 1 S Bài 5: (2,0 điểm) 34 Cho x, y là các số dương thỏa mãn xy . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 35 28 A34 x y 57xy
2. TRUNG TÂM ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9 Bài Nội dung cần đạt Điểm Câu a: (2,0 điểm) - Tìm được ĐKXĐ: x 0,x 1 0,5 - Ta có 3x 9 x 3 x 1 x 2 0,5 x x2 x 2 x 1 3x 3 x 3 ( x 1)( x 1)( x 2)( x 2) (x 2)( x 1)( x 2)( x 1) ( x 2)( x 1) 3x 3 x 3 x 1 x 4 0,5 (xx 2 )( 1) xx32 1 (xx 2 )( 1) (x 2 )( x 1) x 1 0,5 (x 2 )( x 1) x 1 Câu b: (2,0 điểm) - Ta có: P < 0 x 1 0,5 0 x 1 x1 0 ( d o x 1 0 ) x 1 1,0 x 1 0,5 - Kết hợp với ĐKXĐ ta được: Với 01x thì P < 0. Câu a: (2,0 điểm) 2 Giải phương trình: x7 x 6 x 5 3 0 . - ĐKXĐ x 5 . - Ta có 0,25 2 x7 x 6 x 5 3 0 2 x8 x 1 6 x 5 6 x 5 9 0 2 2 xx4 5 3 0
3. TRUNG TÂM 2 2 - Vì xx4 0 ; 5 3 0 nên 1,0 2 x 40 2 x 5 3 0 x 40 0,5 x 5 3 0 x 4 0,25 (thỏa mãn ĐKXĐ) - Nghiệm của phương trình đã cho là x = 4 Câu b: (2,0 điểm) 2 11 Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng ab.4 ab 0,75 - Ta có 11 ab ab.2 a b b a 0,75 - Vì a,b >0.nên áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương a b a b 2 . 2 b a b a 0,5 - Do đó Câu a: (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên n sao cho A = n 2 + n + 6 là số chính phương 2 - Để A là số chính phương thì A = n + n + 6 = a (a N ) 0,25 22 4n 4 n 2 4 4 a 0,5 2 22 3 - Ta có: n + n + 6 =a 2an 2 1 2 3 2a 2 n 1 . 2 a 2 n 1 2 3 0,5 - Vì a, n là các số tự nhiên nên (2a +2n +1) là số tự nhiên và 2a + 2n + 1 > 2a – 2n -1. Do đó 0,25
4. TRUNG TÂM 2an 2 1 2 3 2an 2 1 1 4a 2 4 4n 2 0 a 6 n 5 0,5 - Vậy n = 5 Câu b: (2,0 điểm) 2 2 2 Cho các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x y z Chứng minh A = xy chia hết cho 12 - Xét phép chia của xy cho 3 1,0 Nếu xy không chia hết cho 3 thì x 1(m o d 3 ) y 1(m o d 3 ) 2 x 1(m o d 3 ) (Vô lí) 2 y 1(m o d 3 ) 2 2 2 z x y 2 (m o d 3 ) Vậy xy chia hết cho 3 (1) - Xét phép chia của xy cho 4 Nếu xy không chia hết cho 4 thì x 1(m o d 4 ) 0,5 y 1(m o d 4 ) 2 TH1: x 1(m o d 4 ) (vô lí ) y 2 1(m o d 4 ) z2 x 2 y 2 2 (m o d 4 ) TH2: Trong hai số x,y một số chia 4 dư 2, một số chia 4 dư 1 hoặc -1. Không mất tính tổng quát giả sử
5. TRUNG TÂM x 1(m o d 4 ) y 2 (m o d 4 ) 2 x 1(m o d 8 ) ( vô lí) y 2 4 (m o d 8 ) z2 x 2 y 2 5 (m o d 8 ) 0,5 - Vậy xy chia hết cho 4 (2) - Từ (1) và (2): Vậy xy chia hết cho 12 A B' C N M B C 4 A' Câu a (2,0 điểm): Chứng minh Δ A C 'C Δ A B 'B - Xét ΔAC'C;ΔAB'B có Góc A chung 2,0 BC ' ' 9 0 0 Suy ra: Câu b (2,0 điểm): Chứng minh AM = AN. 0,5 - Xét AMC vuông tại M đường cao MB' AMABAC2 '. 0,5 - Xét ANB vuông tại N đường cao NC' 0,5
6. TRUNG TÂM ANACAB2 '. 0,5 - Theo câu a ta có AB'.AC = AC'.AB - Do đó: AM = AN 222 S ' Câu c: (2,0 điểm) Chứng minh c o sABC c o s c o s 1 S 0,5 2 S AB ' - Chỉ ra được ABC'' c o s 2 A SAB ABC S 2 - Tương tự BAC'' c o s B S ABC 0,5 S 2 CAB'' c o s C S ABC - Do đó: 0,5 222SSS c o sABC c o s c o s ABCBACCAB'''''' S ABC SSABCABC''' S ' 0,5 1 SSABC 34 Cho x, y là các số dương thỏa mãn xy 35 28 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A34 x y 0,5 57xy - Ta có: 28 A34 x y 57xy 5 1 1 2 5xy 8 7 xy 2 2 5xy 2 7 2 0,5 - Áp dụng bất đẳng thức cosi cho hai số dương ta được 2 5xx 2 .5 0,25 22 5xx 2 5 .2 8 7xx 8 .7 24 7xx 2 7 .2
7. TRUNG TÂM 34 1 3 4 1 7 - Vì xy nên A . 2 4 6 35 2 3 5 3 5 25x 0,5 52x 2 x - Dấu "=" xảy ra khi 87y 5 72y 4 y 34 7 xy 35 0,25 2 x 17 5 - A đạt giá trị nhỏ nhất là 6 khi 35 4 y 7