Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Bến Tre (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Sở GD và ĐT Bến Tre (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SIN GIỎI LỚP 9 THCS BẾN TRE NĂM HỌC 2016-2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể phát đề) Câu 1. (7 điểm) a) Chứng minh rằng A n8 4n 7 6n 6 4n 5 n 4 chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên 2 22 x 3 12x 2 b) Cho biểu thức B x 2 8x . Rút gọn biểu thức B và tìm các giá trị x2 nguyên của x để B có giá trị nguyên c) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình: 2yx2 x y1 x 2 2y 2 xy Câu 2 (3 điểm) Cho hàm số y 2 x2 6x 9 x 2 có đồ thị (D) a) Vẽ đồ thị (D) của hàm số trên b) Với giá trị nào của m thì phương trình 2 x2 6x 9 x 2 m vô nghiệm c) Dựa vào đồ thị (D), tìm tập nghiệm của bất phương trình: 2 x2 6x 9 x Câu 3. (2 điểm) 2 2 y x xy 2017 (1) 3 y2 Cho x, y, z là các số thực thỏa: z2 1009(2) (x 0,z 0,x z) 3 x22 xz z 1008 (3) 2z y z Chứng minh rằng x x z Câu 4. (5 điểm) Cho đoạn thẳng AB và điểm E nằm giữa điểm A và điểm B sao cho AE < BE. Vẽ đường tròn O1 đường kính AE và đường tròn O2 đường kính BE. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài MN của hai đường tròn với M là tiếp điểm thuộc O1 và N là tiếp điểm thuộc O2 a) Gọi F là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng đường thẳng EF vuông góc với đường thẳng AB b) Với AB = 18 cm và AE = 6 cm, Vẽ đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng MN cắt đường tròn (O) tại C và D sao cho điểm C thuộc cung nhỏ AD. Tính độ dài đoạn thẳng CD. Câu 5. (3 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhỏ hơn 900 . Từ B kẻ BM vuông 2 AM AB góc với AC tại M (điểm M thuộc AC). Chứng minh 12 MC BC
2. ĐÁP ÁN HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 BẾN TRE 2016-2017 Câu 1. 4 a) A n8 4n 7 6n 6 4n 5 n 4 n.n 4 4 4n 3 6n 2 4n1  n(n1) 4 4 Vì n(n+1) là tích hai số nguyên liên tiếp nên n(n 1) 2 n n 1 2 16 Do đó A 16 với mọi n thuộc Z 22 2 2 2 2 x 3 12x22 x 3 x3 b) B x 2 8x x 2 x 2 x22 x x x22 3 2x 2x 3 3 +) Nếu x 2 x3 x Kết luận 2x2 2x 3 khi x 0 x 2x 3 B khi0 x 2 x 2x2 2x 3 khi x 2 x B có giá trị nguyên khi x 1; 3 c) 2yxxy1x2 2 2y 2 xy x1x 2 2y 2 y 1 x 1 1 x 2 x2 22 x2yy1 2yy10 y1 x 1 1 x 0 x0 22 x 2y y 1 2y y 1 0 y1 Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là (2;1) và (0;1) Câu 2. x 8nÕux 3 a) y2x 2 6x9x22x3x2 3x 4nÕux 3 Học sinh tự vẽ đồ thị b) Phương trình (*) là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị sau: (D) y 2 x2 6x 9 x 2 (1)
3. (D’): y=m là đường thẳng song song với trục Ox và cắt trục Oy tại điểm có tung độ m. Căn cứ vào đồ thị , ta có phương trình (*) vô nghiệm (D) và (D’) không giao nhau m5 Vậy m5 thì pt (*) vô nghiệm c) Dựa vào đồ thị đã vẽ ở câu a, ta có : nghiệm của (1) là tập hợp hoành độ của các x6 điểm (D) có tung độ y2 , nên x2 Vậy tập nghiệm của (1) là x6 hoặc x 2 Câu 3 2 2 y x xy 2017 (1) 3 y2 z2 1009(2) (x 0,z 0,x z) 3 x22 xz z 1008 (3) Trừ (1) và (2) vế theo vế, ta có: x22 xy z 1008(4) Trừ (3) và (4) vế theo vế ta có: xz xy 2z22 0 xz 2z xy 2xz 2z2 xy xz 2z(x z) x(y z) 2z y z x x z Điều phải chứng minh Câu 4 F D N K I M C A O1 E O O2 B
4. a) MN là tiếp tuyến chung của O1 và O2 nên MN OM;MN1  ON 2 OM//ON 1 2 0 MO12 E NO E 180 O1 AM cân tại O1 suy ra MO11 E 2O AM O2 BN cân tại O2 nên NO22 E 2O BN MO E NO E 2 O AM O BN O AM O BN 9000 MFN 90 1 2 1 2 12 Mặt khác AME BNE 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) EMF ENF 900 suy ra MENF là hình chữ nhật MEF NME 0 Mà O11 EM O ME ( O1 ME cân tại O)1 và NME O1 ME 90 (MN là tiếp tuyến) 0 MEF O1 EM 90 hay EF AB tại E b) Ta có AB = 18 cm, AE = 6 cm EB 12cm,OF 9cm AFB vuông tại F có đường cao EF nên EF2 AE.EB 6.12 72 EF 6 2 (cm) MN EF 6 2 (cm) Gọi K, I lần lượt là giao điểm của EF, OF với MN Tứ giác MENF là hình chữ nhật nên có NMF NEF mà NEF=ABF (cùng phụ góc BEM) NMF ABF (1) FNM FAB Ta lại có OAF cân tại O suy ra OAF = OFA (2) Và OAF ABF 900 (3) Từ (1) (2) (3) NMF OFA 9000 MIF 90 FNM đồng dạng tam giác FAB và có FI, FE là hai đường cao tương ứng nên FI MN FI 6 2 FI 4cm OI OF FI 9 4 5cm EF AB62 18 OID vuông tại I có ID2 OD 2 OI 2 9 2 5 2 56 ID 2 14 (cm) Vì OF CD tại I nên CD 2.ID 4 14 (cm) Câu 5
5. A M B C ABC cân tại A nên AB = AC 2 22 AM AB AM MC AC AC AC 2 Ta có 1 2. 2.22 2. BC 2.AC.MC MC BC MC BC MC BC Ta cần chứng minh: BC2 2AC.MC Thật vậy, BC2 BM 2 MC 2 AB 2 AM 2 AC AM 2 AC2 AM 2 AC 2 2AC.AM AM 2 2AC2 2.AC.AM 2AC.(AC AM) 2.AC.MC