Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Chương Mỹ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Chương Mỹ (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CHƯƠNG MỸ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Đề số 11 Câu 1. (5 điểm) xxxx−−+−137 Cho biểu thức P =+− với x 0 ; x 4 326+−+−xxxx 1) Rút gọn biểu thức P . 2) Tính giá trị của biểu thức P khi x =+−−2134821348 1 3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên; P xx−−12 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của QP= . . x Câu 2. (2 điểm) 1) Chứng minh rằng: nn42−+10 9 chia hết cho 384 với mọi n là số nguyên lẻ. 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5 3x y2− x 1 = y 1 − Câu 3. (3 điểm) 1) Giải phương trình: xxx−+−+−+−=19210912 2 . 2) Tìm tất cả các số nguyên a sao cho a2 + 2022 là một số chính phương. Câu 4. (3 điểm) 1) Cho hình vuông A B C D . Gọi E là một điểm trên cạnh BC . Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE và cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh rằng: a) AEAF= và tứ giác E G F K là hình thoi. b) AFFKFC2 = . c) Cho hình vuông A B C D cố định có độ dài cạnh bằng a , chứng minh rằng khi E di động trên cạnh BC thì chu vi E K C không đổi. d) Cho BAE =30 . Tính diện tích tứ giác AEKF theo a . (Sử dụng các kết quả sau 62− 62+ nếu cần: sin15= ; cos15= ) 4 4 2) Cho ABC vuông tại A có AB AC và trung tuyến AM . Đặt ACB = , AMB =  . Chứng minh rằng: (sincos1sin +=+ )2 Câu 5. (2 điểm) 1) Xác định các số hữu tỉ a , b sao cho đa thức fxxaxb( ) =++3 2 chia hết cho đa thức x −1 còn khi chia cho đa thức x + 2 thì được dư là 3 . 2) Cho x , y , z thỏa mãn 2223xyzxyxz222+ 5+ yz 0 +−− yz − + + = . Tính giá trị của 202020212022 biểu thức : Mxyz=++−++( 324) ( ) ( ) HẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HUYỆN CHƯƠNG MỸ Năm học: 2020-2021 Câu 1. (5 điểm) x−1 x − 3 7 + x − x Cho biểu thức P =+− với x 0 ; x 4 3+x 2 − x x + x − 6 1) Rút gọn biểu thức P . 2) Tính giá trị của biểu thức P khi x =+−−2134821348 1 3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên; P xx−−12 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của QP= . . x Lời giải 1) Rút gọn biểu thức P xxxx−−+−137 P =+− 326+−+−xxxx (x− 1)( x − 2) − ( x − 3)( x + 3) − (7 + x − x ) = (xx−+ 2)( 3) xxxxx−+−+−−+3297 = (2)(3)xx−+ xxxx−+−−44(2)2 2 === (2)(3)(2)(3)3xxxxx−+−++ x − 2 Vậy với x 0 và x 4thì P = x + 3 2) Tính giá trị của biểu thức P khi x =21 + 3 48 − 21 − 3 48 22 Ta có: x =21 + 3.4 3 − 21 − 3.4 3 = (2 3 + 3) + (2 3 − 3) =+−−=2 332 336 (tmđk x 0 và x 4) 62125−−+ 6 Thay x = 6 vào biểu thức P, ta có: P == 63+ 3 −+12 5 6 Vậy khi x =21 + 3 48 − 21 − 3 48 thì P = 3 1 3) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để nhận giá trị nguyên P
3. 13255xx+−+ Ta có: ===+ 1 P xxx−−−222 1 5 nguyên nguyên − − = 522(5)1;5( xx) Ö  P x − 2 Bảng tìm x x − 2 -1 1 -5 5 x 1 3 -3 7 x 1 9  49 Nhận định Tmđk Tmđk Tmđk 1 Với x 1;9 ;49 thì có giá trị nguyên P xx−−12 4) Tìm giá trị nhỏ nhất của QP= . . x x − 2 ( xxxx−+−−4.32.4) ( ) ( ) ( ) Ta có: Q ==. xxx+ 3 xx−+6888 Qxx==−+=+− 66 xxx 8 Qx −=−2.6426 x x = 8 Dấu “=” xảy ra khi (tmđk) Vậy GTNN của: Q =−426 khi x = 8. Câu 2. (2 điểm) 1) Chứng minh rằng: nn42−+10 9 chia hết cho 384 với mọi n là số nguyên lẻ. 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x− 3 y = 2 xy − 11 Lời giải 1) Chứng minh rằng: nn42−+10 9 chia hết cho 384 với mọi n là số nguyên lẻ. Đặt Annnnn=−+=−−−42422109()(99) =(n22 − 9)(n − 1) = ( n − 3)( n − 1)( n + 1)( n + 3) Vì n lẻ nên đặt n=2 k + 1( k Z ) Suy ra: A=(2 k − 2)2 k (2 k + 2)(2 k + 4) = 16( k − 1) k ( k + 1)( k + 2) A chia hết cho 16 (1) Vì (1).kk−++ .(1).(2) kk là tích của 4 số nguyên liên tiếp nên A có chứa bội của 2; 3; 4. Do đó A là bội của 24 hay A chia hết cho 24 (2) Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 16.24384= 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 53211xyxy−=− 53211xyxy−=− −=− −+−= +10x 6 y 4 xy 22 4 xy 10 x 6 y 15 7 (2 x 3)(2 y −= 5) 7 23x + và 25y − là ước của 7 nên ta lập bảng tìm xy; :
4. 23x + 1 -1 7 -7 25y − 7 -7 1 -1 x -1 -2 2 -5 y 6 -1 3 2 Vậy phương trình có tập nghiệm là S =−−−− (1;6);(2;1);(2;3);(5;2)  Câu 3. (3 điểm) 1) Giải phương trình: xxx−+−+−+−=19210912 2 . 2) Tìm tất cả các số nguyên a sao cho a2 + 2022 là một số chính phương. Lời giải 1) Giải phương trình: xxxx−+−+−+−=19210912 2 Điều kiện:19 x xxxx−+−+−+−=19210912 2 −+−+−−=xxxx192(1)(9)12(2) Đặt t=x − 1 + 9 − x ( t 0) t2 =8 + 2 ( x − 1)(9 − x ) (2)200 +−=tt2 +−=(5)(4)0tt Do tt 0 5 + 0 −= =tt404 (tmđk) 8 + 2 (x − 1)(9 − x ) = 16 − x2 + 10 x − 9 = 4 −+−= −+= =xxxxx2210916102505 Với x = 5 thỏa mãn đk Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 5 2) Tìm tất cả các số nguyên a sao cho a2 + 2022 là một số chính phương. Đặt akkZ22+= 2022() −=ka222022 −+=()()2022(*)kaka Vì ()()2kakak−+= là số chẵn nên ka+ và ka− có cùng tính chẵn lẻ mà (k− a )( k + a ) = 2022 là số chẵn nên ka− và ka+ là 2 số chẵn −+()()kaka là tích của 2 số chẵn thì chia hết cho 4 nên từ (*) có 2022 chia hết cho 4, điều này vô lí. Vậy không có số nguyên nào để a2 + 2022 là số chính phương. Câu 4. (3 điểm) 1) Cho hình vuông ABCD . Gọi E là một điểm trên cạnh BC . Qua A kẻ tia Ax vuông góc với AE và cắt CD tại F . Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K . Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI ở G . Chứng minh rằng: a) AEAF= và tứ giác EGFK là hình thoi. b) AF2 = FK. FC c) Cho hình vuông ABCD cố định có độ dài cạnh bằng a , chứng minh rằng khi E di động trên cạnh BC thì chu vi EKC không đổi. d) Cho BAE =30 . Tính diện tích tứ giác AEKF theo a . (Sử dụng các kết quả sau 62− 62+ nếu cần: sin15= ; cos15= ) 4 4
5. 2) Cho ABC vuông tại A có A B A C và trung tuyến AM . Đặt A C B = , AMB =  . Chứng minh rằng: (sincos1sin +=+ )2 Lời giải 1. a) AE AF= và tứ giác E G F K là hình thoi. + Chứng minh được =BAE D AF (g.c.g) =AE AF AEF cân, AI là trung tuyến AI là trung trực AK là trung trực của đoạn thẳng EF , G A K KEKFGEGF==, (1) Chứng minh được: =EGIFKIg c g( ) hoặc =EGIEKIg c g( ) Suy ra: KFGE= hoặc EKEG= (2) Từ (1) và (2) suy ra: EKEGGFFK=== E G F K là hình thoi. b) AFFKFC2 = . Chứng minh FIK đồng dạng với FCE =FI FE FK FC Chứng minh: AF2 = FI. FC (hệ thức lượng trong tam giác vuông AEF ) =AF2 FK. FC c) Khi E thay đổi trên BC, chu vi EKC không đổi. Ta có: FKKE= (cmt) PCECKEKCECKKFECK =++=++ =+++CECKDKDF =()()CK + DK + CE + BE (vì BEDF= theo chứng minh trên) = CDBC+ =a + a = 2 a không đổi Vậy chu vi EKC không đổi khi C di chuyển trên cạnh BC . d) Cho BAE =30 . Tính diện tích tứ giác AEKF theo a . 23a Áp dụng tỉ số lượng giác vào ABE vuông tại B , tính được: AE = (đvđd) 3 26a Áp dụng định lý Py-ta-go vào AEF vuông tại F tính được: EF = (đvđd) 3
6. Chứng minh được FAI =45 Suy ra: DAKFAIFAD=−=− = 453015 (vì FADEAB== 30 theo chứng minh câu a) BAE = DAF ) Áp dụng tỉ số lượng giác vào ADK vuông tại D , tính được: ADADa 4. AKa===− ( 62. ) (đvđd) cos DAK cos15 62+ 2 26a (1243− )a Suy ra: SAKa ==−=.EF62 (đvdt) AEKF ( ) 33 2. Cho ABC vuông tại A có AB < AC và trung tuyến AM . Đặt ACBAMB== , . Chứng minh rằng: (sincos1sin +=+ )2 Kẻ AHBC⊥ , do ABAC nên H nằm giữa B và M Ta có: (sinossin2sin +=++ccoscc)2 . os22 =1+2sin . os ABACAB BC . =+=+12 12. BCBCBC 2 Theo hệ thức liên hệ trong tam giác vuông AB ACBCAH= , do đó: 2 AH.2 BCAHAHAH (sin1 += 2.1111cos +=) += sin += += + BCBCAM2 BC 2 Câu 5. (2 điểm) 1) Xác định các số hữu tỉ a , b sao cho đa thức f( x) = x3 +2 ax + b chia hết cho đa thức x −1 còn khi chia cho đa thức x + 2 thì được dư là 3 . 2) Cho x , y , z thỏa mãn 2x2+ y 2 + z 2 + 2 xy − 2 xzyzy − − + 3 z + 5 = 0. Tính giá trị của 202020212022 biểu thức : Mxyz=++−++( 324) ( ) ( ) Lời giải 1) Xác định các số hữu tỉ a, b sao cho đa thức f( x) = x3 +2 ax + b chia hết cho đa thức x - 1 còn khi chia cho đa thức x + 2 thì được dư là 3. + Do f(x) chia hết cho x – 1 f(1) = 0 2 a + b = − 1 (1) + Do f(x) chia cho x + 2 dư 3 f ( − 2) = 3 −4ab + = 11 (2) Kết hợp điều (1) và điều (2) Giải được a = -2; b = 3
7. 2) Cho x , y , z thỏa mãn 222350xyzxyxzyzyz222+++−−−++= . Tính giá trị của biểu thức : Mxyz=++−++( 324)202020212022( ) ( ) Do 222350xyzxyxzyzyz222+++−−−++= +++−−−++=4222350xyzxyxzyzyz222 +++−−+−++++=(4442)(21)(69)0xyzxyxzyzyyzz22222 +−+−++=(2)(1)(3)0xyzyz 222 202xyzx+−==− −= = yy101 zz+==−303 Thay vào biểu thức: Mxyz=++−++( 324)202020212022( ) ( ) ta được Mxyz=++−++=( 3241)202020212022( ) ( ) HẾT