Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Mỹ Đức (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Mỹ Đức (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN MỸ ĐỨC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 120 phút Ngày thi 24/10/2020 Đề số 14 Câu 1. (5 điểm) 2 3 5xx−+ 7 2 3 Cho biểu thức . P = + − : x−2 2 x + 1 2 x − 3 x − 2 10 x + 5 x a) Rút gọn P b) Tính giá trị biểu thức P khi x =+−++1312281636 x − 2 c) Cho biểu thức B = . Tìm x để MPB= . có giá trị nguyên. xx+ 2 Câu 2. (4 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: 26119xyxyy−−+= 2 . b) Giải phương trình: 2183xxx−=+−+ Câu 3. (5 điểm) a) Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn: abcabc++= và abbccaabc++= 3 . 111 Tính giá trị của biểu thức: A =++ abc222 b) Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy22 B =+ yx−−11 Câu 4. (6 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý trên cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF. a) Chứng minh: CMEF⊥ 121 b) Chứng minh: NBDEa. = 2 và += CNFEa222 c) Chứng minh: ba điểm B,, D M thẳng hàng. d) Tìm vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD. Câu 5. (1 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, sao cho ab+ 2 chia hết cho ab2 −1. HẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HUYỆN MỸ ĐỨC Năm học: 2020-2021 Câu 1. (5 điểm) 2 3 5xx−+ 7 2 3 Cho biểu thức . P = + − : x−2 2 x + 1 2 x − 3 x − 2 10 x + 5 x a) Rút gọn P b) Tính giá trị biểu thức P khi x =+−++1312281636 x − 2 Cho biểu thức B = . Tìm x để MPB= . có giá trị nguyên. xx+ 2 Lời giải a) (2,0đ) 235723 xx−+ Ta có Với xx 0 , 4 P =+− : xxxxxx−+−−+221232105 4x+ 2 + 3 x − 6 5 x − 7 2 x + 3 =− : x−2 2 x + 1 x − 2 2 x + 1 5 x 2 x + 1 ( )( ) ( )( ) ( ) 2xx++ 3 2 3 = : x−2 2 x + 1 5 x 2 x + 1 ( )( ) ( ) 23x + 5xx( 2+ 1) = . ( xx−+2)( 2 1) 23x + 5 x = x − 2 b) (1,5 đ) 2 Ta có: x =13 + 2 3 −( 4 + 2 3) + 6 x =13 + 2 3 − 4 − 2 3 + 6 = 9 + 6 = 9 (TM) 59 P = =15 92− c) (1,5 đ) 5xx− 2 5 MPB= = = xx−+22xx( + 2) 11 Với xx 0, 4 ta có x +22 x + 2 2 55 M = x + 2 2
3. 5 Mà dễ thấy MM 00 2 Nên với MM 1;2 5 + Với Mxx= = += =11259 (TM) x + 2 551 + Với Mxx= = += =222 (TM) x + 2 24 1 Vậy x ;9 4 Câu 2. (4 điểm) a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: . 26119xyxyy−−+= 2 . b) Giải phương trình: 2x− 1 = x + 8 − x + 3 Lời giải a) (2,0 đ) Ta có: 26119xyxyy−−+= 2 −−−+−=xyyyy(2163845) ( 2 ) ( ) −−−+−=xyyyy(213214) 215( ) ( ) −−+=(21345yxy )( ) Do xy; nguyên suy ra 21y − và xy−+34 là ước của 5. Ta có các trường hợp sau: 2111yy−== + xyx−+==3454 2153yy−== + xyx−+==3416 2110yy−= −= + xyx−+=3459 −= − 2152yy−= −= − + xyx−+=34111 −= − Vậy các cặp số ( xy; ) thỏa mãn bài toán là (4 ;1) ; (6 ;3) ; (−9;0) ; (−−11; 2) b) (2,0 đ) 1 Điều kiện: x 2 2x− 1 = x + 8 − x + 3 2x − 1 + x + 3 = x + 8 (2x − 1) +( x + 3) + 2( 2 x − 1)( x + 3) = x + 8 3x + 2 + 2 2 x2 + 5 x − 3 = x + 8 2x2 + 5 x − 3 = 3 − x (1)
4. 30− x (1) 22 25396(2)xxxx+−=−+ (2)11120 +−=xx2 −+=( xx1120)( ) x =1 (TM) x =−12 (KTM) Vậy PT có nghiệm x =1 Câu 3. (5 điểm) a) Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn: a b+ c + a = b c và abbccaabc++= 3 . 1 1 1 Tính giá trị của biểu thức: A = + + abc222 b) Cho x, y là các số thực lớn hơn 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xy22 B =+ yx−−11 Lời giải a) (2,0 đ) abc++ 111 Từ abcabc++= = ++= 11 (1) abcabacbc 1 1 1 ab+ ac + bc =33 abc + + = (2) abc 2 111111111 Ta có: ++=+++++ 222 2 (3) abcabcabbcac Từ (1); (2); (3) ta có 32.172 =+ =AA b) (2,0 đ) xx − 110 Ta có: yy − 110 Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có: xx22 +−412.414( yyx −) = ( ) yy−−11 yy22 +−412.414( xxy −) = ( ) xx−−11 ++−Axyxy484 + ( ) ( ) A 8 x2 =−41( y ) y −1 Dấu “=” xảy ra khi xy = = 2 (TM) y2 =−41( x ) x −1 Vậy giá trị nhỏ nhất của A = 8 khi xy==2
5. Câu 4. (6 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. N là điểm tùy ý trên cạnh AB. Gọi E là giao điểm của CN và DA. Vẽ tia Cx vuông góc với CE và cắt AB tại F. Lấy M là trung điểm của EF. a) Chứng minh: C M E⊥ F 121 b) Chứng minh: N B. D E a= 2 và += CNFEa222 c) Chứng minh: ba điểm B,, D M thẳng hàng. d) Tìm vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho diện tích tứ giác AEFC gấp 3 lần diện tích của hình vuông ABCD. Lời giải a) (1,5 đ) Vẽ hình đến câu a Ta có: ECD= BCF (cùng phụ với ECB ) Xét E C D và F C B có: ECDBCF= (CMT) DCBCaEDCFBC== ( = )  (cạnh góc vuông - góc nhọn) EDCFBC== (90 )  =CECF ECF cân tại C Mà CM là đường trung tuyến nên CMEF⊥ b) (1,5 đ) Vì =EDCFBCEDFB = NCF vuông tại C có CBNF⊥ Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông NCF ta có: BCNB22= = BFaNB DE (đpcm) 121 =+ (1) BCCNCF222 Xét ECF vuông cân ta có: 12 FE2= EC 2 + FC 2 =2 FC 2 = (2) FC22 FE 1 1 2 Từ (1) và (2) = + a2 CN 2 FE 2
6. c) (1,5 đ) EF Xét C E F vuông tại C có CM là đường trung tuyến nên CM = 2 EF Xét AEF vuông tại A có AM là đường trung tuyến nên AM = 2 CM = AM M thuộc đường trung trực AC Vì A B C D là hình vuông nên BD, thuộc đường trung trực của AC BDM,, thẳng hàng vì cùng thuộc đường trung trực của AC (đpcm). d) (1,5 đ) Đặt DExxBFx= = ( 0) 1 SSSAF=+=+ AECB ( ) ACFEACFAEF 2 1 =++( ABBFAEAD)( ) 2 1 =+(ax DE) 2 1 =+(ax x) 2 1 SSax= += −−= xaaaxx3360 ( ) 222 ACFEABCD 2 −+=(230axax)( ) Do x 0; a 0 3 a + x 0 2 a − x = 0 x = 2 a A là trung điểm của DEAEa = AN AE Vì AE// BC nên ==1 NB BC N là trung điểm của AB thì SSACFEABCD= 3 Câu 5. (1 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, sao cho ab+ 2 chia hết cho ab2 −1. Lời giải Ta có: (aba+− +=− babka2222) ( b 11) ( ) , với k * +=−akb kab( 2 ) mb=+ a k (1) m= ka2* − b m Đặt 2 m+= b ka (2) Từ (1) và (2) suy ra: mb− m − b +11 = a + k − ka2 + (m −1)( b − 1) =( a + 1)( k + 1 − ka) (3) Do m, b * ( m − 1)( b − 1) 0 Vì thế từ (3) suy ra: (a+1)( k + 1 − ka) 0 Lại do a 0 nên suy ra: k+1 − ka 0 1 k( a − 1)
7. Vì ak− 1 0 , 0 nên 1 1 0 −ka ( ) và ka( − 1) a =1 ka( −=10) a =1 ka( −=11) k =1 Với a =1. Thay vào (3) ta được: (mb−1)( − 1) = 2 mm −1 = 2 = 3 bb−1 = 2 = 2 mm−1 = 1 = 2 bb−1 = 2 = 3 Vậy trường hợp này ta được hai cặp ab==1; 2 và ab==1; 3 b =1 Với a = 2 và k =1. Thay vào (3) ta có: (mb−−= 110)( ) m =1 Khi b =1 ta được ab==2; 1 Khi m =1; từ (1) suy ra a k+ b = b = 3 Khi đó: ab==2 ; 3 Vậy có 4 cặp số (ab; ) thỏa mãn là (1;2,1;3,2;3,2;1) ( ) ( ) ( ) . HẾT