Đề thi học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở GD và ĐT Đăk Lăk (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở GD và ĐT Đăk Lăk (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO KỲ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH ĐĂK LĂK NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN THI: TOÁN 9 – THCS ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10/4/2019 Bài 1: (4 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A 3 2 3 33 12 5 3 37 30 3 . x x 6 x 12 x 8 y y 2) Giải hệ phương trình x 2 x 1 2 y Bài 2: (4 điểm) 1) Cho phương trình x2 4 x 2 x 2 m 5 (với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt. 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, một đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(0; 3) và cắt parabol P : y x2 tại hai điểm A, B. Gọi C, D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B lên trục Ox. Viết phương trình đường thẳng d, biết hình thang ABDC có diện tích bằng 20. Bài 3: (4 điểm) 1) Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn: 2x2 y 2 2 xy 6 x 4 y 20 2) Tìm tất cả các số tự nhiên có bốn chữ số, biết rằng số đó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. Bài 4: (4 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm) và một cát tuyến ADE của (O) sao cho ADE nằm giữa hai tia AO và AB; D, E (O). Đường thẳng qua D và song song với BE cắt BC, AB lần lượt tại P, Q. 1) Gọi H là giao điểm của BC với OA. Chứng minh OEDH là tứ giác nội tiếp. 2) Gọi K là điểm đối xứng của B qua E. Chứng minh ba điểm A, P, K thẳng hàng. Bài 5: (2 điểm) Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh CB, CD lần lượt lấy các điểm M, N (M không trùng với B và C; N không trùng với C và D) sao cho MAN 450 . Chứng minh rằng đường chéo BD chia tam giác AMN thành hai phần có diện tích bằng nhau. Bài 6: (2 điểm) Cho a,, b c là các số thực dương thỏa a b c 3. Chứng minh rằng: a 1 b 1 c 1 3 b2 1 c 2 1 a2 1 Hết GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 11
2. BÀI GIẢI Bài 1: (4 điểm) 3 1) Ta có A 323 33125 3 37303 323 33125 3 123 2 323 3312423 323 33121 3 323 21123 2 3 2 3 3 2 3 3 2 3 2 3 3 12 9 3 2) (ĐK: x 0, y 0 ) 3 3 x x 6 x 12 x 8 y y x 2 y x 2 y x 2 y x 2 x 1 2 y x 2 x 1 2 y x 2 x 1 2 x 4 x 2 x 1 2 y x 2 y x 2 y x 2 y x 2 y x 1 0 x 1 x 3 0 x 2 x 1 2 x 4 x 4 x 3 0 x 2 y x 3 0 y 1 vo ly x 1 x 9 x 9 tm . Vậy nghiệm của hệ là y 1 y 1 y 1 x 3 Bài 2: (4 điểm) 1) Ta có x2 4 x 2 x 2 m 5 x 22 2 x 2 m 1 0 * Đặt t x 2 t 0 . Khi đó (*) trở thành: t2 2 t m 1 0 Do đó (*) có bốn nghiệm phân biệt ( ) có hai nghiệm dương phân biệt t 0 1 m 1 0 m 0 Pt 0 m 1 0 1 m 0 m 1 S 0 2 0 t 2) Vì đường thẳng d có hệ số góc k đi qua điểm M(0; 3), nên phương trình đường thẳng d có dạng y kx 3 Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là: x2 kx 3 x2 kx 3 0 * Vì ac 3 0 , nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt Vì (d) cắt (P) tại hai điểm A; B, nên hoành độ các điểm A, B là hai nghiệm của (*). xAB x k 2 2 Theo Vi ét ta có: . Lại có A xAABBA; x , B x ; x , C x ; 0 , D xB ; 0 xAB x 3 2 2 2 AC BD CD xAB x xAB x 2 xAB x Do đó 20 S ABDC  xAB x  xAB x 2 2 2 Đặt t xAB x , ta có: t 2 2 3 20  t t3 6400 t t 4 t2 4100 t t 4 t 260 2 t 4 . 2 GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 22
3. 2 2 2 2 2 4 t 4 xxAB 16 xxxxxxxxABABABABAB 2 2 xx  2 3 k 6 6 k2 4 k 2 . Vậy phương trình đường thẳng d là: y 2 x 3 hoặc y 2 x 3 Bài 3: (4 điểm) 1) Ta có: 2x2 y 2 2 xy 6 x 4 y 20 x 1 2 x y 2 2 25 Vì 25050 2 2 2 5343 2 2 2 2 4 2 34 2 2 3 2 4 2 , nên có các trường hợp sau: x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 5 x 4 ) ; ) ; ) ; x y 2 5 y 4 x y 2 5 y 6 x y 2 0 y 6 x 1 5 x 6 x 1 3 x 2 x 1 4 x 3 ) ; ) ; ) ; x y 2 0 y 4 x y 2 4 y 0 x y 2 3 y 2 x 1 3 x 2 x 1 4 x 5 x 1 3 x 4 ) ; ) ; ) x y 2 4 y 8 x y 2 3 y 6 x y 2 4 y 6 x 1 4 x 3 x 1 3 x 4 x 1 4 x 5 ) ; ) ; ) x y 2 3 y 8 x y 2 4 y 2 x y 2 3 y 0 Vậy các cặp số x; y là: 1;4, 1; 6,4; 6, 6;4,2;0,3; 2,2; 8, 5;6, 4;6 3; 8, 4; 2, 5;0 Cách khác: 2xyxyxy2 2 2 6 4 20 2 x2 2 3 yxyy 2 4 20 0 * (*) có nghiệm 3y 2 2 y2 4 y 20 0y2 2 y 49 0y2 2 y 49 0 y 150 2 y 152 152 y 152 8y 6 (vì y Z ) (*) có nghiệm nguyên y2 2 y 49 k2 k N y 8; 6; 2; 0; 4; 6 2 2 x 2 +) Với y 8; * 2x 10 x 12 0 x 5 x 6 0 x 2 x 3 0 x 3 2 2 x 1 +) Với y 6;*2680 x x x 340 x x 1 x 40 x 4 2 2 x 3 +) Với y 2; * 2x 2 x 24 0 x x 12 0 x 3 x 4 0 x 4 2 2 x 5 +) Với y 0; * 2x 6 x 20 0 x 3 x 10 0 x 5 x 2 0 x 2 2 2 x 1 +) Với y 4; * 2x 14 x 12 0 x 7 x 6 0 x 1 x 6 0 x 6 2 2 x 4 +) Với y 6; * 2x 18 x 40 0 x 9 x 20 0 x 4 x 5 0 x 5 2) Gọi abcd là số tự nhiên phải tìm 1000 abcd 9999 Ta có abcd a b c d 3 1000 a b c d 3 9999 10 a b c d 21 +) Nếu a b c d 10 abcd 1000 loai ; +) Nếu a b c d 11 abcd 1331 loai ; +) Nếu a b c d 12 abcd 1728 loai ; +) Nếu a b c d 13 abcd 2917 loai ; +) Nếu a b c d 14 abcd 2744 loai ; +) Nếu a b c d 15 abcd 3375 loai ; +) Nếu a b c d 16 abcd 4096 loai ; +) Nếu a b c d 17 abcd 4913 nhan ; GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 33
4. +) Nếu a b c d 18 abcd 5832 nhan ; +) Nếu a b c d 19 abcd 6859 loai ; +) Nếu a b c d 20 abcd 8000 loai ; +) Nếu a b c d 21 abcd 9261 loai . B Vậy abcd 4913; 5832 . E K Bài 4: (4 điểm) I ' Q D K P A H O 1) Chứng minh OEDH là tứ giác nội tiếp. C Ta có: AB = AC (AB, AC là hai tiếp tuyến của (O)), OB = OC (bán kính) Nên OA là trung trực của BC Xét ABO: ABO 900 (AB là tiếp tuyến của (O)), BH  OA (OA là trung trực của BC) AB2 AH. AO a 1 Xét ABD và AEB: ABD AED sd BD (góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây) 2 AB AD BAD (góc chung). Vậy ABD AEB (g.g) AB2 AD. AE b AE AB AH AE Từ (a) và (b) suy ra AH AO AD AE AD AO AH AE Xét AHD và AEO: cmt , HAD chung . Vậy AHD AEO (c.g.c) AD AO AHD AEO . Do đó tứ giác OEDH là tứ giác nội tiếp (đpcm) 2) Chứng minh ba điểm A, P, K thẳng hàng. Ta có: ODE cân tại O (do OD = OE) EDO AEO mà AHD AEO cmt EDO AHD Lại có: EDO EHO (tứ giác OEDH nội tiếp) AHD EHO 900 AHD 900 EHO BHA AHD BHO EHO BHD BHE Nên HB là phân giác trong của DHE, mà HA  HB (cmt) nên HA là phân giác ngoài HD ID AD của DHE c (I là giao điểm của HB và DE) HE IE AE DP ID DIP, DP // BE (gt) d (hệ quả Ta Lét) BE IE DQ AD ABE, DQ // BE (gt) e (hệ quả Ta Lét) BE AE DP DQ Từ c), d), e) DP DQ . BE BE DP AD Gọi K’ là giao điểm của AP và BE. AEK’, DP // EK’ (gt) f EK AE DQ DP Từ e), f) mà DP DQcmt BE EK BE EK Mặt khác BE EK gt K  K . Vậy A, P, K thẳng hàng (đpcm). GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 44
5. Bài 5: (2 điểm) A B Tứ giác ABMF: 450 MAF 450 gt , MBF 450 (BD là đường chéo hình vuông) E Vậy tứ giác ABMF nội tiếp AFM 1800 ABM 1800 90 0 90 0 AFM: AFM 900 , FAM 450 , K M nên AFM vuông cân tại F AF = MF F H Tương tự AENvuông cân tại E AE = NE D N C Tứ giác AEHF: AFH AEH 900 cmt (H là giao điểm của MF và NE) nên tứ giác AEHF nội tiếp NHF MHE EAF 450 Kẻ EK  MF (K MF). NFH vuông tại F; EKH vuông tại K nên có: NF NH sin NHF NH sin 450 , EK EH sin MHE EH sin 450 Ta có: SSSSSMNFE MHN NHF FHE EHM 1 1 1 1 HM  NF HN  HF sin NHF HF  EK HM  HE sin MHE 2 2 2 2 1 HM  HNsin 450  HN HFsin 450  HF HEsin 450  HM HE sin 450 2 1 HM HF  HN HF HM  HE sin 450 2 1 1 1  MF HN HE sin 450 MF NE sin 450 AF AEsin 450 S 2 2 2 AEF Bài 6: (2 điểm) Ta chứng minh a b c 2 3 ab bc ca * . Thật vậy * a2 b 2 c 2 ab bc ca0 2 a2 b 2 c 2 ab bc ca 0 2 2 2 a b b c c a 0 (luôn đúng). Dấu “=” xảy ra a b c Áp dụng (*), ta có: 32 3 ab bc ca ab bc ca 3 2 2 a 1 a 1 b 1 b a 1 b2 Lại có: a 1 b2 1 b2 1 b2 1 1 1 a 1 b2 a 1 b2 a 1 b a 1 b2 a 1 b Vì b2 1 2 b b2 1 2 b b2 1 2b 2 b2 1 2 a 1 b2 a 1 b a 1 ab b a 1 a 1 a 1 do b 0 b2 1 2b2 1 2 b 1 bc c c 1 ca a Tương tự có: b 1 ; c 1 c2 1 2a2 1 2 a 1 b 1 c 1 ab bc ca a b c 3 3 Vậy a b c 3 6 3 b2 1 c 2 1 a2 1 2 2 Dấu “=” xảy ra a b c 1. GGVV::: NNgguuyyễễnn DDưươơnngg HảHảiii –– TTHHCCSS NNgguuyyễễnn CChhííí TThhaannhh –– BBMMTT –– ĐĐăăkk LLăăkk (((SSưưuu tttầầmm vàvà ggiiiớớiii ttthhiiiệệuu))) tttrrraanngg 55