Đề thi học sinh giỏi trường vòng 2 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Liên trường THCS huyện Diễn Châu (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi trường vòng 2 môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Liên trường THCS huyện Diễn Châu (Có đáp án)

1. LIÊN TRƯỜNG THCS HUYỆN DIỄN CHÂU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG LỚP 8 VÒNG 2 NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn Toán – Thời gian làm bài 120 phút Bài 1. (4.0 điểm) a) Tìm số tự nhiên n để n +18và n − 41là hai số chính phương. 3 b) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng aa− 2023 chia hết cho 6. Bài 2. (4.0 điểm) Cho biểu thức : 1 63x + 2 Ax=+−:2( +) x+11 x32 + xx −+ 1 a) Tìm điều kiện xác định của A, rút gọn A b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Bài 3. (5.0 điểm) a) Giải phương trình: (3)(5)16xx+44 ++ = b) Tìm đa thức dư khi chia đa thức xxx20+ 10 ++ 5 1 cho đa thức x2 −1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = xy( xy−+ 8) 5 x22 + 3 y −−+ 2 x 8 y 2036 Bài 4. (6.0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB 9 KI KO KM Bài 5. (1.0 điểm) Cho đa giác đều gồm 2023 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác bằng hai màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh được sơn cùng một màu tạo thành một tam giác cân. Hết Giám thị không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh SBD:
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH TRƯỜNG MÔN TOÁN LỚP 8 VÒNG II NĂM HỌC 2022-2023 ( Hướng dẫn chấm này có 04 trang ) Câu Ý Nội dung Điểm 1 a a) Tìm số tự nhiên n để n +18và n − 41là hai số chính phương. 2.0 4.0 2.0 + − đ Để n 18và n 41 là hai số chính phương ⇔+np18 =2 và n−=41 q2 ( pq , ∈ ) 0.25 ⇒p22 −=+ q( n18) −−( n 41) =⇔ 59 ( pqpq −)( +=) 59 0.5 pq−=1 p = 30 0.5 Nhưng 59 là số nguyên tố, nên: ⇔ pq+=59 q = 29 Từ np+18 =22 = 30 = 900 ⇒= n 882 0.5 − −= =22 = 0.25 Thay vào n 41, ta được 882 41 841 29 q Vậy với n = 882 thì n +18và n − 41là hai số chính phương 3 b b) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng aa− 2023 chia hết cho 2.0 2.0 6. Ta có aaaaa33−2023 = ( −− ) 2022 0.5 =(a − 1) aa ( +− 1) 2022 a 0.5 Trong đó (a−+ 1) aa ( 1) là tích 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 2, một số chia hết cho 3, mà (2;3) = 1 nên 0.5 (a−+ 1) aa ( 1) 6 ; 2022a 6. 3 0.5 Vậy aa− 2023 6 2 a 2. Cho biểu thức : 2.5 4,0 2,5 1 63x + 2 Ax=+−32 :2( +) đ x+11 x + xx −+ 1 a. Tìm điều kiện xác định của A,rút gọn A a. ĐK: xx≠−1; ≠− 2 0.5 xx2 −+++−−16 x 32 x 2 1 1.0 A = . xx3 ++12 ( xx++21)( ) 1 1.0 = = ( x+12)( x +)( xx2 −+ 1) xx2 −+1 b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. 1.5
3. 2 0.5 1 2 1 33 A = ; Vì 1> 0;xx − += 1  x − + ≥ >0 xx2 −+1 2 44 31 0.5 Ađạt GTLN ⇔xx2 −+1đạt GTNN⇔ x2 − x +=1 ⇔ x = ( tm) 42 4 4 1 0.5 Lúc đó A = . Vậy GTLN của Alà A = khi x = 3 3 2 3 a a) Giải phương trình: (3)(5)16xx+44 ++ = 2.0 4,5 2.0 Đặt x + 4 = t 44 đ Phương trình đã cho trở thành (tt− 1) ++ ( 1) = 16 0,5 ⇔−+−++++++=tttt4324 6 41 tttt 432 4 6 4116 0,5 ⇔tt42 +6 −=⇔ 7 0 ( t2 + 7)( t 2 − 1) = 0 0,5 Vì t22+>⇒7 0 t −=⇔=±⇒=−=− 1 0 t 1 xx 3; 5 0,5 b b) Tìm đa thức dư khi chia đa thức xxx20+ 10 ++ 5 1 cho đa thức x2 −1 1.5 1,5 Vì đa thức chia bậc 2 nên đa thức dư có dạng ax+b, gọi đa thức thương là Q(x), khi đó ta có: 0.5 x20+ x 10 + x 5 +=1 ( x2 − 1) Qx ( ) + ax+b (1) Thay x =1 vào (1) ta được: ab+=4 0.5 Thay x= -1 vào (1) ta được −+ab =2 Từ đó suy ra ab=1; = 3 0.5 Vậy đa thức dư là: x+3 b c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 22 1,5 B = xy( xy−+ 8) 5 x + 3 y −−+ 2 x 8 y 2036 1,5 Bxyxyxy=22 −8 + 52 + 3 2 −−+ 2 xy 8 2036 =(xyxy22 −++ 4 4) (4 xxyy2 −++−++ 42 ) ( xx 2 2 1) 2( yy2 −++ 4 4) 2023 0,5 =−+−+−+−+(xy 2)2 (2 x y ) 22 ( x 1) 2( y 2) 2 2023 0.5 Vì (xy−≥ 2)0;(2)0;(1)0;2(2)02 x −≥ y 22 x −≥ y −≥ 2 nên B ≥ 2023 Dấu = xảy ra ⇔=xy1; = 2 . Vậy Bmin =2023 ⇔= xy 1; = 2 0,5 Cho tam giác ABC vuông tại A ( AB 9 KI KO KM
4. a *Chứng minh tứ giác AMDN là hình vuông 00 0 3.0 +) Chứng minh AMD=90 ; AND = 90 ; MAN = 90 1.0 Suy ra tứ giác AMDN là hình chữ nhật +)Hình chữ nhật AMDN có AD là phân giác của MAN nên tứ giác 0.5 AMDN là hình vuông. *Chứng minh EF // BC FM DB 0.25 +) Chứng minh : = (1) FC DC DB MB Chứng minh: = (2) 0.25 DC MA MB MB Vì AM=⇒= DN (3) 0.25 MA DN MB EM Chứng minh = (4) DN ED 0.25 EM FM Từ (1,2,3,4) ( ) ( ) ( ) suy ra = ⇒ EF// BC ED FC 0.5 b Chứng minh H là trực tâm ∆AEF ∆∆ 1.5 + Chứng minh ANB NFA AN DN Vì AN= DN.suy ra = (5) AB AB DN CN Chứng minh = (6) AB CA CN FN Chứng minh = (7) CA AM FN FN Chứng minh AM= AN.Suy ra = (8) AM AN AN FN Từ (5) (6) (7) (8) suy ra = ⇒∆ANB ∆ NFA( c g c) AB AN
5. 0.75 + Vì ∆∆ANB NFA nên NBA = FAN Mà BAF +=⇒+= FAN 9000 NBA BAF 90 0.5 Suy ra EH⊥ AF , Tương tự: FH⊥ AE , suy ra H là trực tâm ∆AEF 0.25 c Đặt S= aS,,. = bS = cKhi đó: 1.5 AKD BKD AKB SABD S ABD S ABD abc++ abc ++ abc ++ ++= + + SSS a b c AKD BDK AKB baacbc    =++++++3     ab  ca  cb  0.5 ba Theo định lý AM-GM ta có: +≥2 ab ac bc Tương tự : +≥2; +≥ 2 ca cb BI AO DM Suy ra ++ ≥9 0.5 KI KO KM Dấu ""= xảy ra khi và chỉ khi ∆ABD là tam giác đều, suy ra trái với giả thiết. BI AO DM Vậy ++ >9 KI KO KM 0.5 2. Cho đa giác đều gồm 2023 cạnh. Người ta sơn các đỉnh của đa giác 1,0 bằng hai màu xanh và đỏ. Chứng minh rằng tồn tại ba đỉnh được sơn 1.0 đ cùng một màu tạo thành một tam giác cân. Ta có đa giác 2023 cạnh nên có 2023 đỉnh. Do đó phải tồn tại 2 đỉnh kề nhau là P và Q được sơn bởi cùng một màu – màu đỏ (Theo nguyên lý Dirichle) Vì đa giác đã cho là đa giác đều có số đỉnh lẻ, nên phải tồn tại một đỉnh nào đó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng PQ.Giả sử đỉnh đó là A. Nếu A tô màu đỏ thì ta có tam giác APQ là tam giác cân có 3 đỉnh 0.5 APQ,, được tô cùng màu đỏ. Nếu A tô màu xanh, lúc đó gọi B và C là các đỉnh khác của đa giác kề với P và Q. Nếu cả hai đỉnh B và C được tô màu xanh thì tam giác ABC cân và có 3 đỉnh cùng tô màu xanh. Nếu ngược lại, một trong hai đỉnh B và C mà tô màu đỏ thì tam giác BPQ hoặc tam giác CPQ là tam giác cân có 3 đỉnh được tô màu đỏ 0,5 Lưu ý: - Nếu học sinh không vẽ hình bài 4 hoặc vẽ sai thì không chấm bài 4. - Nếu học sinh làm cách khác đúng thì vẫn cho điểm tương ứng với từng phần.