Đề thi học sinh giỏi vòng 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Gia Lâm (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi vòng 1 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Gia Lâm (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN GIA LÂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 (Vòng 1) NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Đề số 13 Câu 1. (4,0 điểm) x x− x −4 x + 4 x x + x − 4 x − 4 Cho biểu thức A =− 2− 3x + x x 2 + 3 x − x x a) Rút gọn biểu thức A (23)743+− b) Tính giá trị của A khi x = 31− 2.Cho x y;; z là các số thực dương thỏa mãn : x y+ z + 1 12020 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =+ xyzxyyzzx222++++ Câu 2. (6,0 điểm) abc 1. Cho ba số abc;; thỏa điều kiện : ++= 1 bccaab+++ abc222 a. Chứng minh rằng : ++= 0 bccaab+++ b. Chứng tỏ rằng trong ba số abc;; tồn tại 1 số không âm ; 1 số không dương xxx53−−+4179 x 1 2. Tính giá trị của biểu thức P = với x thỏa mãn : = xxx42+++3211 xx2 ++14 3. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức : xxxx432++++223 là một số chính phương Câu 3. (4,0 điểm) 1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh p2 −100924 2. Có tồn tại hay không các số nguyên a, b thỏa mãn : 202020212023ab20212022+= Câu 4. (2,0 điểm) Cho điểm M bất kì nằm trong tam giác đều A B C. Vẽ MD⊥ AB,ME ⊥ BC,MF ⊥ AC (D AB,E BC,F AC) a) Chứng minh: MDMEMF ++ có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điềm M. b) Tìm vị trí điểm M sao cho: ADBECF222++ đạt giá trị nhỏ nhất? Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB==6 cm , AC 8 cm và đường cao AH. Trên AB lấy điểm D bất kì, vẽ DEBC/ /(EAC) , vẽ DG// AE // EF( F, G BC ).DF cắt GE tại O. a) Biết ADcm= 2 . Tính diện tích tứ giác 퐹 ? b) Tìm vị trí của D trên AB để 퐹 là hình vuông? c) Chứng minh rằng khi D di động trên AB thì O luôn chậy trên một đường thẳng cố định. HẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG TOÁN 9 HUYỆN GIA LÂM Năm học: 2020-2021 Câu 1. (4,0 điểm) xxxxxxxx−−++−−4444 Cho biểu thức A =− 2323−++−xxxxxx a) Rút gọn biểu thức A (23)743+− b) Tính giá trị của A khi x = 31− 2.Cho x;; y z là các số thực dương thỏa mãn : x+ y + z 1 12020 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P =+ xyzxyyzzx222++++ Lời giải xxxxxxxx−−++−−4444 a) A =− 2323−++−xxxxxx Đặt txtxt= =( 0) 2 tttttt3232−−++−−4444 (tttttt−+−−++221221)( )( ) ( )( )( ) Như thế A =−=− tttt33−+−++3232 (tttt−++−1212)22( ) ( ) ( ) tttx−+−−222424 2 =+== tttx−+−−1111 2 2 (23)+−+ 7 4 313 1 (2323+−) ( ) (23+− 23)( ) b) Ta có x === 3−−−− 13 13 13 1 2 3+− 1 4 −−3( 3 1) .2 Vậy A = = = −23 3−− 1 3 1 2 b) Ta có các bđt phụ sau ( rất quen thuộc nên ta không chứng minh lại ) Với ba số thực dương x y;; z 1 2 xy+ yz + xz ( x + y + z) ( dấu bằng khi xyz==) 3 1 1 1 9 Và + + ( dấu bằng khi x== y z ) x y z x++ y z Áp dụng ta có 1 2020 1 1 1 2018 P =2 2 2 + = 2 2 2 + + + x++ y z xy ++ yz zx x ++ y z xy ++ yz xz xy ++ yz xz xy ++ yz xz 9 2018 6063 6063 2 2 2 + =2 2 = 6063 1 2 x+ y + z +21( xy + yz + xz) ( x++ y z) ( x++ y z) 3 1 Vậy P=6063 x = y = z = min 3 Câu 2. (6,0 điểm)
3. abc 1. Cho ba số abc;; thỏa điều kiện : ++= 1 bccaab+++ abc222 a. Chứng minh rằng : ++= 0 bccaab+++ b. Chứng tỏ rằng trong ba số abc;; tồn tại 1 số không âm ; 1 số không dương xxx53−−+4179 x 1 2. Tính giá trị của biểu thức P = với x thỏa mãn : = xxx42+++3211 xx2 ++14 3. Tìm tất cả các số nguyên x để biểu thức : xxxx432++++223 là một số chính phương Lời giải 1. abcabc a. Ta có : ++= ++++=++1 (abcabc ) bccaabbccaab++++++ abc2 2 2 abc2 22 +++ abca ++=++ bc ++= 0 bacab+ c + + bcca+ ++ab b. Ta đi chứng minh bằng phép phản chứng Giả sử trong 3 số abc;; đều nhận giá trị 0 a b c abcabcabc+ + + + + + Khi đó + + = + + − 3 bcacab+ + + bc + ac + ab + 1111 =+++++++− (abbcca) ( ) ( ) 3 2 abbcca+++ 113 +++−.3(.333 (ab = bcca )( ) 3 ( theo bđt AM-GM ) 22(ab+++ bcca)( )( ) abc 3 Do đó ++ 1(VL) bcacab+++2 Vậy trong 3 số abc;; phải luôn có ít nhất 1 số không dương Tương tự nếu giả sử trong ba số abc;; không có số nào không âm Khi đó abcxaybzc =0;0;00;0;0 − = − = − a b c x y z 3 Ta cũng có : + + = + + 1 (VL ) ( chứng minh tương tự bcacabyzxzxy+ + + + + + 2 như trên ) Vậy trong ba số abc;; cũng phải có ít nhất 1 số không âm ( đpcm ) x 1 2. Ta có = ++xxxxx = −+2214310 = xx2 ++14 Khi đó : xxxxxxxxx53232−4 − 17 x+= 93( 134 −++ 9)( 6 +++= 6 ) Và ta có : x4+3 x 2 + 2 x + 11 =( x 2 − 3 x + 1)( x 2 + 3 x + 11) + 32 x = 32 x x53−4 x − 17 x + 9 6 x 3 Do đó : == x42+3 x + 2 x + 11 32 x 16 2 3. Ta có : x4+2 x 3 + 2 x 2 + x + 3 =( x 2 + x) + x 2 + x + 3 2 2 2 1 11 11 4 3 2 2 Do x++=+ x3 x + + 0 x 2 x + 2 x ++ x 3 ( x + x) 2 4 4 2 Ta sẽ đi chứng minh : x4+2 x 3 + 2 x 2 + x + 3 ( x 2 + x + 2)
4. Thật vậy : 2 xxxxxxxxxxxxxx4322432432++++ ++ ++++ ++++22322232544 ( ) 2 2 11 ++ ++ 331030xxx ( đúng ) 24 22 Như thế ta có : (xxxxxxxx24322+ ++++ ++) 2232 ( ) Do vậy xxxx432++++223 là 1 số chính phương 2 x43+2 x + 2x22 + x + 3 =(x + x + 1) x4+2 x 3 + 2x2 + x + 3= x 4++ 2 x 3 + 3x 2 + 2 x 1 +−= −+= =xxxxx2 201201 ( )( ) hay x =−2 Thử lại ta nhận cả hai giá trị x =1 và x =−2 Kết luận: xx= =1; − 2 là các số nguyên cần tìm. Câu 3. (4,0 điểm) 1. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh p2 −1 0 0 9 2 4 2. Có tồn tại hay không các số nguyên a, b thỏa mãn : 202020212023ab20212022+= Lời giải 1. Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 suy ra p chia 3 dư 1 hoặc dư 2 p2 1 ( m o d3 ) mà 1 0 0 9 1 ( m o d3 ) − −pp2210090(mod3)10093 (1) Mặt khác : vì p là số nguyên tố suy ra p chia 8 dư 1, dư 3, dư 5,dư 7 p2 1(mod8) mà 10091(mod8) pp22− −10090(mod8)1009 8 (2) p2 −1009 3 22 Từ (1) và (2),ta có : pp− −1009 81009 24 (3;8)1=  Vậy nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 −100924 20212022 2. Nếu b chẵn, ta có 20202021ab+ chẵn, mà 2023 là số lẻ nên vô lí. Nếu lẻ, ta có b1011=2 k + 1, k 2021 b 2022 = 2021.(2 k + 1) 2 = 2021.4.( k 2 + k ) + 2021. Do đó 20202021ab20212022+ chia 3 dư 1, mà 2023 chia 3 dư 3 nên vô lí. Do đó không các số nguyên a, b nào thỏa mãn : . Câu 4. (2,0 điểm) Cho điểm M bất kì nằm trong tam giác đều A B C. Vẽ MD⊥ AB,ME ⊥ BC,MF ⊥ AC (DAB,EBC,FAC) a) Chứng minh: MD ++ ME MF có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điềm M. b) Tìm vị trí điểm M sao cho: ADBECF222++ đạt giá trị nhỏ nhất? Lời giải
5. A D F M C B H E Kẻ A H B⊥ C Ta có: SSSSABCAMBBMCCMA=++ 1111 Hay BCAHABMDBCMEACMF.=++ 2222 11 =++BCAHBCMDMEMF() (Vì ABC đều nên A B A== C B C ) 22 =++AHMDMEMF Do AH không đổi nên MD ME++ MF không đổi. Vậy MDMEMF ++ có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điềm M. b) Ta chứng minh được: ADBECF2 ++2 2 =++BDCEAF2 22 2 ( ADBD+ ) AB2 Ta có ADBD22+ = 22 ACBC2 2 Tương tự ta có AFCFBEC222++2 ; F 2 2 22 Lại chỉ ra được 3AB4= AH 3.AB2 ++ADBECF222 +++ =BDCE22AFAH222 2 22( ADBECFADBECF222222++) AHA2 ++ H 2 không đổi. Dấu “=” xảy ra M là giao điểm 3 đường trung tuyến của ABC Hay M là tâm tam giác đều ABC . Câu 5. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có ABcmACcm==6,8 và đường cao AH. Trên AB lấy điểm D bất kì, vẽ DE/ / BC (E AC) , vẽ DGAE// // EF( F, G BC ).DF cắt GE tại O. a) Biết AD= 2 cm . Tính diện tích tứ giác 퐹 ? b) Tìm vị trí của D trên AB để 퐹 là hình vuông? c) Chứng minh rằng khi D di động trên AB thì O luôn chậy trên một đường thẳng cố định. Lời giải
6. B G I D H N O F K J A E C a) Áp dụng định lý Pytago cho ⊥ABC tại A : BCABACBCcm222=+ = 10 DE// BC áp dụng định lý Talet ABC : ADDEAEDEAE 2108 == == == DFAEcmcm; ABBCACBC 8633 =−=BDABADcm 4 Xét =G B D( Gˆ 9 0 ) 0 và =A B C A( 9ˆ 0 ) 0 có Bˆ chung BGDGBDDG 416 G B D A B C g( . g ) == = = DGcm ABACBC 8105 DEGFGT//()  Ta có :  DGFE là hình bình hành DG // FE(GT)  DG / / AH Mà:  ⊥DGBC => 퐹̂ = 90° AHBC⊥  Suy ra : DHFE là hình chữ nhật 16 ==SDE DGcm. 2 DGFE 3 DGBDAC 4 b) G B D  = ==ABCDGBDBD . ACBCBC 5 DEADBC 5 DEBCDEADAD/ /. = == BCABAC 3 25 D G F E là hình vuông = =DEDGBDAD mà 12 72 ADBDABADcm+== = 6 37 c) Gọi K là trung điểm của AH ; BK cắt DG tại I ;CK cắt EF tại J DG BD  DG// AH = AH AB DG DI 11  =mà AKAHDIDGI= = là trung điểm DI BD AH AK 22 DI// AK = AK AB  của DG CMTT : J là trung điểm của EF . Suy ra O là trung điểm của JI mà JIBC là hình thang ( JI// BC ) theo tính chất hình thang KO đi qua trung điểm của BC O thuộc đường thẳng đi qua trung điểm của AH và BC khi D thay đổi trên AB thì O luôn nằm trên đường thẳng cố định.