Đề thi học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Long Biên (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Long Biên (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2 Năm học: 2020-2021. Môn: TOÁN Đề số 4 Câu 1. (6,0 điểm). 1) Giải phương trình: 4202831520xxxx22−+=−+ . 2) Cho ba số thực thỏa mãn điều kiện x y+ z + = 0 . Chứng minh rằng: xyzxyz333++= 3 3) Cho các số nguyên abc;; thoả mãn điều kiện: ()()()378abbcca−+−+−=333 . Tính giá trị của biểu thức A=| a − b | + | b − c | + | c − a | . Câu 2. (3,0 điểm). 1) Cho abc,, là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: abc++ chia hết cho 12. Chứng minh: Pabbccaabc=+++()(() ) - 5 chia hết cho 12. 2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x y,, z thỏa mãn điều kiện: xyzxyz333++=+++ 2020 . Câu 3. ( 3,0 điểm). xyxy2233 1) Cho xy, là hai số thực dương. Chứng minh rằng: +−−+ 40. yxyx22 2) Cho số thực x thỏa mãn 02 x . Tìm GTNN của biểu thức: 4 100 A = + + 2021. 2 − xx Câu 4. (7,0 điểm).Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt nhau tại H . 1) Chứng minh: BH . BD = BC . BK và BH . BD + CHCE= BC 2 . 2) Chứng minh BH= AC .cot ABC . 3) Gọi M là trung điểm của BC . Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD , CE lần lượt tại Q và P . Chứng minh rằng: MP= MQ . Câu 5. (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng ab+−2lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao? HẾT
2. HƯỚNG DẪN GIẢI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẬN LONG BIÊN KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2 Năm học: 2020-2021. Môn: TOÁN Câu 1. (6,0 điểm). 1) Giải phương trình: 4202831520xxxx22−+=−+ . 2) Cho ba số thực x y,, z thỏa mãn điều kiện x y+ z + = 0 . Chứng minh rằng: xyzxyz333++= 3 . 3) Cho các số nguyên abc,, thoả mãn điều kiện: ()()()378abbcca−+−+−=333 . Tính giá trị của biểu thức Aabbcca=−+−+−|||||| . Lời giải 1) Giải phương trình: 4202831520xxxx22−+=−+ . Đặt txxtxxt=−+ −+=222 57,(0)57. ĐKXD: x . Phương trình trờ thành: 231tt=−2 . t =1 −−3210(1)(31)0tttt2 = −+= −1 t = 3 −1 • Ta có :0t = (loại) hoặc t =1 (thỏa mãn). 3 • Với t =1, ta có : xxxxx22−+= −+= =5715602 hoặc x = 3 Vậy phương trình có tập nghiệm là S ={2;3}. 2) Cho ba số thực x,, y z thỏa mãn điều kiện xyz++= 0 . Chứng minh rằng: x3+ y 3 + z 3 = 3 xyz . Ta có :x+ y + z = 0 z = − ( x + y ) VTxyzxy=++=+−+=+−−33333( xy ) 33332 xyx 3 xyxyy − 3 23 − VTxy= −+== xyxyzVP3()3 3) Cho các số nguyên abc thoả mãn điều kiện: (a− b )3 + ( b − c ) 3 + ( c − a ) 3 = 378. Tính giá trị của biểu thức A=| a − b | + | b − c | + | c − a | . Đặt abxbcycaz− =; − = ; − = xyz + + = 0 Ta có: x3+ y 3 + z 3 =378 3 xyz = 378 xyz = 126
3. Do x y,, z là số nguyên có tồng bằng 0 và xyzxyz= =−−126(2)(7).9 nên xxxxxx= −=227799 −= −= − == yyyyyy= −==79;2;9;72. −== −= − zzzzzz==979227 −== −= −= − Suy ra: Aabbcca=−+−+−=||||||18 . Câu 2. (3,0 điểm). 1) Cho abc,, là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: abc++ chia hết cho 12. Chứng minh: P=() a + b(() b + c) c + a - 5 abc chia hết cho 12. 2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x y,, z thỏa mãn điều kiện: x3+ y 3 + z 3 = x + y + z + 2020 . Lời giải 1) Cho abc,, là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: abc++ chia hết cho 12. Chứng minh: Pabbccaabc=+++()(() ) - 5 chia hết cho 12. Ta có: Pab=+++−()()()5 bc caabc =++++−()()6(*)abc abbccaabc do ()()()()()ab+++=++++− bc caabc abbccaabc Giả sử abc,, đều chia 2 dư 1 ++abc chia 2 dư 1 (2) Mà abcabc++ ++:122 (theo giả thiết) (2) Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều già sử là sai. Trong ba số abc,, ít nhất có một số chia hết cho 2 6:12( )abc Từ (*) và ( ) suy ra P 12 . 2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x y,, z thỏa mãn điều kiện: x3+ y 3 + z 3 = x + y + z + 2020 . Ta có: xxxxxx32−=−=−+ x ( 1(1)(1)) :3 Tưng tự ta có: y33−− y:3 ; z z 3 −+−+−( xxyyzz333 ) ( ) ( ) :3 Biến đổi phương trình thành: (x3− x) +( y 3 − y) +( z 3 − z) = 2020 . Mà 20203 . Vậy không tồn tại ba số nguyên xyz,, thỏa mãn điều kiện: x3+ y 3 + z 3 = x + y + z + 2020 . Câu 3. ( 3,0 điểm). x22 y33 x y 1) Cho xy, là hai số thực dương. Chứng minh rằng: + − − +40 . y22 x y x 4 100 2) Cho số thực x thỏa mãn 02 x . Tìm GTNN của biểu thức: A = + + 2021. 2 − xx
4. Lời giải xyxy2233 1) Cho xy, là hai số thực dương. Chứng minh rằng: +−−+ 40. yxyx22 xyxyxyxy 222+−− 2() Ta có: +−== 20 với mọi xy,0 . yxxyxy x y x y + −2 0; + − 1 0 . y x y x xyxy +−+− 210 . yxyx x22 y33 x y + − − +40 . y22 x y x 4100 2) Cho số thực x thỏa mãn 02 x . Tìm GTNN của biểu thức: A =++ 2021. 2 − xx 41004100 Ta có :202136(2)361949Axx=++=+−+++ . 22−−xxxx Mà 02 x suy ra : 20− x . Áp dụng BĐT : abab+ 2 với ab, 0 , dấu bằng xảy ra khi ab= ta có: 100 5 + 36120x dấu bằng xảy ra khi x = . x 3 4 5 36(2)24+− x dấu bằng xày ra khi x = . 2 − x 3 4 100 4 100 Suy ra A= + +2021 = + 36(2 − x ) + + 36 x + 1949 2093 . 22−−x x x x 5 Vậy MinA =2093 khi và chi khi x = . 3 Câu 4. (7,0 điểm).Cho tam giác ABC cóba góc nhọn, ba đường cao AK , BD , CE cắt nhau tại H . 1) Chứng minh: BH . BD = BC . BK và BH . BD + CH.CE= BC 2 . 2) Chứng minh BH= AC .cot ABC . 3) Gọi . M . là trung điểm của BC . Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD , CE lần lượt tại Q và P . Chứng minh rằng: MPMQ= . Lời giải 1) Chứng minh: BH . BD = BC . BK và BH . BD + CH.CE= BC 2 .
5. Xét tam giác: BHK đông dạng B C D có: KBH chung BKHBDC==90. B H K đồng dạng B C D( g . g) B H B K nên = B C B D BH  BD = BCBK Tương tự: CHK đồng dạng CBE CH KC nên = CH  CE = BC  KC BC CE Cộng vế với vế hai đằng thức ta được: BHBDCH+=+ CEBCBKBCKC. hay BHBDCHCEBCBKKCBC+=+= ()2 2) Chứng minh B H A= C .cot ABC . BHBE Chứng m i n h : BEH đồng dạng  =CEAgg() CACE BE Xét BEC vuông tại EABC =cot CE BHBE == = cotcotABCBHACABC CACE 3) Gọi M là trung điểm của BC . Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt đường thẳng BD , CE lần lượt tại Q và P . Chứng minh rằng: MPMQ= . PAAH Chứng minh PAH đồng dạng =AMBg(.) g AMMB QAAH Chứng minh: QAH đồng dạng =MACg(.) g AMMC QAPA Do MBMC= = (gt) AMAM PA = QA QMP cân tại M = MP MQ Câu 5. (1,0 điểm).Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng ab+−2lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao? Lời giải Tồng tất cả các số ban đầu trên bảng: S =1 + 2 + 3 ++ 99 + 100 = 5050. Qua mỗi bước ta thấy tồng giàm đi 2. Lúc đầu tồng S = 5050 sau 99 bước số còn lai sẽ là 5050−= 2.99 4852 .  HẾT 