Đề thi học sinh giỏi vòng Thị xã môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Thị xã Giá Rai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi học sinh giỏi vòng Thị xã môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Thị xã Giá Rai (Có đáp án)

1. Họ và tên thí sinh: Chữ ký giám thị 1: Số báo danh: . PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ GIÁ RAI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG THỊ XÃ NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC * Môn thi: TOÁN (Gồm 01 trang) * Ngày thi: 25/12/2016 * Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Câu 1: (5 điểm) a) Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là một số chính phương. b) Cho: M 5.nn 5 1 6. nn 3 2 n . Chứng minh: Mn91;  Câu 2: (5 điểm) a) Giải phương trình: 10 x32 + 1 = 3 x + 2 x3 + 1 = 2y b) Giải hệ phương trình: 3 y + 1 = 2x Câu 3: (5 điểm) 21 a) Cho biểu thức: B . Chứng minh: B 322 với 01 x 1 x x b) Cho hai số dương a, b thỏa mãn: ab 22. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 11 thức: P . ab Câu 4: (5 điểm) Cho đường tròn (O; R); AB và CD là hai đường kính khác nhau của đường tròn. Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O; R) cắt các đường thẳng AC, AD thứ tự tại E và F. a) Chứng minh tứ giác ACBD là hình chữ nhật. b) Chứng minh ACD∽ CBE đồng dạng với nhau. c) Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp. d) Gọi S; S1; S2 theo thứ tự lần lượt là diện tích của AEF,, BCE BDF . Chứng minh: SS12 S. HẾT
2. PHÒNG GD&ĐT THỊ XÃ GIÁ RAI KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 VÒNG THỊ XÃ NĂM HỌC 2016 - 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC * Môn thi: TOÁN (G ồm 03 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM Số Câu Nội dung điểm 1 (5 điểm) Gọi: nn;1;2;3 n n là 4 số nguyên dương liên tiếp Ta có: Ann 123 n n nnnn22332 a) 0,25đ 2 nn22323 nn 1,0đ 22 nnAnn22331 1,0đ Vậy: A không thể là một số chính phương 0,25đ Ta có: M 5.nn 5 1 6. nn 3 2 n 25nn 18 12 nn 5  7 1,0đ b) Và: M 25nn 12 18 nn 5  13 1,0đ Mà: 7;13 1 0,25đ Vậy: Mn91;  0,25đ 2 (5 điểm) ĐK: x 1 0,25đ ax 1 Đặt: ;0,0ab 2 bxx 1 ab22 x 22 0,25đ 10ab 3 a22 b 0,25đ abab33 0 0,25đ ab 3 a) 0,25đ ba 3 Với: ab 3 , thì: x 13xx2 1 91080xx2 (pt vô nghiệm) 0,5đ Với: ba 3 , thì: 31x xx2 1 xx2 10 8 0 x 533 0,5đ
3. Vậy: S 533 0,25đ Ta có: x3 12y 3 yx 12 x33yyx2 0,25đ xyx 22 xyy 20 0,25đ 2 2 22 yy3 Mà: xxyy 220 x 0,25đ 24 xy0 0,25đ xy 0,25đ Ta có phương trình: 3 xx 210 2 b) xxx110 0,25đ x 10 2 0,25đ xx 10 x 1 15 0,5đ x 2 Vậy: Hệ phương trình có 3 nghiệm 15 15 xx x 1 22 ;; 0,25đ y 1 15 15 yy 22 3 (5 điểm) Ta có: 21 B 1 x x 21 213 1,0đ 1 xx 21xx 3 0,75đ a) 1 xx 21x x Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 2 số dương ; . Ta được: 1 x x 21xx B 2. 3322 0,5đ 1 xx Vậy: B 322;0 x 1 0,25đ Ta có: ab 2204 ab ab 0,25đ ab 4 0,5đ ab a b 11 4 0,25đ abab
4. 4 P 0,25đ ab b) Mà: ab 22 0,25đ 2 ab 0 P 2 . Dấu “=” xảy ra 0,5đ ab 22 ab 2 0,25đ Vậy: MinP 22 a b 0,25đ 4 (5 điểm) A C O 0,25đ D E F B 0 0,5đ a) Ta có: ACB ADB DAC 90 (góc nội tiếp chắn nửa (O)) ACBD là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông) 0,5đ Ta có : ADCB (ACBD là hình chữ nhật) 0,25đ ADCB (liên hệ giữa cung và dây cung) 0,25đ b) ACD CBE (góc nội tiếp với góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây chắn 0,25đ 2 cung bằng nhau) vuông ACD ∽ vuôngCBE (1 góc nhọn) 0,75đ Ta có : vuông ACD ∽ vuôngCBE (chứng minh trên) 0,25đ c) ADC CEB 0,5đ CDFE nội tiếp 0,25đ Ta có: CB// AF CBE∽ AFE 0,25đ S EB2 1 SEF2 S EB 1 0,25đ SEF d) Tương tự : S BF 2 0,25đ SEF SS 12 1 0,25đ SS SS12 S 0,25đ HẾT