Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi Lớp 8 môn Toán - Năm học 2014-2015 - UBND huyện Gia Viễn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi Lớp 8 môn Toán - Năm học 2014-2015 - UBND huyện Gia Viễn (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN GIA VIỄN ĐỀ THI KHẢO SÁT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Môn: Toán Năm học: 2014- 2015 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1. (5 điểm) Cho biểu thức: . a) Tìm x để giá trị của A được xác định. Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. Câu 2. (4 điểm) Giải các phương trình sau : a) = 0 b) c) Câu 3. (3 điểm) 1) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - 1 2) Tìm a,b sao cho chia hết cho đa thức 3) Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a > b > 0. Tính: Câu 4. (6,5 điểm) Cho hình vuông ABCD, trên tia đối của tia CD lấy điểm M bất kì (CM 0. Chứng minh rằng: 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: Hết
2. UBND HUYỆN GIA VIỄN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 8 PHÒNG GD&ĐT GIA VIỄN Năm học 2014 - 2015 Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút không kể thời gian giao đề (Hướng dẫn này gồm 05 câu, 05 trang) CHÚ Ý : - Nếu HS làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm của ý đó - Khi học sinh làm bài phải lý luận chặt chẽ mới cho điểm tối đa theo biểu điểm của ý đó Câu Đáp án Biểu điểm 1 (5 điểm) Cho biểu thức: . a) (3,5 điểm) * ĐKXĐ: 1,0 điểm 0,25 điểm Giá trị của A được xác định ⇔ 0,5 điểm ⇔ ⇔ ⇔ 0,25 điểm - ĐKXĐ : (Nếu HS chỉ nêu ĐKXĐ: cho 0,25 điểm) * Rút gọn : 3,0 điểm Ta có 0,75 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm 0,75 điểm b) (1,0 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên. * ∈ Z ⇔ x +1 2x ⇒ 2x + 2 2x Mà 2x 2x 0,5 điểm ⇒ 2 2x ⇒ 1 x ⇒ x = 1 hoặc x = -1 0,25 điểm
3. * Ta thấy x = 1 hoặc x = -1 (TMĐKXĐ) Vậy A= ∈ Z ⇔ x = 1 hoặc x = -1 0,25 điểm Giải các phương trình sau : a) (1,5 điểm) = 0 ⇔ (x2 + 2x) (x2 + 2x + 2) + 1 = 0 0,5 điểm ⇔ (x2 + 2x)2 + 2(x2 + 2x) + 1 = 0 ⇔ (x2 + 2x + 1)2 = 0 0,5 điểm ⇔ (x+1)4 = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1 0,25 điểm Vậy PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất x = -1 0,25 điểm b) (1,5 điểm) 0,5 điểm ⇔ 0,25 điểm ⇔ 0,25 điểm ⇔ y + 1 = 0 hoặc = 0 ⇔ y = -1 hoặc x = 0 0,25 điểm Vậy PT đã cho có 1 nghiệm duy nhất (x, y) = (0; -1) 0,25 điểm c) (1,0 điểm) 2 (4 điểm) (1) - ĐKXĐ: x ≠ -2; x ≠ -4; x ≠ -6; x ≠ -8 0,25 điểm - PT (1) ⇔ ⇔ 0,25 điểm ⇔ ⇔ 0,25 điểm ⇔ 0,25 điểm ⇔ x = 0 hoặc = ⇔ x = 0 hoặc x2 + 6x + 8 = x2 + 14x + 48 ⇔ x = 0 hoặc 8x = - 40 ⇔ x = - 5 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy PT đã cho có 2 nghiệm : x1 = 0; x2 = - 5 1) (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên n để số p là số nguyên tố biết: p = n3 - n2 + n - 1 - HS biến đổi được : p = (n2 + 1)(n - 1) 0,25 điểm - Nếu n = 0; 1 không thỏa mãn đề bài - Nếu n = 2 thỏa mãn đề bài vì p = (22 + 1)(2 - 1) = 5 0,25 điểm - Nếu n > 3 không thỏa mãn đề bài vì khi đó p có từ 3 ước trở lên là 1; n – 1> 1 và n2 + 1 > n – 1> 1 0,25 điểm
4. - Vậy n = 2 thì p = n3 - n2 + n - 1 là số nguyên tố 0,25 điểm 2) (1,0 điểm) Tìm a,b sao cho chia hết cho đa thức 0,25 điểm * = (x -1)(x - 2) * ⇔ = (x – 1)(x - 2).Q(x) (1) (mọi x∈ R) 0,25 điểm - Thay x1 = 1, x2 = 2 vào (1) ta có: a + b + 6 = 0 và 8a + 4b + 16 = 0 0,25 điểm ⇒ a = 2 và b = -8 0,25 điểm 3 Vậy ⇔ a = 2 và b = -8 (3 điểm) 3) (1,0 điểm) Cho 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0. Tính: - HS biến đổi được : 4a2 + b2 = 5ab ⇔ (4a - b)(a -b) = 0 ⇔ b = 4a hoặc b = a 0,25 điểm - Mà 2a > b > 0 ⇒ 4a > 2b > b nên a = b 0,25 điểm = - Ta có : 0,25 điểm 0,25 điểm - Vậy 4a2 + b2 = 5ab và 2a > b > 0 thì 4 - Hình vẽ 0,25 điểm (6,5 điểm) a) (2,25 điểm) Chứng minh: DH vuông góc với BM - HS CM : CD = BC, PC = CM, DCB = BCM = 900 0,75 điểm - CM: Δ DPC = Δ BMC (cgc) 0,75 điểm - Chứng minh được BHP = 900 0,75 điểm b) (2,0 điểm) Tính Q = - HS CM : MP ⊥ BD 0,5 điểm 0,5 điểm
5. - ; 0,5 điểm Tương tự : 0,5 điểm ⇒ Q = c) (2,0 điểm) Chứng minh: MP . MK + DK . BD = DM2 - CM: Δ MCP ~ ΔMKD (g.g) 0,5 điểm ⇒ MP . MK = MC . MD (1) 0,25 điểm - CM: ΔDBC ~ ΔDKM (g.g) 0,5 điểm ⇒ DK . BD = DC. DM (2) 0,25 điểm - Từ (1) và (2) ⇒ MP . MK + DK . BD = DM .(MC + DC) 0,25 điểm 2 ⇒ MP . MK + DK . BD = DM 0,25 điểm 1) (0,75 điểm) 0,25 điểm - HSCM: ≥ 2 với mọi x, y > 0 ⇒ -2 ≥ 0; - 1 ≥ 1 0,25 điểm ⇒ ( -2)( -1) ≥ 0 ⇒ ⇒ 0,25 điểm 5 Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y > 0 (1,5 điểm) 2) (0,75 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: *) x2 - 2x +1 = (x-1)2 ≥ 0 ⇒ x2 -2x +3 ≥ 2 mọi x ∈ R (1) y2 + 6y +9 = (y+3)2 ≥ 0 ⇒ y2 + 6y + 12 ≥ 3 mọi y ∈ R (2) 0,25 điểm + = (x2 - 2x)( y2 + 6y) + 12(x2 - 2x) + 3(y2 + 6y) + 36 + 2009 2 2 2 = (x - 2x)( y + 6y + 12) + 3(y + 6y +12) + 2009 0,25 điểm = (x2 - 2x + 3)( y2 + 6y + 12) + 2009 (3) + Từ (1) ; (2) và (3) ⇒ B ≥ 2.3 + 2009 ⇒ B ≥ 2015 *) B = 2015 ⇔ x = 1 và y = -3 0,25 điểm *) Min B = 2015 ⇔ x = 1 và y = - 3 Hết