Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thành phố Vinh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi khảo sát chất lượng học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thành phố Vinh (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI TẠO THÀNH PHỐ VINH NĂM HỌC 2022- 2023 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: Toán lớp 7 (Đề thi gồm có 01 trang) Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,5 điểm) 10. 1,44 24. 0,25 12 144  1. Tính giá trị biểu thức: a, A =++ :   3 7 79  454 .9− 2.6 9 b, N = 210 .3 8+ 6 8 .20 A 2. Cho A =++1 24 2 8 ++ 21996 + 2 2000 và B =++++1 22 2 4 22000 + 2 2002 . Tính tỷ số B Câu 2. (4,0 điểm) 1 a, Tìm xZ∈ biết 21x −+ = 2 4 b, Tìm xyz,,biết: 235xyz= = và xyz+−=3 2 66 3 22 12abc+− 3 5 a c, Cho b= ac; c = bd ( abcd,,, khác 0). Chứng minh rằng: = 12bcd+− 3 5 d Câu 3. (3,5 điểm) xy+ 2 2023 a, Cho xy, là các số nguyên dương thỏa mãn = . Tìm giá trị nhỏ nhất của x . xy+ 2022 b, Một bể nước dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài, chiều rộng và chiều cao tỉ lệ với 1: 2: 4. Tổng diện tích sáu mặt của bể nước là 112m2. Tính thể tích bể nước. c, Tìm các số nguyên dương abc,, thỏa mãn: aa32+3 += 55b và a +=35c Câu 4. (2,0 điểm) Một bể bơi được xây dựng thành hai khu vực với độ sâu khác nhau cho trẻ em và người lớn và các kích thước của lòng bể được cho như hình vẽ. 25 m 10 m 3 m 1,4 m 10 m 8 m Hỏi sau bao lâu bể bơi được bơm đầy nước, biết cứ mỗi phút máy bơm được vào bể 500 lít nước. Câu 5. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB < AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AB = AD. Qua B kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường thẳng AC tại E. a, Chứng minh rằng BE = CD; ED =BC b, Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của BE, CD. Chứng minh rằng A là trung điểm của PQ c, Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong tam giác ABC. Xác định vị trí của M để biểu thức MA.BC +MB.AC +MC.AB đạt giá trị nhỏ nhất. . . Hết
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI TẠO THÀNH PHỐ VINH NĂM HỌC 2022- 2023 Hướng dẫn chấm môn Toán 7 (Hướng dẫn chấm gồm có 04 trang) Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. Câu Đáp án Điểm 10. 1,44 24. 0,25 12 144  A =++ :  3 7 79    0,5 10.1,2 24.0,5 12 12  A =++ :   3 7 79  12 12 12 12 Câu 1a A =++: 37 79 (1,5 đ) 0,5 12.10 12.16 A = : 21 63 12.10 63 A = . 21 12.16 0,5 5 3 15 A =. = 18 8 454 .9− 2.6 9 N = 210 .3 8+ 6 8 .20 0,5 210 .3 8− 2.2 9 .3 9 N = 210 .3 8+ 2 8 .3 8 .2 2 .5 10 8 10 9 Câu 1b 2 .3− 2 .3 N = (1,5 đ) 210 .3 8+ 2 10 .3 8 .5 10 8 0,5 2 .3 .( 1− 3) N = 210 .3 8 ( 1+ 5) −−21 N = = 0,5 63 4 8 1996 2000 A =++1 2 2 ++ 2 + 2 4 4 8 12 2000 2004 2 .A = 2 + 2 + 2 ++ 2 + 2 4 2004 2.AA−= 2 − 1 0,5 212004 − A = 15 2 4 2000 2002 B =++++1 2 2 2 + 2 Câu 1c 2 2 4 6 2002 2004 (1,5 đ) 2 .B = 2 + 2 + 2 ++ 2 + 2 2 2004 2.BB−= 2 − 1 0,5 212004 − B = 3 2004 A 21212004−− 2004 3.( 2− 1) 1 Do đó: = : = = 0,5 B 15 3 15.( 22004 − 1) 5 1 21x −+ = 2 Câu 2a 4 0,5 (1,5 đ) 1 2x −=− 12 4
3. 7 21x −= 4 7 Trường hợp 1: 21x −= 4 0,5 11 Suy ra: x = 8 −7 Trường hợp 2: 21x −= 4 −3 0,5 Suy ra: x = 8 Vì x nguyên nên không tồn tại x thỏa mãn bài ra x yz Từ 235xyz= = suy ra = = . 0,5 15 10 6 Câu 2b Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: x yz xyz+−3 2 66 0,5 (1,5 đ) = = = = = 2 15 10 6 15+− 3.10 2.6 33 Khi đó: x =2.15 = 30 ; y =2.10 = 20 ; z =2.6 = 12 . 0,5 ab Từ b2 = ac suy ra = ; bc bc Từ c2 = bd suy ra = . 0,25 cd abc Do đó: = = bcd Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: abc12 abc+− 3 5 Câu 2c = = = 0,25 (1 đ) bcd12 b+− 3 c 5 d 33 a 12 abc+− 3 5  Suy ra =   b 12 bcd+− 3 5  3 abc12 abc+− 3 5 Hay =  0,5 bcd12 b+− 3 c 5 d 3 a12 abc+− 3 5 Vậy =  d12 bcd+− 3 5 xy+ 2 2023 x++2 y xy Từ = suy ra = xy+ 2022 2023 2022 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 0,5 x++2 y xy( x+2 y) −+( xy) = = = y Câu 3a 2023 2022 2023− 2022 (1 đ) Khi đó: xy+=2022 y 0,25 Hay xy= 2021 Để x đạt GTNN khi 2021y đạt GTNN. Mặt khác xy, là các số nguyên dương nên GTNN của y là 1. 0,25 Khi đó GTNN của x là 2021. Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể nước lần lượt là xyz,, (m). Điều kiện: xyz,,> 0. 0,25 Câu 3b xyz (1,5 đ) Khi đó: = = 124 Tổng diện tích sáu mặt của bể nước là: 2.( x++ y) . z 2 xy (m2) 0,25
4. Theo đề ra, ta có: 2.()x+ y . z += 2 xy 112 Hay xz++= yz xy 56 xyz x2 y 22 z xy yz xz Từ = = suy ra = = = = = 124 1 4 16 2 8 4 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 0,5 xy yz xz xy++ yz xz 56 = = = = = 4 2 8 4 2++ 8 4 14 Khi đó: xx2 =4.1 =⇒= 4 2 yy2 =4.4 = 16 ⇒= 4 0,25 zz2 =4.16 = 64 ⇒= 8 (Vì xyz,,> 0) Vậy thể tích của bể nước là: 2.4.8= 64 (m3) 0,25 Với a, b, c là các số nguyên dương, ta có: 5b=aa22 .() + 3 += 5 a .5cc +> 5 5 0,25 ⇒>55bc Do đó: 55bc ⇒aa2.() ++ 35 a + 3 Câu 3c ⇒+53a 0,25 (1 đ) Hay a +∈3 Ư(){}5=±± 1; 5 . Vì a là số nguyên dương nên a +=35. 0,25 Do đó: a = 2 Khi đó: 5b = 232 + 3.2 += 5 25 ⇒=b 2 5c =+=⇒= 235c 1. 0,25 Vậy a = 2, b = 2 , c = 1 ( thử lại t/m) 25 m B C E 10 m C'3 m B' M N A D 1,4 m F A' D' 10 m Q 8 m P Để tính thể tích bể bơi, ta tính thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' và hình lăng trụ đứng EC'NM.FD'PQ có đáy là hình Câu 4 thang vuông. 0,5 (2 đ) Thể tích hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' là: 10.25.1,4= 350 (m3) Thể tích hình lăng trụ đứng EC'NM.FD'PQ là: 1 0,5 .()() 25−+ 10 8 . 3 − 1,4 .10 = 184 (m3) 2  Thể tích bể bơi là: 350+= 184 534 (m3) 0,5 Đổi 534 m3 = 534 000 lít Thời gian bể bơi được bơm đầy nước là: 0,5 534 000 : 500= 1 068 (phút) Vậy sau 17 giờ 48 phút thì bể được bơm đầy nước.
5. E D A P Q Câu 4a M (2 đ) H B I C K Vì BE//CF nên ABD= ADC (hai góc so le trong) Chứng minh AEB= ACD (g.c.g) 1 Suy ra: BE= CD và AE= AC Chứng minh AED= ACB (c.g.c) 1 Suy ra: DE= BC 1 1 Vì PB= BE và QD= CD 2 2 0,5 Mà BE= CD Nên PB= QD Chứng minh APB= AQD (c.g.c) 0,5 Câu 4b Suy ra: PAB = QAD và AP= AQ (2 đ) Mặt khác: DAQ +=° QAB 180 Do đó: PAB +=° QAB 180 . 0,5 Hay ba điểm A, P, Q thẳng hàng. Vì AP= AQ và ba điểm A, P, Q thẳng hàng nên A là trung điểm của 0,5 PQ. Gọi I là giao điểm của AM và BC. Kẻ BH⊥⊥ AM, CK AM . Ta có: MA BC= MA( BI + CI ) 0,75 Mà BI≥≥ BH, CI CK . Do đó: MA BC≥+ MA BH MACK Câu 4c Hay MA.2 BC≥+ S 2 S (2 đ) ABM ACM Tương tự: MB.2 AC≥+ SABM 2 S BCM MC.2 AB≥+ SACM 2 S BCM 0,75 Suy ra: MA. BC++≥ MB . AC MC .4 AB SABC . Dấu bằng xảy ra khi AM⊥ BC , BM⊥ AC và CM⊥ AB . 0,5 Khi đó M là trực tâm của tam giác ABC.