Đề thi kiểm định chất lượng học sinh giỏi Toán Lớp 6 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Nghĩa Đồng (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi kiểm định chất lượng học sinh giỏi Toán Lớp 6 - Năm học 2021-2022 - Trường THCS Nghĩa Đồng (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD & ĐT TÂN KỲ ĐỀ THI KIỂM ĐỊNH CHẤT LƯỢNG HSG TRƯỜNG THCS NGHĨA NĂM HỌC 2021 – 2022. ĐỒNG Môn: Toán - Lớp 6 Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1( 4 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 22 22 A 5 222 122 100 5 2022  1 1 1 B 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 20) 2 3 20 5.46.94 39.( 8)4 C 4.213.38 2.84.( 27)3 Câu 2: (4 điểm) Tìm số nguyên x biết: a)14.72021 35.72021 3.49x 1 1 1 1 1 1 2 3 8 9 b) x 2 3 4 9 10 9 8 7 2 1 Câu 3 (4 điểm) a) Tìm số nguyên n để A= 2n2 + n- 6 chia hết cho 2n + 1 b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng : p2 124 c) Tìm các số nguyên tố x và y biết x2 - 6y2 = 1 Câu 4: (5 điểm) a) Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 15m, chiều rộng 8m. Người ta trồng một vườn hoa hình thoi ở trong mảnh đất đó, biết diện tích phần còn lại là 75m2. Tính độ dài đường chéo AC, biết BD=9m. b) Cho hai tia Ox và Oy đối nhau, trên tia Ox lấy hai điểm A và M sao cho OA=5cm, OM=1cm; trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB=3cm. Chứng tỏ: Điểm M là trung điểm của đoạn thẳng AB. c) Cho 30 điểm trong đó có đúng 5 điểm thẳng hàng ( ngoài ra không còn 3 điểm nào thẳng hàng). Qua 2 điểm ta vẽ được một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng. Câu 5: (3 điểm):
2. a) Tìm các cặp số nguyên x, y thỏa mãn: 3xy + 2x - 5y= 6 6n 3 b) Tìm số tự nhiên n để phân số M đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất 4n 6 đó. Hết. PHÒNG GD & ĐT TÂN KỲ HƯỚNG DẪN CHẤM KĐCL MÔN TOÁN 6 TRƯỜNG THCS NGHĨA ĐỒNG NĂM HỌC 2021 – 2022. Câu Ý Nội dung Điểm 22 22 A 5 222 122 100 5 2022  0.5 a) 1.5 22 22 A 5 222 122 100 5 2022 0.5 điểm 22 22 A 5 5 (222 122 100) 2022 0.5 A 2022 1 1 1 B 1 (1 2) (1 2 3) (1 2 3 20) 2 3 20 1 2.3 1 3.4 1 20.21 B 1 . . . 2 2 3 2 20 2 0.75 b) 2 3 4 21 B 0.25 1.5 điểm 2 2 2 2 Câu 1 0.5 1 ( 4 B .(1 2 3 20) điểm) 2 1 20.21 B . 105 2 2 5.46.94 39.( 8)4 C 4.213.38 2.84.( 27)3 5.46.94 39.84 0.25 C c) 4.213.38 2.84.273 0.25 1 điểm 5.212.38 39.212 0.25 C 215.38 213.39 0.25 212.38.(5 3) 212.38.2 C 1 213.38.(22 3) 213.38 Câu 2 a)14.72021 35.72021 3.49x 0.25 a) ( 4 3.49x 35.72021 14.72021 0.75 2 điểm điểm) 3.72x 72022.(5 2) 3.72022 1
3. 72x 72022 2.x 2022 x 1011 1 1 1 1 1 1 2 3 8 9 b) x 2 3 4 9 10 9 8 7 2 1 1 1 1 1 1 1 2 8 .x 1 1 1 1 0.5 2 3 4 9 10 9 8 2 b) 0.5 1 1 1 1 1 10 10 10 10 2 điểm .x 0.5 2 3 4 9 10 9 8 2 10 0.5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 .x 10. 2 3 4 9 10 2 3 9 10 x 10 Ta có A 2n2 n 6 n.(2n 1) 6 0.25 Vì A chia hết cho 2n+1 nên 62n 1 2n 1 U (6) 1; 2; 3; 6 0.5 Do 2n+1 là số lẻ nên ta có bảng sau a) 2n+1 1 -1 3 -3 1.5điểm 0.5 2n 0 -2 2 -4 n 0 -1 1 -2 Vậy với n 2; 1;0;1 thì A chia hết cho 2n+1 0.25 vì p nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ và p không chia hết cho 3. Ta có p2-1 =p2-p+p-1=(p-1)(p+1) Câu 3 do p là số lẻ nên p=2k+1( k N * ) 0.25 4 2 b) p 1 ( p 1)( p 1) 2k(2k 2) 4k(k 1)8(1) 0.5 điểm 1,5 điểm Mặt khác p-1,p,p+1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có một số chia 0.5 hết cho 3, mà p không chia hết cho 3 nên p-1 hoặc p+1 chia hết 0.25 cho 3. Từ đó suy ra p2-1=(p-1)(p+1)3 (2) Vì (3,8)=1 và từ (1) và (2) nên suy ra p2-1 24 Ta có x2-6y2=1 0.25 x2 1 6y2 x2 x x 1 6y2 x 1 x 1 6y2 Vì 6y22 x 1 x 1 2 mà (x+1)+(x-1)=2x2 nên x-1 và x+1 c) là hai số chẵn liên tiếp x 1 x 1 8 1 điểm 0.5 6y2 8 3y2 4 y2 mà y là số nguyên tố nên y=2 Với y=2 suy ra x2-6.22=1 x2 25 x 5 Vậy (x;y)=(5;2) 0.25
4. Câu IV a)1,5 5 điểm điểm 0.5 Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là: 15.8 120 m2 0.5 Diện tích phần trồng hoa hình thoi là: 120-75=45(m2) Độ dài đường chéo AC là 45.2:9=10(m) 0.5 Vì hai điểm A và M cùng thuộc tia Ox và OM<OA nên điểm M 0.75 b) nằm giữa O và A, suy ra OM+MA=OA 2 điểm MA=OA-OM=5-1=4(cm). 0.75 Vì OA và OB là hai tia đối nhau, M thuộc OA nên OM và OB là hai tia đối nhau, suy ra Điểm O nằm giữa hai điểm M và B. Khi đó: OM+OB=MB Hay MB=1+3=4(cm) 0.5 Vì điểm M nằm giữa hai điểm A và B và MA=MB=4cm nên M là trung điểm của đoạn thẳng AB Giả sử có 30 điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì số đường thẳng là: 30.29:2=435 (đường thẳng) 0.25 Với 5 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng thì vẽ được 0.25 c)1.5 5.4:2=10 (đường thẳng) 0.25 điểm Nhưng 5 điểm này thẳng hàng nên chỉ vẽ được 1 đường thẳng. 0.25 Do đó số đường thẳng giảm đi là: 10-1=9 ( đường thẳng) 0.5 Vậy vẽ được 435-9=426 (đường thẳng) Câu a) 3xy+2x-5y=6 x(3y 2) 5y 6 0.5
5. 5: 2 điểm 3x(3y 2) 15y 18 3 3x(3y 2) 15y 10 18 10 điểm 3x(3y 2) 5(3y 2) 8 (3x 5).(3y 2) 8 3y 2 U (8) 1; 2; 4; 8 0.5 Mà 3y+2 là số chia 3 dư 2 3y 2 1;2; 4;8 Ta có bảng sau: 3y+2 -4 -1 2 8 3x-5 -2 -8 4 1 y -2 -1 0 2 x 1 -1 3 2 1 Vậy (x;y) 1; 2 ; 1; 1 ; 3;0 ; 2;2  6n 3 3 6 Ta có: M 4n 6 2 4n 6 6 Vì có tử 6>0 nên để M đạt giá trị lớn nhất khi 4n-6 đạt giá 0.25 4n 6 b)1 0.25 trị dương nhỏ nhất với n là số tự nhiên điểm 0.25 Do đó 4n-6=2=>4n=8=>n=2. 0.25 3 6 9 Khi đó M 2 2 2 Vậy GTLN của M là 4,5 khi n=2 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN TÂN YÊN VĂN HÓA CẤP HUYỆN NGÀY THI 27/03/2022 ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC MÔN TOÁN LỚP 6 Bản hướng dẫn chấm có 05 trang A- TRẮC NGHIỆM CÂU ĐÁP ÁN CÂU ĐÁP ÁN 1 C 11 C 2 D 12 A 3 D 13 A 4 C 14 D 5 D 15 C 6 B 16 A 7 A 17 D 8 C 18 D
6. 9 B 19 D 10 C 20 A B- TỰ LUẬN Bài Hướng dẫn giải Điểm (5.5 Bài 1 điểm) 2 2 2 1 1 1 2021 1. Tính giá trị của biểu thức M 5 9 11 3 4 5 : . 7 7 7 1 7 7 1 2022 5 9 11 6 8 10 Ta có: 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2. 5 9 11 3 4 5 2021 5 9 11 3 4 5 2021 0.75 M : : 7 7 7 1 7 7 2022 1 1 1 7 1 1 1 2022 1 1 7. . 5 9 11 6 8 10 5 9 11 2 3 4 5 (2 điểm) 2 1 2021 : 0.5 7 7 2022 2 2 2 2021 : = 0 0.5 7 7 2022 Vậy M = 0 0.25 2. Chứng tỏ rằng M 75. 42021 42020 42 4 1 25 chia hết cho 100. Đặt S 42021 42020 42 4 1 M 75.S 25 0.5 2 Ta có S 42021 42020 42 4 1 4S 42022 42021 43 42 4 2022 (2 điểm) 2022 4 1 0.75 => 4S S 4 1 S . 3 42022 1 Do đó M 75.S 25 75. 25 25. 42022 1 25 25.42022 100.42021 0.5 3 Suy ra M 100 0.25 3 3. Tìm các số tự nhiên x, y, z nhỏ nhất khác không sao cho (1.5 18.x 24.y 36.z. điểm)
7. Đặt 18x 24y 36z m (với m ¥ *) m18;m24;m36 0.25 Do x, y, z nhỏ nhất khác không thỏa mãn 18x 24y 36z m nên m 0.5 cũng nhỏ nhất mà m18;m24;m36 m BCNN(18,24,36) Ta tìm được BCNN(18,24,36) = 72 m 72 0.25 Với m = 72 ta tìm được x 4; y 3; z 2 0.25 Vậy x 4; y 3; z 2 0.25 (3.5 Bài 2 điểm) 1. Tìm số nguyên tố p sao cho p 6, p 12, p 18, p 24 cũng là các số nguyên tố. Với p = 2; p = 3 thấy không thỏa mãn 0.25 Với p = 5, ta có: 1 p 6 5 6 11; p 12 5 12 17; p 18 5 18 23; p 24 5 24 29 0.75 (2 điểm) đều là số nguyên tố (thỏa mãn) Với p > 5, ta xét các khả năng: p 5k 1; p 5k 2; p 5k 3; p 5k 4 (với k ¥ * ) đều không 0.75 thỏa mãn Vậy p = 5 0.25 2. Bạn Lan tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến n và nhận thấy tổng đó chia hết cho 29. Bạn Loan tính tổng các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến m và cũng nhận thấy tổng đó chia hết cho 29. Tìm các số tự nhiên m và n biết rằng m n 50 . k(k 1) 2 Xét 1 2 3 k với k N và 0 k 50. 0.25 (1,5 2 k(k 1) điểm) Vì chia hết cho 29 nên k(k 1)29 mà 29 là số nguyên tố 2 0.5 k29 hoặc k 129 . Do k N và 0 k 50 nên k 29 hoặc k 1 29 k 29;28 0.5 m = 28, n = 29 (vì m < n < 50) Vậy m = 28, n = 29. 0.25
8. (4.0 Bài 3 điểm) Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Lấy điểm C nằm giữa hai điểm A và B sao cho BC = 4,5 cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC. A C B 1 0.5 (2 điểm) Vì điểm C nằm giữa hai điểm A và B nên ta có 0.75 AC CB AB AC AB CB Thay AB = 8cm, BC = 4,5cm ta được AC 8 4,5 3,5(cm) 0.5 Vậy AC = 3,5 cm. 0.25 Một khu đất hình chữ nhật có chu vi là 132m. Nếu giảm chiều rộng đi 5m và tăng chiều dài 5m thì chiều dài gấp đôi chiều rộng. Người ta 11 dùng 30% diện tích khu đất để trồng rau, diện tích khu đất để 30 trồng cây ăn quả, diện tích còn lại để xây nhà. Hỏi diện tích xây nhà là bao nhiêu? Khi giảm chiều rộng 5m và tăng chiều dài 5m thì chu vi không đổi. 0.25 Ta có nửa chu vi lúc sau là: 132: 2 = 66 (m) 1 Lúc sau chiều dài gấp đôi chiều rộng hay chiều rộng bằng chiều dài. 2 0.25 1 2 Suy ra chiều rộng lúc sau bằng nửa chu vi. (2.0 3 1 điểm) Chiều rộng khu đất đó là: 66. + 5 = 27 (m) 0.25 3 Chiều dài khu đất đó là: 66 – 27 = 39 (m) 0.25 Diện tích khu đất đó là: 27.39 = 1053 (m2) 0.25 3 Đổi: 30% = 10 3 11 1 0.25 Diện tích đất làm nhà chiếm số phần là: 1 (diện tích khu 10 30 3 đất) 1 Diện tích đất xây nhà là: 1053. = 351 (m2) 0.25 3 Đáp số: 351m2 0.25 Tìm số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện 2.22 3.23 4.24 n.2n 2n 11 Bài 4 (1 điểm) .
9. Đặt S 2.22 3.23 4.24 n.2n S 2n 11 Ta có: 2.S 2.23 3.24 4.25 n.2n 1 . 0.25 Suy ra: S 2S S 2.23 3.24 4.25 n.2n 1 2.22 3.23 4.24 n.2n 0.25 S n.2n 1 23 (23 24 25 2n ) 3 4 5 n n 1 3 Đặt P 2 2 2 2 , ta tính được P 2P P 2 2 0.25 S n.2n 1 23 2n 1 23 (n 1).2n 1 Do đó n 1 .2n 1 2n 11 n 1 210 n 210 1 1025 . Vậy 0.25 (14 Tổng điểm) Lưu ý khi chấm bài: + Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic. Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng. + Với bài 3 ý 1, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì trừ 0,5 điểm.