Đề thi Olympic 10-3 lần 3 môn Toán Lớp 10 năm 2018 - Trường THPT chuyên Nguyễn Du (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi Olympic 10-3 lần 3 môn Toán Lớp 10 năm 2018 - Trường THPT chuyên Nguyễn Du (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐĂK LĂK KỲ THI OLYMPIC 10-3 LẦN III NĂM 2018 TRƯỜNG THPT CHUYÊN NGUYỄN DU ĐỀ THI MÔN: TOÁN LỚP 10 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ Câu 1 (4 điểm) a) Giải phương trình: x3 x x2 21 3x 1 2 2 xy x y x 2y b) Giải hệ phương trình: x 1 2y 4 Câu 2 (4 điểm) a) Cho hình vuông ABCD. Các điểm M, N thuộc cạnh BA, BC sao cho BM = BN. Gọi H là hình chiếu của B trên CM. Chứng minh HD vuông góc với HN. b) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A', B ' và C '. Gọi Sa , Sb , Sc và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB 'C ', 3 BC ' A', CA' B ' và ABC. Chứng minh bất đẳng thức S S S S. Dấu đẳng thức a b c 2 xảy ra khi và chỉ khi nào? 3 Câu 3 (3 điểm) Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: a2 b2 c2 4 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 8abc a2 b2 c2 2018 Câu 4 (3 điểm) Chứng minh rằng 35 4 không thể là một số chính phương Câu 5 (3 điểm) Chín đường thẳng có cùng tính chất là: mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2:3. Chứng minh rằng có ít nhất ba đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm. Câu 6 (3 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn điều kiện: f x3 y 2y 3 f 2 x y2 f y f x , x, y ¡ HẾT
2. ĐÁP ÁN – HƯỚNG DẪN CHẤM Câu Nội dung đáp án Điểm a) Giải phương trình: x3 x x2 21 3x 1 1 1 x3 2x 4 x2 21 5 0,5 x2 4 x 2 x2 2x 2 x2 21 5 2 x 2 x 2 x 2x 2 0 0,5 x2 21 5 x 2 x2 2x 2 x2 21 5 x 2 0 0,5 x 2 x2 2x 2 x2 21 5x2 9x 8 0 Ta có x2 2x 2 x2 21 5x2 9x 8 0,x nên phương trình có 0,5 nghiệm duy nhất x 2 Câu 1 2 2 (4 điểm) xy x y x 2y b) Giải hệ phương trình: I x 1 2y 4 Điều kiện: x 1; y 0 0,5 2 2 2 x y y xy (x y) 0 I x 1 2y 4 (x y)(x 2y 1) 0 x 1 2y 4 x y (l) 0,5 x 2y 1 0 x 1 2y 4 x 2y 1 0,5 2 2y 4
3. y 2 x 5 0,5 KL: Vậy hệ phương trình có nghiệm (5; 2). a) Cho hình vuông ABCD. Các điểm M, N thuộc cạnh BA, BC sao cho BM = BN. Gọi H là hình chiếu của B trên CM. Chứng minh HD vuông góc với HN. 0,5 · · Gọi a là độ dài cạnh hình vuông và MBH BCH Ta có:               HN.HD HB BN HC CD HB.HC HB.CD BN.HC BN.CD Câu 2     (4 điểm) HB.CD BN.HC (vì HB  HC, BN  CD ) 0,5     BH.BA NB.CH BH.BA.cos NB.CH.cos 0,5 BM.a.cos2 NB.a.cos2 (vì HB BM.cos , CH BC cos ) 0 (vì BM BN ) 0,5 Vậy HB  HD b) Cho tam giác ABC. Trên các cạnh BC, CA và AB của tam giác đó, lần lượt lấy các điểm A', B ' và C '. Gọi Sa , Sb , Sc và S tương ứng là diện tích của các tam giác AB 'C ', BC ' A', CA' B ' và ABC. Chứng 3 minh bất đẳng thức S S S S. Dấu đẳng thức xảy ra 0,5 a b c 2 khi và chỉ khi nào? Ta có các công thức tính diện tích: 2Sa AC '.AB 'sin A; 2S AB.AC sin A
4. Sa AC ' AB ' 1 AC ' AB ' Suy ra  (BĐT Cauchy) S AB AC 2 AB AC 0,5 Sb 1 BA' BC ' Sc 1 CB ' CA' Tương tự ta cũng có: và S 2 BC BA S 2 CA CB Do đó: Sa Sb Sc 1 AC ' BC ' BA' CA' CB ' AB ' 3 0,5 S S S 2 AB BA BC CB CA AC 2 (đpcm) AC ' AB ' AB AC C ' B '//BC BA' BC ' Dấu bằng xảy ra A'C '//CA A’, B’, C’ là trung BC BA 0,5 B ' A'//AB CB ' CA' CA CB điểm của BC, CA, AB. 3 Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn: a2 b2 c2 4 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P 8abc 0,5 a2 b2 c2 1 4 1 4 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 4 4 a2 a a2 a 1 4 1 4 4 4 4 Tương tự ta có 4, 4 . Do đó P 8abc 12 0,5 b2 b c2 c a b c Câu 3 1 1 1 Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: 8abc 4 0,5 (3 điểm) 2a 2b 2c 1 1 1 9 Chứng minh được a b c a b c 0,5 63 Do đó P 4 2 a b c 2 9 3 Chứng minh được a b c 3 a2 b2 c2 a b c 0,5 4 2 1 Từ đó suy ra min P 25, khi a b c 0,5 2
5. 2018 Chứng minh rằng 35 4 không thể là một số chính phương Ta có 5 1 mod 2 52018 1 mod 2 52018 2k 1 k ¥ 0,5 2018 k Suy ra 35 32k 1 32 .3 k k 32 1 mod8 32 1 mod8 32 .3  3 mod8 0,5 52018 52018 3  3 mod8 3 4  7 mod8 (1) 0,5 Câu 4 (3 điểm) * Mặt khác với x là một số tự nhiên bất kì, 0,5 ta có x  r mod8 (với r 0; 1; 2; 3;4 ) r 2 0;1;4;9;16 r 2  a mod8 (với a 0;1;4 ) 0,5 Do đó x2  r 2 mod8 x2  a mod8 Như vậy một số chính phương khi chia cho 8 có các trường hợp số dư là 0, 1, 4. 0,5 2018 Từ (1) cho thấy 35 4 không thể là một số chính phương Chín đường thẳng có cùng tính chất là: mỗi đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng 2:3. Chứng minh rằng có ít nhất ba đường thẳng trong số đó cùng đi qua một điểm. 0,5 Để đường thẳng chia hình vuông thành hai tứ giác thì đường thẳng đó phải cắt hai cạnh đối diện chứ không phải hai cạnh kề nhau. Giả sử một đường thẳng cắt các cạnh AB, CD tại M, N. Các hình thang ADMN và BCMN có các đường cao bằng nhau, do đó tỉ số Câu 5 diện tích của chúng bằng tỉ số các đường trung bình, tức là MN chia (3 điểm) đoạn thẳng IJ nối trung điểm các cạnh AD và BC theo tỉ số 2:3. 1
6. Tương tự nếu đường thẳng cắt hai cạnh BC và AD thì đường thẳng này chia đoạn thẳng nối trung điểm KL của các cạnh AB, CD (đường 0,5 trung bình của hình vuông) theo tỉ số 2:3. Trên mỗi đường trung bình của hình vuông có hai điểm chia theo tỉ số 2:3, tức là có 4 điểm trên hai đường trung bình chia theo tỉ số 2:3. 0,5 Như vậy 9 đường thẳng đã cho luôn đi qua một trong 4 điểm nói trên. Theo nguyên lý Dirichlet có ít nhất 3 đường thẳng cùng đi qua 0,5 một điểm. Tìm tất cả các hàm số f : ¡ ¡ thỏa mãn điều kiện: f x3 y 2y 3 f 2 x y2 f y f x , x, y ¡ 1 0,5 Thay y x3 vào (1) ta có: f 0 2x3 3 f 2 x x6 f x3 f x , x ¡ 2 Thay y f x vào (1) ta có: 0,5 3 2 2 Câu 6 f x f x 2 f x 3 f x f x f 0 , x ¡ 3 (3 điểm) 3 3 2 9 Từ (2) và (3) suy ra 4 f x 3x f x x 0, x ¡ 4 0,5 3 2 3 6 f x x 4 f x x f x x 0, x ¡ 4 0,5 Ta có 4 f 2 x x3 f x x6 0,x 0 , do đó ta được phương trình 0,5 f x x3 ,x ¡ Thử lại thỏa mãn điều kiện bài toán 3 0,5 Vậy f x x ,x ¡