Đề thi olympic 10-3 lần thứ 3 môn Toán Lớp 10 năm 2018 - Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi olympic 10-3 lần thứ 3 môn Toán Lớp 10 năm 2018 - Trường THPT Huỳnh Thúc Kháng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK TRƯỜNG THPT HUỲNH THÚC KHÁNG KÌ THI OLYMPIC 10-3 LẦN III, NĂM 2018 ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN LỚP 10 1
2. ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN Câu 1 (4 điểm): Giải hệ phương trình: 2 2 2xy x y 1 x y x y x2 y Đáp án câu 1: 2 2 2xy x y 1 1 x y dk x y 0 0.5 x y x2 y 2 2 2xy 3 1 x y 2xy 1 0 x y 2xy x y 2xy x y 0 1.0 x y x y x y 2 1 2xy x y 1 0 1.0 x y 1 x y x y 1 2xy 0 0.5 x y 1 3 2 2 x y x y 0 4 Dễ thấy (4) vô nghiệm vì x+y>0 Thế (3) vào (2) ta được x2 y 1 x y 1 x 1; y 0 1.0 Giải hệ 2 x y 1 x 2; y 3 Vậy (1;0);(-2;3) là nghiệm của hệ. Câu 2 (4 điểm): Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) và một điểm M sao cho các góc AMB, BMC, CMA đều bằng 1200 . Các đường thẳng AM, BM, CM cắt đường tròn (O) lần lượt tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng: MA + MB + MC = MA’ + MB’ +MC’ Đáp án câu 2: 0.5 MA MB MC Lấy các điểm A1, B1,C1 sao cho MA1 , MB1 , MC1    MA MB MC 0 Ta có 3 vectơ MA1 , MB1 MC1 đều có độ dài bằng 1 và góc giữa chúng bằng 120 , nên M là tâm của tam giác đều A B C     1 1 1 0.5 2MA.MO 2MA.MP (P là trung điểm của AA’)    0.5 = MA.(MA MA' ) MA(MA MA' ) 0.5     MA ' ' Suy ra 2 .MO MA MA 2MA1.MO MA MA (1) 0.5 MA  Tương tự 2MB .MO MB MB' (2) 1  ' 0.5 2MC1.MO MC MC (3) 2
3. Từ (1), (2) , (3) ta có     ' ' MA MB MC MA MB MC ' 2(MA1 MB1 MC1)MO 0 1.0 MA MB MC MA' MB' MC ' Câu 3 (3 điểm) : Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x y 5 . 4x y 2x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P xy 4 Đáp án câu 3: Cho hai số dương x, y thỏa mãn: x y 5 . 4x y 2x y 4 1 x y 4 y 1 x y P 1,0 xy 4 y x 2 4 y 4 x 2 2 Thay y 5 x được: 4 y 1 x 5 x 4 y 1 5 4 y 1 5 3 1,0 P x 2 . 2 .x y 4 x 2 2 y 4 x 2 y 4 x 2 2 3 3 1,0 P bằng khi x 1; y 4 Vậy Min P = 2 2 Lưu ý: 3x 5 3x 5 Có thể thay y 5 x sau đó tìm giá trị bé nhất của hàm số g(x) x(5 x) 4 22n 1 Câu 4 (3 điểm): Chứng minh rằng n 1,n ¥: 2 3 là hợp số. Đáp án câu 4: 22n 1 0,5 n 1,n ¥ ta có 2 3 7 2 2n Vì 2 1(mod3) 2 1(mod3) 1,0 22n.2 1.2(mod3.2)hay22n 1  2(mod 6) 0,5 22n 1 6k 2(k ¢ ) có dạng 0,5 6 22n 1 Mặt khác 2 64 1(mod 7) 2 3 là hợp số 0,5 Câu 5 (3,0 điểm): Trong một quyển sách có 800 trang thì có bao nhiêu trang mà số trang có ít nhất một chữ số 5. Đáp án câu 5: • Trường hợp 1: số trang có 1 chữ số: có 1 trang 0,5 1.0 • Trường hợp 2: số trang có 2 chữ số a1a2 Nếu a1 = 5 a2 có 10 cách chọn có 10 trang Nếu a2 = 5 a2 có 8 cách chọn ( vì a1 ≠ 0,a1≠ 5) có 18 trang 3
4. 1,0 • Trường hợp 3: số trang có 3 chữ số a1a2a3 Do sách có 800 trang a1 chọn từ 1 7 + Nếu a1 = 5 a2 có 10 cách chọn, a3 có 10 cách chọn có 100 trang + Nếu a2=5 a1 có 6 cách chọn(vì a1≠5), a3có10 cách chọn có 60 trang + Nếu a3=5 a1 có 6 cách chọn, a2 có 9 cách chọn(vì a1≠5,a2≠5) có 54 trang Vậy số trang thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 233 trang. 0,5 Câu 6 (3,0 điểm): Cho hàm số : f : ¥ ¥ n f (n) Thỏa mãn f [f(m) +f(n)] m n, m,n ¥ . Tìm f(2017) Đáp án câu 6: Từ giả thiết suy ra f [2f(n)] 2n và f [2. f (1)] 2 0,5 Ta chứng minh f (1) 1 * Thật vậy giả sử f (1) 1 k(k ¥ ) Khi đó do giả thiết : f [2f(k)] 2k f (k) 2 f (1) f [ f (2 f (k)) f (2 f (1))] f (2k k) f (2 f (1) 2 f (k) f (1) 1vô lý Như thế 1,0 Do đó phải có f(1)=1 0,5 Giả sử f (n) n khi đó f (n 1) f [ f (n) f (1)] n 1Suy ra f (n) n,n ¥ * (1) Theo kết quả (1) ta có f(2017)=2017 1,0 HẾT 4