Đề thi olympic 10-3 lần thứ 3 môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Trường Chinh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi olympic 10-3 lần thứ 3 môn Toán Lớp 10 - Trường THPT Trường Chinh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐẮK LẮK TRƯỜNG THPT TRƯỜNG CHINH KÌ THI OLYMPIC 10-3 LẦN III ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN LỚP 10
2. ĐỀ THI VÀ ĐÁP ÁN Câu 1: Giải phương trình: x3 1 2 3 2x 1 Đáp án câu 1: Đặt: 3 2x 1 a a3 2x 1 , khi đó ta có hệ phương trình: x3 1 2a a x a2 ax+x2 2 0 3 a 1 2x Vì: a2 ax+x2 2 0 nên a x x 1 3 x 2x 1 0 1 5 x 2 Câu 2: Cho các số dương a, b, c thỏa abc=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của : bc ca ab P a2b a2c b2c b2a c2a c2b Đáp án câu 2: 1 a x 1 Đặt: b , khi đó P trở thành: y 1 c z x2 y2 z2 P y z z x x y Áp dụng bất đẳng thức cauchy : x2 y z y2 z x z2 x y x , y , z y z 4 z x 4 x y 4 1 Cộng vế theo vế ta được: P x y z x y z 2 1 1 3 P x y z .3.3 xyz 2 2 2 Dấu “ = “ xảy ra khi: x y z a b c 1 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P 2 Câu 3: Cho M là một điểm nằm ở miền trong tam giác ABC và N, P, Q là ba điểm thẳng hàng nằm trên các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng nếu : S S S MAN MBP 2 MAQ thì NP//AC SMBN SMCP SMCQ NA PB QC Đáp án câu 3: Theo định lý Menelaus ta có: . . 1 NB PC QA S S S S S S Do đó: MAN . MBP . MCQ 1 hay MAN . MBP MQA SMBN SMCP SMAQ SMBN SMCP SMCQ Từ điều kiện bài toán ta được:
3. S S S S S S MAN MBP 2 MAN . MBP MAN MBP SMBN SMCP SMBN SMCP SMBN SMCP NA PB Vậy: NP / / AC NB PC Câu 4: Cho tập A 1,2, ,16 . Hãy tìm số nguyên dương k nhỏ nhất sao cho trong mỗi tập con gồm k phần tử của A đều tồn tại hai số phân biệt a, b mà a2 b2 là một số nguyên tố. Đáp án câu 4: Nếu a, b chẵn thì a2 b2 là hợp số. Do đó nếu tập con X của A có hai phần tử phân biệt a, b mà a2 b2 là một số nguyên tố thì X không chỉ chứa các số chẵn. Suy ra: k 9 . Ta chứng tỏ k 9 là giá trị nhỏ nhất cần tìm. Điều đó có ý nghĩa là với mọi tập con X gồm 9 phần tử bất kì của A luôn tồn tại hai phần tử phân biệt a, b mà a2 b2 là một số nguyên tố. Để chứng minh khẳng định trên ta chia tập A thành các cặp hai phần tử phân biệt a, b mà a2 b2 là một số nguyên tố, ta có tất cả 8 cặp: 1;4 , 2;3 , 5;8 , 6;11 , 7;10 , 9;16 , 12;13 , 14;15 . Theo nguyên lí Dirichlet thì 9 phần tử của X có hai phần tử cùng thuộc một cặp và ta có điều phải chứng minh. Câu 5: Tìm các hàm số f: R R thỏa mãn: f x xf 1 x x2 1,x R , (1) Đáp án câu 5: Trong (1) thay x bởi 1 x ta được: f 1 x 1 x f x 1 x 2 1 x2 2x 2,x R , (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: x3 3x2 2x 1 2 f x f x xf 1 x x 1 x2 x 1 1 x f x f 1 x x2 2x 2 x3 x 1 g x x2 x 1 x3 3x2 2x 1 Thử lại có duy nhất một hàm số thỏa mãn đề bài là: f x ,x R x2 x 1