Đề thi Olympic cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Tứ Kỳ (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi Olympic cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Tứ Kỳ (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỨ KỲ ĐỀ THI OLYMPIC CẤP HUYỆN HỘI ĐỒNG THI OLYMPIC NĂM HỌC 2022 - 2023 MÔN: TOÁN - LỚP 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 05 cầu, 01 trang) Câu 1. (2,0 điểm) 1) Thực hiện phép tính 2 3 191 33  7 11  1011 9 a) −+.:  +  . + 191 382 17 34  1011 2022  25 2    0 2 1 25 2023 b) 11−− 72 1 : − 2 4 2024 111     1  1  c) −−−1  1  1   − 1  − 1  2222  3  4   99 2  100 2  2023 A= x −2 yz ++ 25 2) Tính giá trị biểu thức ( ) biết: 3x= 4 y =−− 534 zxy và 2xyz+=− 19 Câu 2. (2,0 điểm) 1) Tìm x , biết 32 2 1 1 2 3 14 15 1 a) +: −=x b) ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ = + 55 3 2 4 6 8 30 32 221x 1 2 3 100 c) xxx+ ++ ++ +++ x =102 x 101 101 101 101 xyz 2) Cho 3 số thực x, y,z thỏa mãn: = = . 2021 2022 2023 32 Chứng minh: ( xz−=) 8( xy −) ( yz −) Câu 3. (2,0 điểm) a) Cho ab, là các số nguyên dương, chứng minh rằng biểu thức ab( a22++22)( b ) luôn chia hết cho 9. b) Tìm cặp số tự nhiên ( xy; ) trong đó y là chữ số, biết rằng: 1++ 2 +( x − 1) = yyy − x Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A ( AB> BC ). Gọi F là trung điểm của AC , qua F kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt đường thẳng BC tại M . Trên tia đối của tia AM lấy điểm N sao cho AN= BM . a) Chứng minh: AMC= BAC . b) Chứng minh: AM= CN c) Lấy điểm D trên cạnh AC , điểm E trên cạnh AB sao cho AD= AE . Trên tia BM BC+ DE lấy I sao cho BI= DE . Chứng minh: // và BD > . 2 Câu 5. (1,0 điểm) 𝐸𝐸𝐸𝐸 𝐷𝐷𝐷𝐷 Cho các số nguyên dương abc;; thỏa mãn abc++=2023. Chứng minh rằng giá trị biểu abc thức sau không phải là một số nguyên: A =++ 2023−−−cab 2023 2023 Hết (Chú ý: Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài.)
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2022 -2023 Môn: Toán – Lớp 7 Câu ý Nội dung Điểm 1) Thực hiện phép tính 2 3 191 33  7 11  1011 9 a) −+.:  +  . + 191 382 17 34  1011 2022  25 2    0 2 1 25 2023 b) 11−− 72 1 : − 2 4 2024 111     1  1  c) −−−1  1  1   − 1  − 1  2222  3  4   99 2  100 2  2 3 191 33  7 11  1011 9 a) −+.:  +  . + 191 382 17 34  1011 2022  25 2    4 3 191 33  14 11  1011 9  =−++.:   . + 0,25 382 382 17 34  2022 2022  25 2 1 191 33  25 1011 9  =++. :. 382 17 34  2022 25 2 1 33  1 9  =++: 34 34  2 2  0,25 1 =1:5 = 5 0 2 1 25 2023 b) 11−− 72 1 : − 2 4 2024 35 32 0,25 Câu 1 =121 −− 72 : − 1 =−−49 . 1 22 25 2,0 1) 3 3 27 điểm =−−71=6 − = 0,25 5 5 5 111     1  1  c) −−−1  1  1   − 1  − 1  2222  3  4   100 2  101 2  Do tích có 100 thừa số âm nên tích mang dấu dương. 111     1  1  0,25 −−−1  1  1   − 1  − 1  2222  3  4   100 2  101 2  1.3 2.4 3.5 100.102 =⋅⋅ ⋅ 222 3 4 2 101 2 1.3.2.4 100.102 = 2222 .3 .4 101 2 1.2.3.4 100 3.4.5 102 1 102 51 0,25 = . = . = . 2.3.4 101 2.3.4 101 101 2 101 = =−− +=− 2) Tìm xyz,, biết: 3x 4 y 534 zxy và 2xyz 19
3. Ta có: 3x= 4 y =−− 534 zxy 34534345345x y zxy−− xyzxy + +−− z ⇒== = = 1 1 1 111++ 3 345xyz 0,25 ⇒== 113 xyz ⇒== 20 15 36 Lại có: 2xyz+=− 19 ⇒2xyz +−=− 19 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z2 xyz+− −19 = = = = = −1 20 15 36 2.20+− 15 36 19 0,25 Suy ra: xyz=−=−=−20; 15; 36 2023 Vậy A =−+−( 20 30 36 + 25) =− 1 1) Tìm x , biết 32 2 1 a) +: −=x 55 3 2 1 2 3 14 15 1 b) ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ = 4 6 8 30 32 221x+ 1 2 3 100 c) xxx+ ++ ++ +++ x =102 x 101 101 101 101 32 2 1 a) +: −=x Câu 2 55 3 2 2,0 2 2 13 điểm :−=−x 0,25 5 3 25 22− 1 :−=x 5 3 10 2 21− −=x : 1) 3 5 10 2 −=−x 4 3 2 x = + 4 0,25 3 14 x = 3 14 Vậy x = 3 1 2 3 14 15 1 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ = b) 21x+ 4 6 8 30 32 2 1 2 3 14 15 1 ⋅ ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ = 2.2 2.3 2.4 2.15 2.16 221x+ 0,25 1 1.2.3 14.15 1 ⋅= 215 2.3.4 15.16 22x+ 1 11 1 . = 215 16 22x+ 1
4. 11 = 2219 2x+ 1 2x += 1 19 0,25 2x = 18 x = 9 Vậy x = 9 1 2 3 100 c) xxx+ ++ ++ +++ x =102 x 101 101 101 101 Điều kiện: 102xx≥⇒≥ 0 0 0,25 1 2 3 100 Với x ≥ 0 ta có: xxx+ ++ ++ +++ x = 102 x 101 101 101 101 1 100.101 ⇔−+(100xx 102) . = 0 101 2 ⇔−2x + 50 = 0 0,25 ⇔−2x =− 50 ⇔=x 25 (TMĐK) Vậy x = 25 xyz Cho 3 số thực x, y,z thỏa mãn: = = . 2021 2022 2023 32 Chứng minh rằng: ( xz−=) 8( xy −) ( yz −) xyz Ta có: = = 2021 2022 2023 xz−− xy yz − ⇒== 0,25 2021−−− 2023 2021 2022 2022 2023 xz−− xy yz − ⇒== 2) −−−211 32 xz−  xy −−  yz ⇒=  . −2  −− 11  32 ( xz−−) ( xy) yz− ⇒=32. (−−21) ( ) −1 0,25 32 ⇒−( xz) =8( xy −) ( yz −) 32 Vậy ( xz−=) 8( xy −) ( yz −) . a) Cho ab, là các số nguyên dương chứng minh biểu thức ab( a22++22)( b ) luôn chia hết cho 9. 2 Nếu a3thì aa( + 23) Câu 3 0,5 Nếu a / 3thì a2 :3 dư 1 nên a2 + 2 hay aa2 + 23 2,0  ( ) điểm 2 Suy ra aa( + 23) với mọi số nguyên dương a 1) 0,25 Tương tự bb( 2 + 23) với mọi số nguyên dương b 22 Suy ra ab( a++22)( b ) luôn chia hết cho 9. 0,25
5. b) Tìm số cặp số tự nhiên ()xy; , y là chữ số biết: 1++++ 2 3 4 + (x − 1) = yyy − x Ta có : 1++++ 2 3 4 + (x − 1) = yyy − x 1++++ 2 3 4 + (x − 1) += x yyy 0,25 xx(+ 1) Mà: 1++++ 2 3 4 +=x và yyy= y.111 = y .3.37 2 xx(+ 1) ⇒ =y.3.37 ⇒ xx ( += 1) 2.3.37. y 2 0,25 ⇒+xx( 1) chia hết cho 37 ⇒ x hoặc x +1chia hết cho 37 ( vì (xx ,+= 1) 1) (1) ( ) 2) Ta có: = 999 ( + 1) 1998 < 𝑥𝑥 𝑥𝑥+1 45 (2) 2 �𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦���� ≤ ⇒ 𝑥𝑥 𝑥𝑥 ≤ ⇒ 𝑥𝑥 0,25 Từ (1) và (2) suy ra x = 37 hoặc + 1 = 37 . +) Với x = 37 thì = = 𝑥𝑥703 (không thỏa mãn) 37 38 36.372 +) Với x +=1 37 thì�𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦�� ��yyy = = 666 (thỏa mãn) 0,25 2 Vậy()()xy;= 36;6 N Câu 4 3,0 A điểm 0,25 E D F M C I B a) Chứng minh ∆MAC cân tại M ° 0,5 ⇒=− AMC180 2 ACB (1) Lại có: ∆ABC cân tại A ⇒=−BAC 180° 2 ACB (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra AMC= BAC . = (kề bù với hai góc bằng nhau) 0,5 Xét� ∆BMA� và ∆ANC có: 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 0,5
6. BM= AN( GT ) ; b) AB= AC( GT ) ; ABM= CAN (chứng minh trên) Suy ra ∆=∆BMA ANC( c g c) . ⇒=MA NC Vì AD= AE nên tam giác ADE cân tại A và DC= BE Ta có tam giác AED và ABC cân tại A nên 1800 − BA C 0,25 AED = ABC = 2 Suy ra DE// BC Xét tam giác BIE và EDB có: BI= DE EBI= BED (do DE// BC ) 0,25 BE : cạnh chung. Suy ra ∆=∆BIE EDB( c. g . c) ⇒ EI // DB c) Xét ∆BDE và ∆CED có: DC= BE ED là cạnh chung BED = CDE 0,25 Suy ra ∆BED =∆ CDE( c g c) ⇒= BD CE (1) . Lại có: ∆BIE =∆⇒= EDB IE DB(2) Từ (1) và (2) suy ra CEIEB= = D . Áp dụng bất đẳng thức tam giác trong tam giác EIC ta có: EI+>=+=+ EC IC IB BC DE BC . 0,25 DE+ BC BC+ DE Hay 2BD>+⇒> DE BC BD . Vậy BD >⋅ 2 2 Cho các số nguyên dương abc;; thỏa mãn abc++=2023. Chứng minh rằng giá trị biểu thức sau không phải là một số nguyên: abc A =++ Câu 5 2023−−−cab 2023 2023 1,0 2023−=+c ab điểm  Theo bài ra ta có abc++=2023 ⇒ 2023 −=+abc 0,25  2023−=+bac
7. a b c abc A = + + =++ 2023−c 2023 − a 2023 − b ab +++ bc ac Vì a,b,c là các số nguyên dương nên a b c a b c abc++ 0,25 ++> + + = =1 ab+ bc + ac + abc ++ bca ++ acb ++ abc ++ a a am+ Chứng minh: <⇒1 < 0,25 b b bm+ abc Ta có ;;< 1 nên abbcac+++ a b c ac+++ ba cb 2.(abc++) 0,25 ++< + + = =2 ab+ bc + ac + abc ++ bca ++ acb ++ abc ++ Vì 12<<A nên A không phải là một số nguyên. *Lưu ý: Học sinh làm cách khác nếu đúng yêu cầu của bài vẫn cho điểm tối đa.