Đề thi Olympic môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Kinh Môn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi Olympic môn Toán Lớp 7 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD và ĐT Kinh Môn (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN KINH MễN ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2017 - 2018 PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MễN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 150 phỳt ( Đề này gồm 5 cõu, 01 trang) Cõu 1: (2,0 điểm) 1 a) Tớnh giỏ trị của biểu thức : A = 2x2 – 3x + 5 với x 2 b) Tỡm x, biết: xx2 1 x 2 5 Cõu 2: (2,0 điểm) 3abca 3 bcab 3 c a) Cho ba số a, b, c khỏc 0 thỏa món điều kiện: a b c a b b c c a Tớnh giỏ trị biểu thức P = c a b b) Cho biết (x -1).f(x) = (x +4).f(x +8) với mọi x. Chứng minh rằng f(x) cú ớt nhất bốn nghiệm. Cõu 3: (2,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn x - 3y +2xy = 4 b) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2018 là số chính phương. Cõu 4: (3,0 điểm) 1) Cho ABC cú gúc A nhỏ hơn 900. Vẽ ra ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc vuụng cõn tại A là ABM và ACN. a) Chứng minh rằng: MC = BN và BN  CM; b) Kẻ AH  BC (H BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. 2) Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại B. Điểm M nằm bờn trong tam giỏc sao cho MA: MB: MC = 1: 2: 3. Tớnh số đo AMB ? Cõu 5: (1,0 điểm) Cho 2016 số nguyờn dương a1 , a2, a3 , , a2016 thỏa món : 1 1 1 1 300 a1 a 2 a 3 a 2016 Chứng minh rằng tồn tại ớt nhất 2 số trong 2016 số đó cho bằng nhau Hết Họ và tờn thớ sinh: SBD: Giỏm thị 1: Giỏm thị 2: 1
2. UBND HUYỆN KINH MễN HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC : 2017 – 2018 MễN : TOÁN - LỚP 7 (Hướng dẫn chấm gồm: 5 cõu, 04 trang) Cõu Đỏp ỏn Điểm a. (1,0đ). 0,25 1 1 1 Vỡ x nờn x = hoặc x = - 2 2 2 0,25 1 1 1 * Với x = thỡ A = 2.( )2 – 3. + 5 = 4 2 2 2 1 1 1 0,25 *Với x = - thỡ A = 2.(- )2 – 3.(- ) + 5 = 7 2 2 2 1 1 1 (2,0đ) Vậy A = 4 với x = và A = 7 với x = - . 2 2 0,25 b. (1,0đ). vỡ x2 x 1 0 nờn ta cú: 0,25 xx2 1 x 2 5 => xx2 1 x 2 5 => x 1 5 => x + 1 = 5 hoặc x + 1 = - 5 0,25 * Trường hợp 1: x + 1 = 5 => x = 4 0,25 * Trường hợp 2: x + 1 = - 5=> x = - 6 0,25 Vậy x = - 6 hoặc x = 4 a. (1,0đ). Theo bài ra: 3abca 3 bcab 3 c (1) với a, b, c khác 0 ta có 0,25 a b c 3abc abc 3 abc 3 => 2 2 2 a b c 3abc 2 aabc 3 2 babc 3 2 c => a b c 0,25 abc abc abc => (2) a b c 2 + Nếu a+ b + c 0 thì từ (2) ta có a = b = c (2,0đ) a b b c c a 2c 2 a 2 b 0,25 Khi đó P = = 2 2 2 6 c a b c a b + Nếu a + b + c = 0 thì a + b = - c; b + c = - a; c + a = - b a b b c c a c a b 0,25 Khi đó P = = 1 1 1 3 c a b c a b b. (1,0đ). Vỡ đa thức (x - 1). f (x) = (x +4). f(x +8) đỳng với mọi x nờn *) Với x = 1 thỡ ta cú: (1 - 1). f(1) = (1 + 4) . f(9) 0. f(1) = 5. f(9) f( 9) = 0 0,25 Suy ra x = 9 là 1 nghiệm của đa thức f(x) 2
3. *) Với x = - 4 thỡ ta cú : -5. f(-4) = 0. f(4) f(-4) = 0 Suy ra x = - 4 là 1 nghiệm của đa thức f(x) 0,25 *) Với x = 9 thỡ ta cú: 8. f(9) = 13. f(17) f(17) = 0 (vỡ f(9) = 0) 0,25 Suy ra x = 17 là 1 nghiệm của đa thức f(x) *) Với x = 17 thỡ ta cú: 16. f(17) = 21. f(25) f(25) = 0 (vỡ f(17) = 0) Suy ra x = 25 là 1 nghiệm của đa thức f(x) 0,25 Vậy đa thức f(x) cú ớt nhất 4 nghiệm là 9 ; - 4; 17; 25 a. (1,0đ). Ta cú: x - 3y + 2xy = 4 => 2x+ 4xy - 6y = 8 => 2x + 2x.2y - 3.2y - 3 = 8 - 3 0,5 => 2x(1+ 2y) - 3.(2y + 1) = 5 => (2x - 3)(1 + 2y) = 5 Vì x, y Z nên 2x - 3 ; 1 + 2y Z nên 2x - 3 ; 1 + 2y Ư(5) Ta có bảng sau 2x – 3 - 1 -5 1 5 1 + 2y - 5 -1 5 1 0,25 x 1 -1 2 4 y -3 -1 2 0 Vì x, y nguyên nên cỏc cặp số nguyờn thỏa món là: 0,25 (x; y) (1; -3) ; ( -1; -1); (2; 2); (4; 0)  3 (2,0đ) b. (1,0đ). Giả sử n2 + 2018 là số chớnh phương với n là số tự nhiờn 0,25 Khi đú ta cú n2 + 2018 = m2 (m N * ) Từ đú suy ra : m2 - n2 = 2018 m2 – mn + mn - n2 = 2018 m(m - n) + n(m – n) = 2018 (m + n) (m – n) = 2018 Như vậy trong 2 số m và n phải cú ớt nhất 1 số chẵn (1) 0,25 Mặt khỏc ta cú: m + n + m – n = 2m 2 số m + n và m – n cựng tớnh chẵn lẻ (2) 0,25 Từ (1) và (2) m + n và m – n là 2 số chẵn. (m + n) (m – n)  4 nhưng 2018 khụng chia hết cho 4 Điều giả sử sai. Vậy khụng tồn tại số tự nhiờn n để n2 + 2018 là số chớnh phương. 0,25 3
4. F N Vẽ hỡnh đỳng phần a 0,25 D a) Xột AMC và ABN, cú: M E AM = AB ( AMB vuụng cõn) 0 MAC BAN (= 90 + BAC ) A AC = AN ( ACN vuụng cõn) Suy ra AMC = ABN (c.g.c) 0,25 I => MC = BN ( 2 cạnh t. ứng) 0,25 K Gọi I là giao điểm của BN với AC, K là giao điểm của BN với MC. Vỡ AMC = ABN (c.g.c) B H C ANI KCI mà AIN KIC (đối đỉnh) 0,25 KCI KIC ANI AIN 900 do đú: MC  BN b) Kẻ ME  AH tại E, NF  AH tại F. Gọi D là giao điểm của MN và AH. - Ta cú: BAH MAE = 900 (vỡ MAB = 900) (1) Lại cú MAE AME = 900 (2) Từ (1) và (2) AME BAH Xột MAE và ABH, vuụng tại E và H, cú: 0,25 AME BAH (chứng minh trờn) 4 MA = AB( AMB vuụng cõn) (3,0đ) Suy ra MAE = ABH (cạnh huyền - gúc nhọn) ME = AH - Chứng minh tương tự ta cú AFN = CHA (cạnh huyền - gúc nhọn) 0,25 FN = AH Ta cú ME// NF (cựng vuụng gúc với AH)=> EMD FND (hai gúc so le trong) Xột MED và NFD, vuụng tại E và F, cú: ME = NF (= AH) EMD FND MED = NFD( g.c.g) 0,25 MD = ND ( hai cạnh tương ứng) => D là trung điểm của MN Vậy AH đi qua trung điểm của MN. 0,25 4
5. MA MB MC Theo bài ra: MA: MB: MC = 1: 2: 3 1 2 3 MA MB MC Đặt = a ( a > 0) 1 2 3 0,25 => MA = a; MB = 2a; MC = 3a. Vẽ tam giỏc MBK vuụng cõn tại B ( K và A nằm cựng phớa đối với BM). => BK= BM = 2a Xột ABK và CBM cú: AB = BC ( ABC vuụng cõn tại B) MBC ABK ( cựng phụ với gúc ABM) 0,25 BM = BK Do đú ABK CBM cgc suy ra CM = KA = 3a. Xột tam giỏc vuụng MBK vuụng tại B ta cú MK2 MB 2 MK 2 2 a 2 2 a 2 8 a 2 Xột tam giỏc AMK cú AM2 MK 2 a 28 a 2 9 a 2 3 a 2 AK 2 Theo định lớ Py – ta – go đảo => tam giỏc KMA vuụng tại M. 0,25 0 AMK 90 => AMB AMK KMB 900 45 0 135 0 . Vậy AMB 1350 0,25 Giả sử trong 2016 số đó cho khụng cú 2 số nào bằng nhau, khụng mất tớnh tổng quỏt ta giả sử a1 < a2 < a3 < < a 2016. 0,25 Vỡ a1 , a2, a3 , , a2016 đều là cỏc số nguyờn dương nờn: a1 1; a 2 2; a 3 3; , a 2016 2016 1 1 1 1 1 1 1 Suy ra: 1 a1 a 2 a 3 a 2016 2 3 2016 5 0,25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (1,0đ) 1 2 3 4 5 6 7 1024 1025 1026 2016 1 1 1 1 1 1 .2 .4 .8 .512 .993 2 4 8 512 1024 0,25 1 1 1 1 1 .2 .22 .2 3 .2 10 11 300 2 22 2 3 2 10 Mõu thuẫn với giả thiết. Do đú điều giả sử là sai. 0,25 Vậy trong 2016 số đó cho phải cú ớt nhất 2 số bằng nhau. Ghi chỳ: Nếu học sinh giải bằng cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa. Hết 5