Đề thi Olympic môn Toán Lớp 7 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Quốc Oai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi Olympic môn Toán Lớp 7 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Quốc Oai (Có đáp án)

1. PHÒNG GD&ĐT QUỐC OAI ĐỀ OLIMPIC TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2020 - 2021 (Đề gồm có 01 trang) Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Họ và tên: SBD: Bài 1 (5 điểm) 9 219 .27 3 .5 15. 4 .9 4 315 .2 22 6 16 .4 4 1/ Tính giá trị của biểu thức: A 69 .2 10 12 10 2.99 .8 7 7.27 5 .2 23 2/ Tìm x biết 10 2 2 x 3x 13 7 7 a/ x 3 1024.125 .25 b/ x 2 5 5 5 10 Bài 2 (4 điểm). x y z 1/ Tìm x; y; z biết: và x2 y 2 z 2 116 2 3 4 a b c d 2/ Cho (a,b,c,d 0) 2b 2c 2d 2a 2021a 2020b 2021b 2020c 2021c 2020d 2021d 2020a Tính giá trị của T cd da ab bc Bài 3 (3 điểm) Ba thửa ruộng hình chữ nhật A,B,C có cùng diện tích. Chiều rộng của 3 thửa ruộng A, B, C lần lượt tỷ lệ với 3 ; 4 ; 5. Chiều dài của thửa ruộng A nhỏ hơn tổng chiều dài của 2 thửa ruộng B và C là 35m. Tính chiều dài mỗi thửa ruộng. Bài 4 (6 điểm) Cho ABC vuông cân tại A. M là trung điểm của BC. Lấy điểm D bất kỳ trên đoạn BM. H, I thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng: a/ BH = AI b/ BH2 + CI2 có giá trị không đổi. c/ IM là phân giác của DIC Bài 5 (1 điểm) Cho ABC cân tại A có A 3C . Vẽ tia Cx sao cho CA là tia phân giác của BCx , Cx cắt BA tại D. Trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác cân? Vì sao? Bài 6 (1 điểm) Tìm tất cả các số abc có ba chữ số khác nhau sao cho 3a + 5b = 8c Cán bộ coi kiểm tra không giải thích gì thêm. Họ tên, chữ kí của cán bộ coi
2. PHÒNG GD & ĐT QUỐC OAI KÌ THI OLIMPIC Năm học 2020 - 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 Bài 1 1) Tính giá trị của biểu thức: 9 (5đ) 219 .27 3 .5 15. 4 .9 4 315 .2 22 6 16 .4 4 A 69 .2 10 12 10 2.99 .8 7 7.27 5 .2 23 2/ Tìm x biết 10 2 2 x 3x 13 7 7 a/ x 3 1024.125 .25 b/ x 2 5 5 5 10 9 219 .27 3 .5 15. 4 .9 4 219 .3 9 .5 2 18 .3 9 .5 5.3 9 .2 18 .3 3 1) = 69 .2 10 12 10 219 .3 9 2 20 .3 10 2 19 .3 9 . 5 2 0.75 15 22 16 4 15 22 24 16 22 15 2 3 .2 6 .4 3 .2 2 .32 .3 1 2 .3 13 13 2đ = 2.99 .8 7 7.27 5 .2 23 222 .3 18 7.3 15 .2 23 222 .3 15 3 3 7.2 5 5 0.75 3 13 15 26 11 Vậy A = 2 5 10 10 0.5 10 10 2 2 10 0.75 2/ a) x 3 1024.125 .25 x 3 10 Vì x 3 0 x 3 10 x 7 x = 49 0.75 Vậy: x = 49 3đ x 3x 13 7 7 x 3x 13 7 7 b) x x 0.5 2 5 5 5 10 2 5 5 5 10 x 3x 7x 7 13 6x 6 x = - 2 1 2 5 10 5 5 10 5 Vậy: x = - 2 Bài 2 x y z 1/ Tìm x; y; z biết: và x2 y 2 z 2 116 (4đ) 2 3 4 a b c d 2/ Cho (a,b,c,d 0) Tính giá trị của 2b 2c 2d 2a 2021a 2020b 2021b 2020c 2021c 2020d 2021d 2020a T cd da ab bc x y z 1/ Tìm x; y; z biết: và x2 y 2 z 2 116 2 3 4 x y z x2 y 2 z 2 Ta có 2 3 4 4 9 16 0.5 Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3. x2 y 2 z 2 x2 y 2 z 2 116 = 4 4 9 16 4 9 16 29 0.5 x 2 4 x2 16 x 4 4 y2 4 y2 36 y 6 9 0.5 z2 4 z2 64 z 8 16 x y z Mà x; y cùng dấu và x; z trái dấu 0.5 2 3 4 (x; y; z) ∈ {(4; 6; - 8); (- 4; - 6; 8)} 0.5 a b c d a b c d 2/ Vì 2b 2c 2d 2a bc d a Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c d a b c d 1 abc d 0.5 bdac bc d a 2021a 2020b 2021b 2020c 2021c 2020d 2021d 2020a T cd da ab bc 2021a 2020a 2021a 2020a 2021a 2020a 2021a 2020a 1 aa aa aa a a 1 4. 2 2 Bài 3 Ba thửa ruộng hình chữ nhật A,B,C có cùng diện tích. Chiều rộng của 3 (3đ) thửa ruộng A, B, C lần lượt tỷ lệ với 3 ; 4 ; 5. Chiều dài của thửa ruộng A nhỏ hơn tổng chiều dài của 2 thửa ruộng B và C là 35m. Tính chiều dài mỗi thửa ruộng. Gọi chiều rộng của ba thửa ruộng A; B; C lần lượt là a; b; c (a; b; c > 0) Gọi chiều dài của ba thửa ruộng A; B; C lần lượt là x; y; z (x; y; z > 0) Vì chiều rộng của ba thửa ruộng A; B; C lần lượt tỉ lệ với 3; 4; 5 a b c 3 4 5 0.5 Vì ba thửa ruộng A; B; C có cùng diện tích nên : ax = by = cz a b c a b c 3x. 4y. 5z. mà 3x = 4y = 5z 3 4 5 3 4 5 0.5 x y z mà chiều dài của thửa ruộng A nhỏ hơn tổng chiều dài 20 15 12 0.5
4. của 2 thửa ruộng B và C là 35m y + z – x = 35 0.5 Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: x y z y z x 35 = 5 20 15 12 15 12 20 7 0.5 x y z 5 x = 100; 5 y = 75; 5 z = 60 20 15 12 0.5 Vậy chiều dài của ba thửa ruộng A; B; C lần lượt là 100; 75; 60 Chú ý: Học sinh có thể giải theo cách sau: - Vì Ba thửa ruộng có diện tích bằng nhau nên chiều dài và chiều rộng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch - Mà chiều rộng của ba thửa ruộng tỉ lệ thuận với 3; 4; 5 nên chiều rộng của ba thửa ruộng tỉ lệ nghịch với 3; 4; 5 3x = 4y = 5z từ đó HS tính ra kết quả Bài 4 Cho ABC vuông cân tại A. M là trung điểm của BC. Lấy điểm D bất kỳ (6đ) trên đoạn BM. H, I thứ tự là hình chiếu của B, C trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng: a/ BH = AI b/ BH2 + CI2 có giá trị không đổi. c/ IM là phân giác của DIC B H D M I 0.5 C A a/ Chỉ ra BAH ACI (cùng phụ CAI ) Chỉ ra ∆BAH = ∆ACI (ch-gn) 1.5 BH = AI b/ Từ ∆BAH = ∆ACI AH = CI 1 BH2 + CI2 = BH2 + AH2 = AB2 (áp dụng ĐL Pytago trong ∆BAH vuông tại H) 0.5 Mà AB có giá trị không đổi nên BH2 + CI2 không đổi 0.5
5. c/ M là trung điểm của BC, ∆ABC vuông cân tại A nên MAC ABM 450 ; BM AM 0.5 ∆BAH = ∆ACI ABH CAI ABH ABM CAI CAM MBH MAI ∆MBH và ∆MAI có: BH = AI (cmt); BM = AM và MBH MAI ∆MBH = ∆MAI (cgc) HM = IM và HMB IMA 0.75 0 0 0 Mà IMA IMB 90 HMB IMB 90 IMH 90 0 0 MIH vuông cân MIH 45 mà DIC 90 0.5 IM là phân giác của DIC 0.25 Bài 5 Cho ABC cân tại A có A 3C . Vẽ tia Cx sao cho CA là tia phân giác (1đ) của BCx , Cx cắt BA tại D. Trong hình vẽ có bao nhiêu tam giác cân? Vì sao? D A C B ABC cân tại A nên A 3C 3B A B C 5B 1800 0.25 B 1800 :5 36 0 C A 36 0 .3 108 0 ; ACD 72 0 CAD 1800 108 0 72; 0 ADC 180 0 72 0 36 0 72 0 0.5 0 CAD CDA BCD BDC 72 Nên trong hình vẽ có 3 tam giác cân là ABC cân tại A; CAD cân tại C; 0.25 BCD cân tại B Bài 6 Tìm tất cả các số abc có ba chữ số khác nhau sao cho 3a + 5b = 8c (1đ) Từ 3a + 5b = 8c 3a – 3b +8b = 8c 3(a – b) = 8c – 8b 0.25 0.25 Hay 3(a – b) = 8(c – b) 3(a – b)  8 mà (3, 8) = 1 nên a – b  8 Do 0a9;0b9 9ab9;ab0 a b 8;8 0.25 Nếu a – b = - 8 a = 1; b = 9 8c = 3.1 + 5.9 = 48 c = 6
6. Nếu a – b = 8 a = 8; b = 0 hoặc a = 9; b = 1 + a = 8; b = 0 8c = 8.3 + 0 = 48 c = 3 + a = 9; b = 1 8c = 9.3 + 5.1 = 32 c = 4 0.25 Vậy: Các số abc cần tìm là 196; 803; 914. Ghi chú: Học sinh làm cách khác đúng chấm điểm tương đương.