Đề thi Olympic môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thị xã Hoàng Mai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi Olympic môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thị xã Hoàng Mai (Có đáp án)

1. UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI ĐỀ THI OLYMPIC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán 7 (Đề thi gồm 01 trang) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (3,0 điểm) a) ( 8) : {25 18: [(5 + 2 ): 11 2023 ]} b) 2+ +. . . +2 3 0 −1 −1 1 − 3 22 1 1 1+2+3 0,41+2+3+4−+1+2+ −0,+252023 + 2013 c) A = 9 11− 3 5 : 77 1 1,4−+ 1 − 0,875 + 0,7 2014 9 11 6 Câu 2. (4,0 điểm) a) Cho = = . Chứng minh rằng = = 3𝑥𝑥−2𝑦𝑦 2𝑧𝑧−4𝑥𝑥 4𝑦𝑦−3𝑧𝑧 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 = 5 + 9 + 4 + 5 + = 5 b) Tính giá4 trị của 3đa thức 2 2 3 4 với 4 2 2 4 2 2 2 c) Tìm x biết: = 𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥−3 20 Câu 3. (5,0 điểm)5 𝑥𝑥−3 a) Tìm x; y biết (2 6) + |3 9| 0 b) Ông A chia một khu đ2024ất thành 3 mảnh hình chữ nhật có diện tích bằng nhau cho ba người con trai. Biết rằ𝑥𝑥ng − chiều rộng c𝑦𝑦ủa − các≤ mảnh đất lần lượt là 6m, 8m, 10m. Tổng chiều dài các mảnh đất là 47m. Tính diện tích khu đất đó. c) Tìm x, y nguyên biết: xy - 3x + 2y = -7 Câu 4. (6,0 điểm) Cho ∆ ABC cân tại A, trên BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE, các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần lượt ở M và N a) Chứng minh rằng: DM = EN b) Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN c) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên BC. Câu 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thỏa mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 2022ab + 2023bc + 4045ca 0 Hết ≤ (Thí sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. 2 UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI HƯỚNG DẪN CHẤM PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC Năm học 2022-2023 (Đáp án gồm 04 trang) Môn: Toán 7 Câu Nội dung Điểm Câu 1 (4,0 điểm) 2 22 0 (−8) :{ 25 − 18:( 5 +− 2) :11 2018 } 0.5 =−−64 : 25 18: 33:11 1 1.1 { [ ]} =64 :{ 25 − 18: 2} =64 :16 = 4 . 0.5 1 1 1 1 + + + + (1 + 3). 3 (1 + 4). 4 (1 + 5). 5 (1 + 2023). 2023 0.5 2 2 2 2 1.2. ⋯ = + + +. . . + = 2 + + +. . . + = . . . . . . . . 2 2 2 2 1 1 1 1 0.5 23 4 4 5 5=6 2023 2024 �3 4 4 5 5 6 2023 2024� 1 1 2021 �3 − 2024� 3036 3 22 1 1 0,4 −+ −0,25 + 2013 A = 9 11− 3 5 : 77 1 1,4−+ 1 − 0,875 + 0,7 2014 9 11 6 3 22 2 111 −+ −+ 1.3. 2013 = 5 9 11− 3 4 5 : 0.5 77 7 77 7 2014 −+ −+ 5 9 11 6 8 10 3 11 1 111 2−+ −+ 3 5 9 11 345 2013 2 2 2013 = −: =−= :0 0.5 1 1 1  71 1 1 2014 7 7 2014 7−+  −+  5 9 11  2 3 4 5  Câu 2 (4,0 điểm) 3 2 2 4 4 3 = = 2.1 4 3 2 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑧𝑧 − 𝑥𝑥 𝑦𝑦 − 𝑧𝑧 = = = 12𝑥𝑥−8𝑦𝑦 6𝑧𝑧−12𝑥𝑥 8𝑦𝑦−6𝑧𝑧 16 9 4
3. 3 = = 0 0.5 12𝑥𝑥 −8𝑦𝑦+6𝑧𝑧−12𝑥𝑥+8𝑦𝑦−6𝑧𝑧 3 = 2 16+9+4 Suy ra 3x - 2y = 0; 2z - 4x = 0; 4y - 3z = 0 2 = 4 4𝑥𝑥 = 3𝑦𝑦 0.5 → � 𝑧𝑧 𝑥𝑥 = ; = ; = = = 2 3 2 4 3 4 2 𝑦𝑦3 4𝑧𝑧 0.5 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑧𝑧 𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 = 5 + 9 → + 4 + 5 → = 5 + 54 2+ 42 4+ 4 2+ 5 0.5 𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑦 2.2. = 5 4( +2 2) + 4 2 (2 + 4 ) + 52 =5. . 5 + 4 . 5 + 5 0.5 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 25 2 +225 =225( 2+ 2 ) 2 2 2 2 2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 25.52 = 1252 2 2 0.5 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑦𝑦 3 20 ó: = 5 3 2.3 𝑥𝑥 − 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑐𝑐( 3) = 100 0.5 3 = 10 2 𝑥𝑥 −3 = 10 → 𝑥𝑥 − = 13 = 7 0.5 → 𝑥𝑥 − ℎ𝑜𝑜ặ𝑐𝑐 𝑥𝑥 − − Câu 3 → 𝑥𝑥 ℎ𝑜𝑜ặ𝑐𝑐 𝑥𝑥 − (4,0 điểm) (2 6) 0 ; |3 6| 0 0.25 mà (2 20246) + |3 9| 0 0.25 3.1. 𝑥𝑥 − ≥ ∀𝑥𝑥 𝑦𝑦 − ≥ ∀𝑦𝑦 nên 2x-6=0 và2024 3y-6=0 0.25 suy ra 𝑥𝑥x=3− và y=3 𝑦𝑦 − ≤ 0.25 Gọi chiều dài của 3 mảnh đất lần lượt là x, y, z (x, y, z ; x, y, z < 47) (m) ∗ Không mất tính tổng quát ta giả sử : x < y < z. ∈ ℕ 0.5 Vì các hình chữ nhật có diện tích bằng nhau, do đó chiều dài và chiều rộng của mỗi hình chữ nhật tương ứng là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có : 10.x = 8.y = 6.z 0.5 3.2. = = = = 10𝑥𝑥 8𝑦𝑦 6𝑧𝑧 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có : ⇒ 120 120 120 ⇒ 12 15 20 + + = = = 12 15 20 12 + 15 + 20 0.5 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 Mà x + y + z = 47 = = = = 1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑧𝑧 47 x = 12; y = 15; z = 20 ⇒ 12 15 20 47 Vậy ta có các mảnh đất hình chữ nhật với kích thước như sau ⇒ Rộng 6m, dài 20m; rộng 8m, dài 15m; rộng 10m, dài 12m 2 Các mảnh đất này có diện tích bằng nhau và bằng 6.12 = 72 (m )
4. 4 Diện tích khu đất là 72.3 = 216 (m2) 0.5 Ta có: xy - 3x + 2y = -7 ⇒ ( 3) + 2( 3) = 13 ( 3)( + 2) = 13 → 𝑥𝑥 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 − − Do x, y là các số nguyên nên y-3; x+2 cũng là các số nguyên → 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 − x+2 -1 1 -13 13 y-3 13 -13 1 -1 x -3 -1 -15 11 y 16 -10 4 2 Vậy các cặp số ( xy; ) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: ( 3; 16), ( 1; 10), ( 15; 4), (11; 2) − − − − Câu 4 (4,0 A điểm) M 1 I 1 C E B D H 2 O N a) Ta có = ; = 0.5 Nên = 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀� 𝐴𝐴𝐴𝐴�𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴�𝐴𝐴 𝑁𝑁�𝑁𝑁𝑁𝑁 Xét hai tam giác MBD và tam giác NCE ta có : 4.1. 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀� 𝑁𝑁�𝑁𝑁𝑁𝑁 BD=CE; = ; = 1.0 Suy ra: ∆=∆MDB NEC( g c g ) ⇒=DM EN (cặp cạnh tương 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀𝑀� 𝑁𝑁�𝑁𝑁𝑁𝑁 𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵𝐵� 𝑁𝑁𝑁𝑁�𝑁𝑁 0.5 ứng) b) ∆MDI vuông tại D: DMI += MID 900 (tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông) 0.5 4.2. ∆NEI vuông tại E: ENI += NIE 900 (tổng hai góc nhọn trong tam 0.5 giác vuông) Mà MID= NIE (đối đỉnh) nên DMI= ENI ⇒∆MDI =∆ NEI( g c g ) ⇒ IM = IN (cặp cạnh tương ứng) 1.0
5. 5 Vậy BC cắt MN tại điểm I là trung điểm của MN Ta có: ∆=∆MDB NEC( g c g ) ⇒=MB NC (cặp cạnh tương ứng) Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC. 0.5 ∆=∆AHB AHC (cạnh huyền – cạnh góc vuông)⇒=HAB HAC (cặp góc tương ứng) Gọi O là giao điểm của AH với đường thẳng vuông góc với MN kẻ từ 0.5 I 4.3. ∆=∆OAB OAC( ) c g c ⇒ OBA = OCA (cặp góc tương ứng) (1) ⇒=OC OB (cặp cạnh tương ứng) ∆OIM =∆ OIN( ) c g c ⇒= OM ON (cặp cạnh tương ứng) 0.5 ∆=∆⇒OBM OCN( ) c c c OBM = OCN (cặp góc tương ứng) (2) Từ (1) và (2) suy ra OCA = OCN = 900 , do đó OC⊥ AC Mà AC cô định đường thẳng OC cố định Mặt khác đường thẳng AH cố định 0.5 Vậy điểm O cố định Câu 5 (2,0 điểm) Từ a + b + c = 0 ta có: b + c = -a; a + b = -c 0.5 Do đó 2022ab + 2023bc + 4045ca = 2022ab + 2022ca + 2023bc + 2023ca 0.5 = 2022a(b + c) + 2023c(b + a) = 2022a.(-a) +2023c.(-c) = - 2022a2 - 2023c2 0 1.0 ≤ Hết