Đề thi olympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Thanh Oai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi olympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Thanh Oai (Có đáp án)

1. phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o §Ò thi olympic líp 8 Thanh oai N¨m häc 2016 - 2017 M«n thi : To¸n §Ò chÝnh thøc Thêi gian lµm bµi : 120 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò ) Bài 1: (5 điểm) 1. Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số nguyên tố 12n2 – 5n - 25 2. Giải phương trình: a) x3 + 9x3 + 11x – 21 = 0 b) / 2x - x2 – 1/ = 2x - x2 - 1 Bài 2: (4 điểm) 1. Tìm số nguyên dương x, y sao cho: x3 + y3 + 4(x2 + y2 ) + 4 (x + y ) = 16xy x4 y 4 1 2. Cho a, b, x, y thỏa mãn: a b a b 2 2 x y 1 x2016 y 2016 2 Chứng minh rằng: a1008 b 1008( a b ) 1008 Bài 3: (5 điểm) 27 12x 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 9 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1 1 1 P = ab2 2 2 3 bc 2 2 2 3 c 2 2a 2 3 Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC. Gọi P là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác đó. Đường thẳng qua P và vuông góc với CP, cắt CA và CB theo thứ tự tại M và N. Chứng minh: a) Δ AMP ~ Δ APB 2 AM AP b) BN BP c) BC.AP2 + AC.BP2 + AB.CP2= AB. AC.BC Bài 5: (1 điểm) Chứng minh rằng giữa ba số nguyên tố lớn hơn 3 luôn tìm được hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12. Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
2. PHÒNG GD&ĐT THANH OAI HD CHẤM THI OLYMPIC LỚP 8 NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN 8 Thời gian làm bài:120 phút Câu Nội dung Điểm Câu 1 1, A= 12n2 – 5n - 25 = (4n + 5)(3n-5) 0,5đ. ( 5 điểm) A là số nguyên tố và 4n + 5 > 0 -> 3n – 5 > 0 , 4n + 5 > 3n – 5 -> A là số nguyên tố -> 3n – 5 = 1 -> n = 2 Có A = 12.22 – 5.2 – 25 = 13 là số nguyên tố 0,5đ. 3 2 2, a/ x + 9x + 11x – 21 = 0 ( x3-1) + ( 9x2 – 9) + ( 11x – 11) = 0 1,0đ. ( x – 1)(x2 + x + 1) + 9(x+1)(x-1)+ 11(x-1)= 0 ( x – 1 )(x + 3 ) ( x + 7 ) = 0 -> x = 1 hoặc -3 hoặc -7 1,0đ. 2 2 b/ / 2x - x – 1/ = 2x - x - 1 Do 2x - x2 – 1 = - (x – 1 ) 2 0 1,0đ. Pt x2 - 2x + 1 = 2x - x2 – 1 x = 1 1,0đ. Câu 2 1) pt = ( x3 - 4x2+ 4x) + (y3 - 4y2+ 4y) + ( 8x2 + 8y2 -16xy) = 0 1,5đ. (4 điểm) x( x - 2)2 + y( y - 2)2 + 8(x – y)2 = 0 (1) Do x( x - 2)2 0 , y( y - 2)2 0, 8(x – y)2 0 (2) Từ (1), (2) -> x = y = 2 1,5đ. x4 y 4 1 (1) 2) a b a b 2 2 x y 1(2) 2 2 2 x4 y 4 x y Thay (1) = (x2 y 2 ) 2 vào (1) có 0,5đ. a b a b x2 y 2 xy 2 2 1 bx2 = ay2 -> a b a b a b x2016 y 2016 1 -> a1008 b 1008( a b ) 1008 x2016 y 2016 2 -> 0,5đ. a1008 b 1008( a b ) 1008
3. Câu 3 2 2 27 12x x 12x 36 ( x 9) (x 6)2 ( 5 điểm) 1) A = 1 1 2,0đ. x2 9 x 2 9 x 2 9 -> Min A = -1 x = 6 0,5đ. 2 2 2 2) Có xy  0 xy 2x y 0,5đ. 2 2 2 Áp dụng ta có: a b 2a b , b 1 2 b 1 1 -> a2 2 b 2 32(a b b 1) -> a2 2 b 2 3 2( ab b 1) 1,0đ Tương tự: 1 1 1 1 , b2 2 c 2 3 2 bc c 1 c 2 2a 2 3 2( ac a 1) 1 1 1 1 P 2 ab b 1 bc c 1 ac a 1 1 1 ab b = 2 ab b 1 b 1 ab 1 ab b 1ab b 1 1 . ( Do abc = 1) 2ab b 1 2 1 -> P a = b = c = 1 max 2 1,0đ. Câu 4 (5 điểm) ˆ 0 a) AMP = C1 = 90 ˆ ˆ 0 A B APB = 180 - 2 2 Aˆ Bˆ = 1800 - 0,5đ. 2 0 ˆ 0 180 C = 180 - 2 ˆ 0 0 C = 180 90 2 ˆ 0 C ˆ ˆ = 90 , A1 A 2 2 -> Δ AMP ~ Δ APB 1,5đ. (g.g) b) Tương tự Δ APB ~ Δ PNB 0,5đ. 2 2 AM AP PN AMPN AP AM AP -> . 1,5đ. MP PB NB MPNB BP NB BP
4. AM PN c) Δ AMP ~ Δ PNB -> MP NB 2 -> AM . NB = PN . MP = MP -> AM . NB = CM2 – CP2 = (CA – AM )(CB – BN) – CP2 = CA.CB – CA.BN – AM.CB + AM.BN – CP2 -> AM.CB + BN.CA + CP2 = CA.CB 0,5đ. -> AM.CB.AB + BN.CA.AB + CP2 .AB = AB.BC.CA (1) AM AP Từ Δ AMP ~ Δ APB -> AMAB. AP2 (2) AP AB BN BP 2 Tương tự BNAB. BP (3) BP AB Từ (1), (2), (3) -> đpcm 0,5đ. Câu 5 Một số nguyên tố lớn hơn 3 khi chia cho 12 thì chỉ có thể có số (1 điểm) dư là 1; 5; 7; 11 chia tập hợp số nguyên tố thành 2 tập hợp con. A là tập hợp số nguyên tố chia 12 dư 1 hoặc 11, B là tập hợp số nguyên tố chia 12 dư 5 hoặc 7. Vì có 3 số nguyên tố mà chỉ thuộc một trong 2 tập hợp A hoặc B. Nên theo nguyên tắc đirichle phải có 2 số thuộc cùng một tập hợp, 2 số này có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12 1,0đ. *Chú ý :Học sinh có thể giải cách khác, nếu chính xác thì vẫn cho điểm.