Đề thi olympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Thạch Hà (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi olympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD và ĐT Thạch Hà (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT THẠCH HÀ ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn: TOÁN 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút I. PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) Câu 1: Một căn phòng hình vuông được lát bởi 729 viên gạch men hình vuông có cùng kích thước (không viên nào bị cắt xén). Trên hai đường chéo của nền nhà được lát gạch men trắng, phần còn lại lát gạch men xanh. Tính số gạch men mỗi loại. 2 Câu 2: Tìm số tự nhiên ab sao cho: ab acd b ; trong đó c, d là các chữ số. 2020201920182 Câu 3: Cho đa thức f ( x )x2 xx5 x1 0 x3 . Tính f ( 1 2 ) Câu 4: Bạn An hỏi bạn Bình: “Bố mẹ bạn năm nay bao nhiêu tuổi ?”. Bạn Bình trả lời: “Bố mình hơn mẹ mình 2 tuổi, trước đây khi tổng số tuổi của bố và mẹ là 74 thì tuổi của hai anh em mình là 7 và 11, còn hiện nay, tổng số tuổi của bố và mẹ mình bằng 11 tổng số 4 tuổi của hai anh em mình”. Hỏi năm nay bố mẹ bạn Bình bao nhiêu tuổi ? 22222 Câu 5: Tính A 1111 1 1.42.53.64.72019.2022 Câu 6: Tìm các số a, b, c để đa thức ax b32 x c chia hết cho đa thức x – 2 và chia cho đa thức x2 – 1 thì dư 2x + 5 1113 Câu 7: Tìm các bộ số nguyên (a, b, c) thỏa mãn: 0 và ab + bc + ca = 0 abc333 4 Câu 8: Cho hình thang vuông ABCD ( AD90µ µ 0 ) có BC vuông góc với BD; BD = 12cm, AB + CD = 25cm. Tính độ dài AB, CD. Câu 9: Một đa giác lồi có 27 đường chéo. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh ? Câu 10. Hai đường trung tuyến AM và BN của tam giác ABC cắt nhau tại G. Tính diện tích tam giác ABC biết diện tích tam giác AGB bằng 5cm2 II. PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi) Câu 11: Tìm số nguyên n để 12n2 – 5n – 25 là một số nguyên tố. Câu 12: a) Tìm số tự nhiên n, biết S(n - 3) + n = 120; trong đó S(n - 3) là tổng các chữ số của số tự nhiên n - 3. 3213 xx b) Giải phương trình: xx 3123 Câu 13: Cho ABC (A 900), các đường cao BD, CE. a) Chứng minh ADE đồng dạng với ABC b) Gọi I là trung điểm của ED, M là trung điểm của BC. Chứng minh A· IDA M· B c) Gọi giao điểm của AI với BC là H, AM với DE là K. Chứng minh K HB C. Câu 14: Cho các số x, y thỏa mãn 36x2 +16y2 = 9. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của biểu thức P = – 2x + y Hết Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.
2. SƠ LƯỢC GIẢI VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2018 - 2019 MÔN: TOÁN LỚP 8 Lưu ý: Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng. Câu Đáp án Đáp số: Số viên gạch men trắng: 27.2 – 1 = 53 viên Số viên gạch men xanh: 729 – 53 = 676 viên Câu 1 Số hàng gạch trên 1 cạnh của hình vuông là: 729 = 27 hàng ( số hàng lẽ nên tính theo cách trên) Đáp số: 95, 96 2 2 2 2 2 2 vì 1 1b 0 0 0 , 2 2b 0 0 0 , 3 3b 0 0 0 , 4 4b 0 0 0 , 5 5b 0 0 0 , 6 6b 0 0 0 , Câu 2 2 2 2 7 7b 0 0 0 , 8 8b 0 0 0 nên a = 9, vì 9 b tận cùng bằng b nên thử b bằng 0, 1, 5, 6 ta được 2 số trên thỏa mãn Đáp số: 8 Câu 3 2 x = 1 - 2 = 1 – x x - 2x – 1 = 0 Đáp số: Bố 45 tuổi, mẹ 43 tuổi Gọi x là số năm kể từ lúc tổng số tuổi của bố và mẹ bạn Bình bằng 74 tuổi đến Câu 4 nay ( xN ). Ta có pt: 74 + 2x = 2,75(7 + 11 + 2x) x = 7 (t/m) Đáp số: A= 1010 337 Câu 5 2 ( x 1)( x 2 ) Ta có 1 với x = 1, 2, 3, , 2019 x ( x 3) x ( x 3) Đáp số: a = 2, b = -7 và c = 12 axbxc(x2).A(x)32 (1) Câu 6 ax3 bx 2 c (x 2 1).B(x) 2x 5 (2) Thay x = 2 vào (1); thay x = -1, x = 1 vào (2). Từ đó giải ra a, b, c Đáp số: (a, b, c) = (-1; 2; 2), (2; -1; 2), (2; 2; -1) 1 1 1 Điều kiện abc 0. Từ giả thiết: ab + bc + ca = 0 0 Câu 7 a b c 1 1 1 3 1113 . Kết hợp với 0a b c4 a3 b 3 c 3 a b c abc4333 Vậy (a, b, c) = (-1; 2; 2) và các hoán vị của nó. Đáp số AB = 9cm, CD = 16cm Đặt AB = x ta có ABD BDC (g-g) Câu 8 ABBD 2 suy ra 12 = x(25 – x) giải ra x = 9 BDDC Đáp số: 9 cạnh. Câu 9 nn( 3) Ta có 27 suy ra n = 9 2 Đáp số: 15 cm2 Câu 2 2 1 1 10 SSSSAGBABNABCABC . 3 3 2 3 Ta có 12n2 – 5n – 25 = (4n + 5)(3n – 5) Câu 2 Nếu n 0 thì 4n + 5 > 3n – 5 nên để 12n – 5n – 25 là số nguyên tố thì 3n – 5 = 11 2 1 n = 2 khi đó 12n – 5n – 25 = 13 là số nguyên tố
3. 2 Nếu n S(a) + a = 117 Từ a N, S(a) + a = 117 suy ra a a 99, S(a) 18 a + S(a) 99 + 18 =117 Dấu “=” xẩy ra khi a = 99 - Nếu a có 3 chữ số Đặt a m n q , vì a S (a)S (1 0 q)1 0 S(a) + a =117 10 + a a 1 0 7 (2) Với n = 1 => S (a)S (1 1q)1 1 S(a) + a =117 11 + a a 1 0 6 (3) Từ (1), (2), (3) suy ra 106 a < 117. Kiểm tra các số ta thấy a =108 thoả mãn điều kiện bài toán Vậy n = 102 và n = 111 b) (1,75đ) ĐK xx 1; 3 (*) 3213 xx xx 3123 xx 33 Câu ( ) 12 (3)(1)6xx Nhận xét: x=3 là nghiệm của PT Nếu x 3 ( ) (x-3)(x-1) = 6 xx2 430 xxx22447(2 )7 x 27hoặc x 27 Vậy tập nghiệm của phương trình là: S ={-3; 27 ; 27 } A Sử dụng hình vẽ bên K D I E O C B H M Câu 13 a) Xét 2 tam giác ADB và AEC có: · · 0 A D B A E C 9 0 , Aµ : chung ADB AEC (g-g) ADAB suy ra (các cặp cạnh tương ứng) AEAC Xét 2 tam giác ADE và ABC có: Aµ : chung và ADE ABC (c-g-c) A D D E 2 D I D I · · b) ADE ABC (1) và ADIABM (2) A B B C 2 B M B M Từ (1) và (2) ADI ABM (c-g-c)
4. A· ID A M B· (cặp góc tương ứng) 1 c) Mà MEMDBC (t/c đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) 2 M E D cân tại MMIED  (Vì I là trung điểm của ED) (3) AIAK A IK A M H (g-g) A K H A IM AMAH Gọi O là giao điểm của KH với IM AHKAMI· · IO H KOM (g-g) IOOH K IO M H O (c-g-c) KOOM OHMOIK· · (hai góc trương ứng) (4) Từ (3) và (4) KHBC - Xét trường hợp tam giác ABC cân tại A (Hình 2). Lúc đó ta có ED // BC; các điểm I, K trùng nhau; các điểm M, H trùng nhau nên thoả mãn các yêu cầu của bài toán; - Xét trường hợp tam giác ABC vuông tại B (Hình 3). Lúc này E và B trùng nhau. Chứng minh tương tự như trên ta có kết quả bài toán. A A D E I K D I K B C H M B E H M C Hình 2 Hình 3 11 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ số (;6), (; 4)xy ta có 34 2 1111 .( 6xyxy ).( 4)3 61 6 22 3491 6 2 11 25 55 P22 (2 x y ) .(6) x .(4) y 2 xy 34 16 44 Câu 2 64xy x 14 5 11 5 GTLN của P là khi 4 34 9 y 5 2 xy 20 4 2 64xy x 5 11 5 GTNN của P là khi 4 34 9 y 5 2 xy 20 4 TỔNG