Đề thi olympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thị xã Hoàng Mai (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi olympic môn Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Thị xã Hoàng Mai (Có đáp án)

1. UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI ĐỀ THI OLYMPIC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2022-2023 Môn: Toán 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 01 trang) (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x2 - xy - y + 4 =0 b) Tìm số tự nhiên n để: A = n3 - n2 – n - 2 là số nguyên tố c) Cho biểu thức B = n3 + 2n2 + 2n + 1 (Với n là số nguyên dương). Chứng minh rằng B không là số chính phương. Câu 2. (6,0 điểm) 11xx3 −  x a) Rút gọn biểu thức A = −−. ( Với x ≠ 1) x−1 x22 + 1 xx −+ 21 x 2 − 1 b) Xác định a, b sao cho đa thức f(x) = x4 + a.x2 + 3x + b chia hết cho đa thức g(x) = x2 + x - 2 c) Giải phương trình: + + = 3 2 3 4 2 2 4 Câu 3. (4,0 điểm) 𝑥𝑥 +1 𝑥𝑥 +2 𝑥𝑥 +3 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 10y + 20 b) Cho a, b là các thực thỏa mãn a.b > 0 Chứng minh rằng + + 3 ( ) 4𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑏𝑏 2 Câu 4. (6,0 điểm) 𝑎𝑎+𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑎𝑎 ≥ Cho đoạn thẳng AB cố định, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Điểm C di chuyển trên tia Ax, D là trung điểm của AB. Vẽ AH vuông góc với CD, AH cắt BC và tia By lần lượt tại F và E. a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác ADE. b) Chứng minh DE vuông góc với BC. c) Xác định vị trí của C trên tia Ax sao cho CF = 2.FB. Hết (Thí sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. 2 UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2022-2023 (Đáp án gồm 03 trang) Môn: Toán 8 Câu Ý Nội dung Điểm A x2 - xy - y +4 =0 x2 -1 –(xy+y) +5 = 0 (x-1)(x +1) – y(x+1) =-5 0,5 (x+1)(y-x+1) = 5 => x+1 thuộc Ư(5) ={1 ;5 ;-1 ;-5} 0.5 Ta có bảng kết quả x+1 1 5 -1 -5 y-x+1 5 1 -5 -1 0.5 x 0 4 -2 -6 y 4 8 2 -1 B A = n3 - n2 – n -2= (n-2)(n2 +n +1) 0.25 + Nếu n = 0 => A = -2 (không thỏa mãn) 0,25 Câu + Nếu n = 1 => A = -3 không thỏa mãn 0.25 1 + Nếu n = 2 => A = 0 (KTM) 0,25 + Nếu n= 3 => A = 13 là số nguyên tố 0.25 + Nếu n ≥ 4 => n-2 ≥ 2, n2 +n+1 >2 ⇒ A là hợp số Vậy n = 3 0,25 C Giả sử B = n3 +2n2 +2 n + 1 là số chính phương B= (n2 +n+1)(n+1) 0. 25 Gọi d =ƯC LN(n2 +n+1,n+1) => n2 +n +1 và n+1 cùng chia hết cho d => (n2 +n+1) –n(n+1) d =>1) d => d =1 0.25 => n2 +n +1 và n+1 đồng thời là số chính phương 0,25 Mà n>0 => n2 n2 +n +1 không là số chính phương 0,25 => giả sử sai nên B không là số chính phương ( )( ) ( ) a A = .( ) 0.5 ( ) ( ) 2,0 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥−1 𝑥𝑥+1 𝑥𝑥 𝑥𝑥+1 −𝑥𝑥+1 ( 2)( ) 2 A= 𝑥𝑥−1 − 𝑥𝑥 +1 .( 𝑥𝑥−1 𝑥𝑥+1) ( )2 ( ) 0.5 Câu 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥−1 𝑥𝑥+1 𝑥𝑥 +1 2 2 0,5 2 A= 𝑥𝑥−1 − 𝑥𝑥. +1 𝑥𝑥−1 𝑥𝑥+1 1 𝑥𝑥 A =𝑥𝑥−1 − 𝑥𝑥−1 0,5 1−𝑥𝑥 A= 𝑥𝑥-1− 1
3. 3 B g(x) = x2 +x -2 = (x-1)(x+2) 0.5 Ta có f(x) chia hết cho g(x) => f(x) = (x-1)(x+2).h(x) ( đúng với 0,5 mọi x) 0.5 Cho x = 1 ⇒ f(1) = 0 ⇒1 + a + 3 + b = 0 ⇒ a + b = -4 Cho x = -2 => f(-2) = 0 => 16 + 4a -6 + b = 0=> 4a + b = -10 0.5 Ta giải được a = - 2 ; b= -2 c. 2 3 4 + + = 3 + 1 + 2 + 3 0.5 2 1 2 + 1 4 + 1 = 0 0.5 𝑥𝑥 𝑥𝑥2 𝑥𝑥 3 4 2 2 4 𝑥𝑥++1 + 𝑥𝑥 +=2 0 𝑥𝑥 +3 2− 2 − 4 − 𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥 −1 𝑥𝑥 −1 0,5 2 2 4 𝑥𝑥 +1 1𝑥𝑥) + 2 𝑥𝑥++3 + ) = 0 0,5 ( ( 2 2 1 1 𝑥𝑥 +1 x2 = 1 => x2 = 1 hoặc2 x = -41 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 +1 𝑥𝑥 +2 𝑥𝑥 +3 a B = x2 +2y2 – 2xy +4x– 10y + 20 B = (x-y)2 +4.(x-y) +4 + (y2 -6y +9) + 7 0,5 B = (x-y +2)2 + (y-3)2 +7 0,5 ⇒B 0,5 ⇒ GTNN của B là 7 khi y = 3; x =1 0,5 ≥ 𝟕𝟕 B + + 3 ( ) 4𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑏𝑏 Câu 2 𝑎𝑎+𝑏𝑏 ( 𝑏𝑏 𝑎𝑎1) + ( + 2) 0 ( ) ≥ 0.5 3 4𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎 𝑏𝑏 ( )2 ( ) 𝑎𝑎+𝑏𝑏 + 𝑏𝑏 0𝑎𝑎 0.5 ( ) 2 − 2 − ≥ − 𝑎𝑎−𝑏𝑏 𝑎𝑎−𝑏𝑏 0.5 2 ( 𝑎𝑎+𝑏𝑏 ) ( 𝑎𝑎𝑎𝑎 ) 0 ( ≥ ) 2 1 1 2 ( ) (𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑎𝑎+𝑏𝑏) 0 𝑎𝑎 − 𝑏𝑏 2 (−2 ) ≥ 2 𝑎𝑎 +𝑏𝑏 +𝑎𝑎𝑎𝑎 0,5 2 BĐT cuối𝑎𝑎 − 𝑏𝑏đúng𝑎𝑎𝑎𝑎 do𝑎𝑎 +ab𝑏𝑏 >0 ≥=> đpcm x 0,5 y C E Câu 4 F H K A D B a (gg) 1,0 ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∾ ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴
4. 4 => = 0,5 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 0,5 => 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 (c-g-c) ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∾ ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 B ( ) 0,5 AD2 = DH.DC => BD2 = DH.DC=> = 0.5 ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∾ ∆𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝑔𝑔𝑔𝑔 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐷𝐷𝐷𝐷 => (c-g-c) => góc DBH = góc DCB 𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐵𝐵 Mà góc DBH = góc AED ( ) ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 ∾ ∆𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷𝐷 0,5 => Góc DCB = góc AED ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 ∾ ∆𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 Gọi K là giao điểm của DE và BC => (g-g) 0,5  Góc EKF = góc CHF = 900 ∆𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻𝐻 ∾ ∆𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾𝐾  DE vuông góc với BC C BE//AC => = = 2=> AC =2.BE 0,5 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐶𝐶𝐶𝐶 0,5 (g-g) => = => AC.BE = AD.AB 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 ∆ =>𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 AC.∾ ∆ 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴= .AB 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐵𝐵𝐵𝐵 0,5 𝐴𝐴𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐴𝐴 => AC = 2AB =>2 C thuộc tia Ax sao cho AC = AB không đổi Hết