Đề thi Olympic Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Hoàng Mai (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề thi Olympic Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Hoàng Mai (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI ĐỀ THI OLYMPIC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2022-2023 Môn: Toán 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 01 trang) (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,0 điểm) a) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: x2 - xy - y + 4 =0 b) Tìm số tự nhiên n để: A = n3 - n2 – n - 2 là số nguyên tố c) Cho biểu thức B = n 3 + 2n2 + 2n + 1 (Với n là số nguyên dương). Chứng minh rằng B không là số chính phương. Câu 2. (6,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = ( Với x ≠ 1) b) Xác định a, b sao cho đa thức f(x) = x 4 + a.x2 + 3x + b chia hết cho đa thức g(x) = x2 + x - 2 2 3 4 c) Giải phương trình: 2 + 1 + 2 + 2 + 4 + 3 = 3 Câu 3. (4,0 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x2 + 2y2 – 2xy + 4x – 10y + 20 b) Cho a, b là các thực thỏa mãn a.b > 0 4 Chứng minh rằng ( + )2 + + ≥ 3 Câu 4. (6,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB cố định, trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB. Điểm C di chuyển trên tia Ax, D là trung điểm của AB. Vẽ AH vuông góc với CD, AH cắt BC và tia By lần lượt tại F và E. a) Chứng minh tam giác AHB đồng dạng với tam giác ADE. b) Chứng minh DE vuông góc với BC. c) Xác định vị trí của C trên tia Ax sao cho CF = 2.FB. Hết (Thí sinh không dùng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. 2 UBND THỊ XÃ HOÀNG MAI HƯỚNG DẪN CHẤM OLYMPIC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Năm học 2022-2023 (Đáp án gồm 03 trang) Môn: Toán 8 Câu Ý Nội dung Điểm A x2 - xy - y +4 =0 x2 -1 –(xy+y) +5 = 0 (x-1)(x +1) – y(x+1) =-5 0,5 (x+1)(y-x+1) = 5 => x+1 thuộc Ư(5) ={1 ;5 ;-1 ;-5} 0.5 Ta có bảng kết quả x+1 1 5 -1 -5 y-x+1 5 1 -5 -1 0.5 x 0 4 -2 -6 y 4 8 2 -1 B A = n3 - n2 – n -2= (n-2)(n2 +n +1) 0.25 + Nếu n = 0 => A = -2 (không thỏa mãn) 0,25 Câu + Nếu n = 1 => A = -3 không thỏa mãn 0.25 1 + Nếu n = 2 => A = 0 (KTM) 0,25 + Nếu n= 3 => A = 13 là số nguyên tố 0.25 + Nếu n ≥ 4 => n-2 ≥ 2, n2 +n+1 >2 A là hợp số Vậy n = 3 0,25 C Giả sử B = n3 +2n2 +2 n + 1 là số chính phương B= (n2 +n+1)(n+1) 0. 25 Gọi d =ƯC LN(n2 +n+1,n+1) => n2 +n +1 và n+1 cùng chia hết cho d => (n2 +n+1) –n(n+1)⋮d =>1)⋮d => d =1 0.25 => n2 +n +1 và n+1 đồng thời là số chính phương 0,25 Mà n>0 => n2 n2 +n +1 không là số chính phương 0,25 => giả sử sai nên B không là số chính phương a 1 ( ― 1)( + 1) ( + 1) ― + 1 0.5 A = ― .( 2 ) 2,0 ― 1 2 + 1 ( ― 1) ( + 1) 1 ( ― 1)( + 1) 2 + 1 A= ― .( 2 ) 0.5 Câu ― 1 2 + 1 ( ― 1) ( + 1) 1 0,5 A= . 2 ― 1 ― ― 1 1 ― A = ― 1 0,5 A= -1
3. 3 B g(x) = x2 +x -2 = (x-1)(x+2) 0.5 Ta có f(x) chia hết cho g(x) => f(x) = (x-1)(x+2).h(x) ( đúng với 0,5 mọi x) 0.5 Cho x = 1 f(1) = 0 1 + a + 3 + b = 0 a + b = -4 Cho x = -2 => f(-2) = 0 => 16 + 4a -6 + b = 0=> 4a + b = -10 0.5 Ta giải được a = - 2 ; b= -2 c. 2 3 4 + + = 3 2 + 1 2 + 2 4 + 3 0.5 2 3 4 0.5 1 ― 2 + 1 +1 ― 2 + 2 +1 ― 4 + 3 = 0 2 ― 1 2 ― 1 4 ― 1 + + = 0 2 + 1 2 + 2 4 + 3 0,5 1 1 2 ( 2 ( + 1 0,5 ―1) 2 + 1 + 2 + 2 + 4 + 3) = 0 x2 = 1 => x = 1 hoặc x = -1 a B = x2 +2y2 – 2xy +4x– 10y + 20 B = (x-y)2 +4.(x-y) +4 + (y2 -6y +9) + 7 0,5 B = (x-y +2)2 + (y-3)2 +7 0,5 B ≥ 0,5 GTNN của B là 7 khi y = 3; x =1 0,5 4 B ( + )2 + + ≥ 3 Câu 4 3 (( + )2 ―1) + ( + ―2) ≥ 0 0.5 ― ( ― )2 ( ― )2 0.5 + ≥ 0 ( + )2 0.5 1 1 2 ( ― ) ( ― ( + )2) ≥ 0 2 + 2 + 2 ( ― ) ( ( + )2 ) ≥ 0 0,5 BĐT cuối đúng do ab >0 => đpcm x 0,5 y C E Câu 4 F H K A D B a ∆ ∾∆ (gg) 1,0
4. 4 => = 0,5 0,5 => ∆ ∾∆ (c-g-c) B ∆ ∾∆ ( ) 0,5 AD2 = DH.DC => BD2 = DH.DC=> 0.5 = => ∆ ∾∆ (c-g-c) => góc DBH = góc DCB Mà góc DBH = góc AED (∆ ∾∆ ) 0,5 => Góc DCB = góc AED Gọi K là giao điểm của DE và BC => ∆ 퐹∾∆퐾 퐹 (g-g) 0,5  Góc EKF = góc CHF = 900  DE vuông góc với BC 퐹 C BE//AC => => AC =2.BE 0,5 = 퐹 = 2 0,5 (g-g) => => AC.BE = AD.AB ∆ ∾∆ = => AC. = .AB 0,5 2 2 => AC = AB => C thuộc tia Ax sao cho AC = AB không đổi Hết