Đề thi tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở GD và ĐT Hải Dương (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Sở GD và ĐT Hải Dương (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎI HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012- 2013 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm : 01 trang Câu I (2,0 điểm) 1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a2 (b-2c)+b 2 (c-a)+2c 2 (a-b)+abc . 2) Cho x, y thỏa mãn x 33 y- y22 +1+ y+ y +1 . Tính giá trị của biểu thức A x4 +x 3 y+3x 2 +xy- 2y 2 +1. Câu II ( 2,0 điểm) 1) Giải phương trình (x2 - 4x+11)(x 4 - 8x 2 +21) 35 . 22 x+ x +2012 y+ y +2012 2012 2) Giải hệ phương trình . 22 x + z - 4(y+z)+8 0 Câu III (2,0 điểm) 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n2 + n + 1) không chia hết cho 9. 2) Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên dương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên. Câu IV (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE. 1) Tính BIF. 2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứ giác ABHI nội tiếp. 3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M để PQ lớn nhất. Câu V (1,0 điểm) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 a b c 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu 1 1 1 thức B (a+b+c+3) + + . a+1 b+1 c+1 Hết Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI HỌC SINH GIỎI HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2012 - 2013 HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (chuyên) Hướng dẫn chấm gồm : 03 trang I) HƯỚNG DẪN CHUNG. - Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm. - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM. Câu Nội dung Điểm Câu I (2,0đ) 1) 1,0 điểm a2 (b - 2c) +b 2 (c - a) + 2c 2 (a - b) + abc=2c 2 (a - b)+ab(a-b)-c(a 2 b 2 ) ac ( a 0,25 b ) (a b )[2 c2 2 ac ab bc ] 0,25 (a b )[2 c ( c a ) b ( a c )] 0,25 (a b )( a c )( b 2 c ) 0,25 22 0,25 2) 1,0 điểm Có x = 33 y- y + 1 y+ y + 1 3 2 2 2 2 x = 2y +33 y - y + 1 . 3 y+ y + 1 3 y- y +1 3 y+ y +1 x3 + 3x -2y = 0 0,25 A = x4 + x 3 y + 3x 2 - 2xy + 3xy - 2y 2 + 1 = (x 4 +3x 2 -2xy) +(x 3 y+3xy - 2y 2 ) 10,25 x(x33 +3x-2y) +y(x +3x - 2y) 1 1 0,25 Câu II (1,0đ) 1)1,0 điểm 2 2 2 0,25 phương trình đã cho tương đương với (xx 2) 7 ( 4) 5 35 (1) (xx 2)2 7 7   0,25 Do (x 2)2 7 ( x 2 4) 2 5 35  x 22  (xx 4) 5 5   (x 2)2 7 7 0,25 (1) 22 (x 4) 5 5 x=2 0,25 2)1,0 điểm 22 0,25 (x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1) 22 x + z - 4(y+z)+8=0 (2) (1) x x2 2012 y y 2 2012 y 2 2012 y 2012 y 2 2012 y (Do y2 2012 y 0  y )
3. x x22012 2012 2012 y 2 2012 y x x 2 2012 y 2 2012 y x y y22 2012 x 2012 y2 2012 x 2 2012 y 2 2012 x 2 2012 xy yx22 2012 2012 yx22 y22 2012 y x 2012 x x y ( x y ) 0 y2 2012 x 2 2012 y 2 2012 x 2 2012 Do 0,25 2 y 2012 | y | y  y   y22 2012 y x 2012 x 0 y x 2 x 2012 | x | x  x Thay y=-x vào(2) x2 z 24 x 480 z ( x 2)( 2 z 2) 2 0 0,25 (xx 2)2 0 2 0,25 yx 2 Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(- 2 (z 2) 0 z 2 2;2;2). Câu III (2,0đ) 1)1,0 điểm Đặt A = n2 + n + 1 do n n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k 0,25 ) * n = 3k => A không chia hết cho 9 (vì A không chia hết cho 3) 0,25 * n = 3k + 1 => A = 9k2 + 9k + 3 không chia hết cho 9. 0,25 * n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 không chia hết cho 9 0,25 Vậy với mọi số nguyên n thì A = n2 + n + 1 không chia hết cho 9. * 2)1,0 điểm Gi¶ sö tån t¹i m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 0,25 2 x12 x m 2 Theo vi-et: (x1 - 1) (x2 - 1) = - m + 2m + 3 x12 x 22 m Với m . Ta cã x1x2 4 vµ x1 + x2 1 mà x1hoÆc x2 nguyªn vµ 0,25 2* * x12 x m x1, x 2 ( x 1 1)( x 2 1) 0 m2 2m30 (m1)(m3)0 m 3 m {1;2;3} Víi m = 1; m = 2 thay vµo ta thÊy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm. 0,25 Víi m = 3 thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· 0,25 cho lµ x =1; x = 8 tho¶ m·n. VËy m= 3 Câu IV (2,0đ) 1) 1,0 điểm Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề 0,25
4. B F K H D O I A E M C Gọi K là giao điểm của BO với DF => ΔIKF vuông tại K 0,25 1 0,25 Có DFE= DOE=450 2 BIF 450 0,25 2) 1,0 điểm Khi AM = AB thì ΔABM vuông cân tại A => DBH=450 .Có 0,25 DFH=450 => Tứ giác BDHF nội tiếp => 5 điểm B, D, O, H, F cùng thuộc một đường tròn. 0,25 => BFO=BHO 900 => OH  BM , mà OA  BM => A, O, H 0,25 thẳng hàng BAH=BIH 450 => Tứ giác ABHI nội tiếp. 0,25 3) 1,0 điểm B 0,25 F P D O N A E M C Q Có tứ giác PNQD nội tiếp = > QPN=QDN=EFN . Tương tự có NQP=NDP=FEN => ΔNEF và ΔNQPđồng dạng PQ NQ 0,25 => = 1 PQ EF EF NE Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi P  F; Q E => DN là đường kính 0,25
5. của (O) => PQ lớn nhất bằng EF. Cách xác định điểm M : Kẻ đường kính DN của (O), BN cắt AC tại 0,25 M thì PQ lớn nhất. Câu V Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a do 0 a b c 1 = >1 z y x 2 0,25 (1,0đ) 1 1 1 x x y y z z Khi đó A= (x+y+z)( )=3+3 x y z y z x z x y x y x y x. y x y x 0,25 1 1 0 1 0 1 y z y z y. z y z z z y z y z. y z y z 1 1 0 1 0 1 y x y x y. x y x x xyzyxz xxyyzz xz 2 2 2 yzyxzx yzxzxy zx x 0,25 Đặt = t =>12 t z x z1 t22 12 t 5 t 25(21)( t t 2)5 t z x t t2 t 2 2 t 2 (2tt 1)( 2) xz 5 Do 0 2t zx2 5 A 3 2. 2 10 2 Ta thấy khi a=b=0 và c=1 thì A=10 nên giá trị lớn nhất của A là 10 0,25