Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 9 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh (Có đáp án)

Nội dung text: Kì thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh năm học 2019-2020 môn Toán Lớp 9 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Ninh (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TẠO NĂM HỌC 2019 - 2020 BẮC NINH Môn thi: Toán – lớp 9 cấp THCS Ngày thi: 15/5/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Tên : Trƣơng Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776.Nguồn gốc : SƢU TẦM đề và giải Câu 1(4,0 điểm) 1.Cho P 2 n 2 n2 1 với n nguyên dƣơng lần lƣợt thay các giá trị n=1;n=2, n=10 vào ta đƣợc giá trị tƣơng ứng P1 , P2 , ,P9 , P10 .Tính S=P1 + P2 + +P9 + P10 2.Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P).Tìm tất cả m để đƣờng thẳng d:y=mx+2 cắt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích hình thang ABCD bằng 7,5 với D,C lần lƣợt là hình chiếu của A,B trên trục hoành. Câu 2(4,0 điểm) 1.Giải phƣơng trình xx 2 4 2x2 5x 1 2.Cho f(x) là đa thức bậc 2 với hệ số abc,, .Giả sử f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt )đƣợc kí hiệu bởi x1 , x2 ,x3 , x4 .Biết x1 +x2 =-1.Chứng 1 minh c 4 Câu 3(4,0 điểm) 1.Cho a,b,c thực dƣơng thỏa a+b+c=3.Chứng minh aac( 2 b ) bab ( 2 c ) cbc ( 2 a ) 0 1 ab 1 bc 1 ca 2222 2.Tìm các số nguyên dƣơng n thỏa n d1 d 2 d 3 d 4 trong đó d1 , d2 ,d3 , d4 là bốn ƣớc số dƣơng nhỏ nhất của n Câu 4(7,0 điểm) 1.Cho (O;R) .Từ 1 điểm M ngoài kẻ tiếp tuyến MA,MB đến (O) với A,B là tiếp điểm.Qua A kẻ đƣờng thẳng song song MO cắt đƣờng tròn (O) tại
2. E khác A.Đƣờng thẳng ME cắt (O) tại F khác A,AF cắt MO tại N,H là giao điểm của MO và AB a.Chứng minh MN2 FN. NA b.Chứng minh HFN 900 và MN=MH HB2 FE c.Chứng minh 1 HF2 FM 2.Cho tam giác ABC nội tiếp (O),lấy M là điểm trên cung BC không chứa A.Gọi H là trực tâm tam giác ABC .Gọi I,J lần lƣợt là hình chiếu của M trên AB,AC.Chứng minh IJ luôn qua trung điểm của MH Câu 5(1,0 điểm) Cho 1 bảng ô có 2020x2020 ô ,mỗi ô đều điền 1 dấu cộng.Thực hiện phép biến đổi sau :đổi dấu toàn bộ 1 hàng hoặc 1 cột của bảng (+ thành – và – thành +).Hỏi sau 1 số lần thực hiện biến đổi ,bảng có đúng 18 dấu – hay không ? Lời giải Câu 1(4,0 điểm) 1.Cho P 2 n 2 n2 1 với n nguyên dƣơng lần lƣợt thay các giá trị n=1;n=2, n=10 vào ta đƣợc giá trị tƣơng ứng P1 , P2 , ,P9 , P10 .Tính S=P1 + P2 + +P9 + P10 2.Cho hàm số y=x2 có đồ thị (P).Tìm tất cả m để đƣờng thẳng d:y=mx+2 cắt tại hai điểm phân biệt A,B sao cho diện tích hình thang ABCD bằng 7,5 với D,C lần lƣợt là hình chiếu của A,B trên trục hoành. Lời giải 1.Ta có P 22 n n2 1 n 1 n 1; S 11101 2.Ta có x2 mx 2 x 2 m x-2 0; m 2 8 0  m.Vì phƣơng trình có 2 nghiệm trái dấu ,giả sử xA = xD 0 .Vì 2 2 2 SABCD 7,5( xxyy 2121 )( )15( xxxx 2112 )( )15( xxxxxx 2121 )( )2 21 15 2 x21 x m 8 với x21 x m .Thay vào trên ta có xx 2 21 2 2 2 2 2 2 m 8.( m 8) 15 ( m 1) ( m 8) 9( m 4) 45 0 m 1
3. Câu 2(4,0 điểm) 1.Giải phƣơng trình xx 2 4 2x2 5x 1 2.Cho f(x) là đa thức bậc 2 với hệ số abc,, .Giả sử f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt )đƣợc kí hiệu bởi x1 , x2 ,x3 , x4 .Biết x1 +x2 =-1.Chứng 1 minh c 4 Lời giải 1.Ta có 2 11 2 x 4; x 2 4 x 2x 5x 1 ( x 3). (2x 1) 0 xx 2 1 4 1 x 3 11 .Ta có (2x 1) 0 xx 2 1 4 1 1 1 1 1 (2x1)0; VT (2x1)1 VP theo điều x 2 1 4 x 1 x 2 1 4 x 1 kiện 2.Đặt t=f(x) thì f(f(x)=0 có 4 nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt ) hay 2 2 2 x +bx+c=0 có 2 nghiệm t1 , t2 và mỗi phƣơng trình x +bx+c=t1 và x +bx+c=t2 đều 2 bc 4a 0 2 2 bc 4a 0 có hai nghiệm với t1 + t2 =b.Khi đó ta có b 4( c t1 ) 0 2 .Với x1 , 2 b 4 c 2 b 0 b 4( c t2 ) 0 2 2 x2 là nghiệm chung ta có x +bx+c=t1 và x +bx+c=t2 hay suy ra x1 + x2 =-b nên b=1 lúc đó . 2 2 x1 bx 1 c t 1 2 2 2 2 (x12 x ) Với 2 (xxb1 2 ) (x 1 x 2 ) b 2 cxx 1 2 dpcm x2 bx 2 c t 2 2 Câu 3(4,0 điểm) 1.Cho a,b,c thực dƣơng thỏa a+b+c=3.Chứng minh aac( 2 b ) bab ( 2 c ) cbc ( 2 a ) 0 1 ab 1 bc 1 ca
4. 2222 2.Tìm các số nguyên dƣơng n thỏa n d1 d 2 d 3 d 4 trong đó d1 , d2 ,d3 , d4 là bốn ƣớc số dƣơng nhỏ nhất của n Lời giải 1.Ta có aacbbabccbca( 2) ( 2) ( 2) a (33) bb (33) cc (33) a 00 1 ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca a(1)(1)(1) b b c c a a 1 b 1 c 1 03 .Ta có 1 ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 1 VT 33 . . ; . . 13()2a abc2 bc 1 ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca 1 ab 1 bc 1 ca (đúng vì a b c 31 abc ) 222 2.Gỉa sử d1 < d2 <d3 < d4 suy ra d1 =1.Nếu n lẻ thì n 1 d2 d 3 d 4 thì trong ba d2 ,d3 , d4 số phải có 1 chẵn hoặc cả ba cùng chẵn.Gỉa sử đó là d2 .Mà d2 là ƣớc n suy ra n chia hết cho 2 hay n chẵn nên mâu thuẫn . Nếu n chẵn thì n chia hết cho 2 22 hay d2 =2.Lúc đó n 5 d34 d hay suy ra d3 ;d4 phải có 1 chẵn hoặc 1 lẻ .Gọi p là ƣớc nguyên tố nhỏ nhất của n ta có d3 =p;d4 =2p.Lúc đó n chia hết cho 5 hay d3 =5;d4 =10. Câu 4(7,0 điểm) 1.Cho (O;R) .Từ 1 điểm M ngoài kẻ tiếp tuyến MA,MB đến (O) với A,B là tiếp điểm.Qua A kẻ đƣờng thẳng song song MO cắt đƣờng tròn (O) tại E khác A.Đƣờng thẳng ME cắt (O) tại F khác A,AF cắt MO tại N,H là giao điểm của MO và AB a.Chứng minh MN2 FN. NA b.Chứng minh HFN 900 và MN=MH HB2 FE c.Chứng minh 1 HF2 FM 2.Cho tam giác ABC nội tiếp (O),lấy M là điểm trên cung BC không chứa A.Gọi H là trực tâm tam giác ABC .Gọi I,J lần lƣợt là hình chiếu của M trên AB,AC.Chứng minh IJ luôn qua trung điểm của MH
5. A E F N O M H B A F N O K H J B E I D C M Lời giải 1a.Ta có NMF AE;E F A F NAM NMF NAM NMF đồng dạng NAM dpcm 1b.Ta có MAE 900 nên BE là đƣờng kính.Ta MF MH có MA2 MF ME MH MO MFH đồng dạng MOE MO ME NHF MEB; M EB NAB NHF NAB ; HNF NAB 9000 HFN 90 .Ta có MN22 NH FN. NA MN NH . 1c.Ta có 1 1 1 1 1HB2 HB 2 HB 2 F E HB 2 F E 11 HF2 HN 2 HA 2 MN 2 HB 2 HF 2 MN 2 HF 2 MF MN 2 MF HB2 FE. HB 2 FA HB 2 FA NA HB 2 HA 2 1 1 1 1. HF2 MF MN 2 NF MN 2 NF. NA MN 2 MN 2
6. 2.Gọi E,F lần lƣợt là điểm đối xứng của M qua AB,AC.Ta chứng minh E,H,F thẳng hàng.Ta có AMB AEB; AM B ACB A E B ACB .Tứ giác HNCD nội tiếp hay ACB BHDED A B BH .Tứ giác AEBH nội tiếp nên EHB EA B BAM EHB BAM .Tƣơng tự ta cóCHF CAM BHE CHF BAC BHE CHF BHC BAC BHC 1800 Câu 5(1,0 điểm) Cho 1 bảng ô có 2020x2020 ô ,mỗi ô đều điền 1 dấu cộng.Thực hiện phép biến đổi sau :đổi dấu toàn bộ 1 hàng hoặc 1 cột của bảng (+ thành – và – thành +).Hỏi sau 1 số lần thực hiện biến đổi ,bảng có đúng 18 dấu – hay không ? Lời giải Gọi a,b là số lần chuyển đổi lẻ lần với a, b , a , b 2020.Nếu có a cột thì số ô mang dấu – trong a cột là (2020-b)a. Nếu có b cột thì số ô mang dấu – trong a cột là (2020-a)b.Tổng số ô mang dấu – là :(2020 b ) a (2020 a ) b 18 (1010 b ) a 9 1010 b ( b 1010) 1020091 19.53.1013 a 1010 1010 . Phƣơng trình này không có nghiệm nguyên 1010 bb 1010 nên bảng không có 18 dấu -