Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Lâm Thao (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Lâm Thao (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 90 phút không kể thời gian phát đề (Đề thi gồm 02 trang) I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (6,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng rồi ghi vào bài làm. Câu 1. Cho số hữu tỉ x thỏa mãn (x 1)3 125 giá trị của x là A. 16. B. 2. C. 8. D. 4. Câu 2. Số các giá trị nguyên của x thỏa mãn 2x 1 6 2x 1 8 là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 8x2 3y2 2xy Câu 3. Cho 5x 3y . Giá trị của biểu thức A là 10x2 3y2 9 39 197 39 A. . B. . C. . D. . 7 25 223 5 Câu 4. Cho ΔABC có độ dài các cạnh là a, b, c tỉ lệ thuận với ba số 6; 8; 11 và c2 a2 340 . Chu vi của tam giác ABC là A. 20cm. B. 25cm. C. 40cm. D. 50cm. Câu 5. Cho đa thức f x x2 ax b . Biết f x chia hết cho x 3 và f x chia hết cho x 4 . Khi đó 2a 3b có giá trị là A. 38. B. 34. C. 21. D. – 27. Câu 6. Cho biết x3 2x 3 0 . Giá trị của biểu thức P(x) 5x4 10x2 15x 1 là A. P(x) 0. B. P(x) 1. C. P(x) 5. D. P(x) 6. Câu 7. Cho a / / b như hình vẽ bên. Số a đo góc x bằng: 30° A. 150. B. 90. C. 60. D. 30. b x Câu 8. Tam giác ABC có µA 400 ; Bµ Cµ 200 . Trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB . Số đo C· BE là A. 800 . B. 1000. C. 900. D. 1200. Câu 9. Cho ABC vuông tại A . Trên cạnh BC lấy 2 điểm D và E sao cho BD BA;CE CA . Khi đó D· AE có số đo là A. 200 . B. 300 . C. 450. D. 600. Câu 10. Cho ABC có ·ABC 700 ; ·ACB 500 . Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B . Khẳng định nào sau đây đúng A. HB HC. C. HB = HC. D. B· AC 700.
2. Câu 11. Cho tam giác ABC ( AB AC ). Vẽ AD là tia phân giác góc A( D BC ). Gọi E và I lần lượt là các hình chiếu của D trên cạnh AB, AC . Khẳng định nào sau đây đúng A. AED AID . B. BED CID . C. ADB ADC . D. AED BED . Câu 12. Trong thư viện có 9 quyển sách gồm 3 quyển Toán giống nhau, 3 quyển Ngữ Văn giống nhau, 3 quyển Tiếng Anh giống nhau. Xác suất để chọn được một quyển sách không phải Toán là 1 1 1 2 A. . B. . C. . D. . 9 3 2 3 II. PHẦN TỰ LUẬN: (14,0 điểm) Câu 1 (3,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên dương x, y sao cho 2x xy 3y 9 . 2. Tìm các số nguyên m để m 1 m2 2m là một số chính phương. Câu 2 (4,0 điểm) a b c 1. Cho 3 số a;b;c thỏa mãn . 2021 2022 2023 Chứng minh rằng (a c)3 8(a b)2.(b c) . 2. Cho đa thức A(x) x3 x2 ax b 2 và B(x) x2 2x 3 ( với a;b R ). Xác định hệ số a;b để A(x) chia cho B(x) có số dư bằng 6. Câu 3 (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A µA 900 . Gọi I là trung điểm của AB, các điểm N, M lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A, B đến đường thẳng CI. Trên đoạn thẳng CI lấy điểm E sao cho E· AB E· CA. Kẻ BH  AE ( H thuộc đường thẳng AE ). a) Chứng minh rằng ANI BMI , rồi từ đó suy ra AM / /BN. b) Chứng minh rằng BE là phân giác của góc M· BH. c) Chứng minh rằng E· CA E· BC. Câu 4 (2,0 điểm) x 2022 x 2023 x 2024 2022 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P . x 2022 x 2023 x 2024 Hết - Họ và tên thí sinh : Số báo danh - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
3. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 7 THCS NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có 06 trang) I. Một số chú ý khi chấm bài tự luận - Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. - Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II. Đáp án – Thang điểm 1. Phần trắc nghiệm khách quan: Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm. Câu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Đáp án B B D D B B C B C B A D II. Tự luận (14,0 điểm) Nội dung Điểm Câu 1 (3,0 điểm) 1) Tìm các số nguyên dương x, y sao cho : 2x xy 3y 9 . 1,5 Từ : 2x xy 3y 9 0,5 2 y x 3 y 2 3 2 y x 3 3. Suy ra 3 x 3 x 3 là ước của 3. 0,25 x 3 3; 1;1;3 Ta có bảng x 3 3 1 1 3 2 y 1 3 3 1 0,5 x 0 2 4 6 y 3 5 1 1 Loại T/m Loại T/m Vậy cặp số (x 2;y 5) hoặc (x 6;y 1) như trên thoả mãn điều kiện đề bài. 0,25 2. Tìm các số nguyên m để m 1 m2 2m là một số chính phương. 1,5 Ta có m 1 m2 2m là một số chính phương. Suy ra m 1 m2 2m k 2 k ¢
4. Vì k 2 0 m 1 m2 2m 0 0,5 Với m 2 m 1 m2 2m 0 (loại) Với m 2; 1;0 ta đều có k 2 0 (thoả mãn) Với m 0 ta có k 2 m 1 m2 2m Gọi d là một ước chung nguyên tố của m 1 và m2 2m m 1d m 1d 1d d 1 Suy ra 2 m 2md md 0,5 Nên m 1 m2 2m là một số chính phương khi m 1 và m2 2m đều là số 0,25 chính phương. Để m2 2m là số chính phương thì m2 2m a2 a ¢ . Suy ra m 1 2 1 a2 m 1 a m 1 a 1 m 1 a m 1 a a 0 m 0 ( không thoả mãn) m 2 0,25 Vậy m 2; 1;0 thì m 1 m2 2m là một số chính phương. Câu 2: (4 điểm) a b c 1. Cho 3 số a;b;c thỏa mãn: . 2021 2022 2023 Chứng minh rằng : (a c)3 8(a b)2.(b c) 2,0 a b c a c a b b c 0,5 Ta có 2021 2022 2023 2021 2023 2021 2022 2022 2023 a c a b b c 0,5 2 1 1 a c a b b c (a c)3 (a b)2 b c ( )3 ( )2.( ) .( ) 2 1 1 ( 2)3 ( 1)2 1 0,5 (a c)3 8(a b)2 (b c) 0,5 2. Cho đa thức A(x) x3 ax2 x b 2 và B(x) x2 2x 3 ( với a;b R ). 2,0 Xác định hệ số a;b để A(x) chia cho B(x) có số dư bằng 6. Ta có x3 x2 a x b 2 x2 2x 3 x3 2x2 3x x 1 1,0 x2 a 3 x b 2 x2 2x 3
5. a 1 x b 5 a 1 0 a 1 0,75 Để A(x) chia cho B(x) có số dư bằng 6 thì b 5 6 b 11 Vậy a 1;b 11 0,25 Câu 3: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A µA 900 . Gọi I là trung điểm của AB. các điểm N;M lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A; B đến đường thẳng CI. Trên đoạn thẳng CI lấy điểm E sao cho E· AB E· CA. Kẻ BH  AE H AE . a) Chứng minh rằng ANI BMI , rồi từ đó suy ra AM / /BN. b) Chứng minh rằng BE là phân giác của góc M· BH. c) Chứng minh rằng E· CA E· BC. A N I M E H B D C a) *)Xét ANI và BMI có 2,0 ·ANI B· MI 900 AI BI ( I là trung điểm của AB ) ·AIN B· IM ( đối đỉnh) 0,75 ANI BMI ch gn Suy ra IN IM (hai cạnh tương ứng). 0,25 *) Xét AMI và BNI có IN IM (cm trên) 0,25
6. ·AIM B· IN ( đối đỉnh) 0,25 AI BI ( I là trung điểm của AB ) AMI BNI c g c 0,25 ·AMI B· NI Mà hai góc ở vị trí so le trong 0,25 Vậy AM / /BN . b) Xét NAC và HBA có ·ANC B· HA 900 0,25 AC AB ( ABC cân tại A) · · ACN BAH gt 0,25 Suy ra AN BH ( Hai cạnh tương ứng) Mà AN BM ( ANI BMI) . 0,25 Suy ra BH BM. 0,25 *) Xét MBE và HBE có B· ME B· HE 900 0,25 BE là cạnh chung 0,25 BH BM (cm trên) 0,25 MBE HBE ch cgv M· BE H· BE 0,25 Vậy BE là phân giác của M· BH. c) Ta có E· CA E· AB gt ; 0,25 Nên I·EA E· AC E· CA E· AC E· AB B· AC Mặt khác B· EH B· EM MBE HBE 0,25 Mà B· EM B· EH I·EA 1800 ; B· AC ·ABC ·ACB 1800 ; ·ABC ·ACB 0,25 Suy ra B· EM ·ABC Ta lại có B· EM E· BC E· CB; ·ABC ·ACE E· CB 0,25 Suy ra E· CA E· BC.
7. Câu 3 (2,0 điểm) x 2022 x 2023 x 2024 2022 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P x 2022 x 2023 x 2024 x 2022 x 2023 x 2024 2022 2 x 2023 P x 2022 x 2023 x 2024 0,25 2022 2 x 2023 P 1 x 2022 x 2023 x 2024 0,25 x 2023 0 2022 2 x 2023 2022 0,25 x 2022 x 2023 x 2024 x 2022 2024 x x 2023 x 2022 2024 x x 2023 2 x 2023 2 0,5 1 1 x 2022 x 2023 x 2024 2 2022 2 x 2023 2022 x 2022 x 2023 x 2024 2 0,25 2022 2 x 2023 2022 P 1 1 1012 x 2022 x 2023 x 2024 2 0,25 x 2023 0 Dấu “=” xảy ra khi x 2023 (x 2022)(2024 x) 0 0,25 Hết
8. 2.2) Chứng minh rằng không tồn tại đa thức f (x) có các hệ số nguyên mà 2,0 f 8! 2020 và f 9! 2080. ( Với n! 1.2.3.4 n; n N * ). n n 1 Giả sừ f (x) an x an 1 x a1 x a0 ( Với an ;an 1; ;a1;a0 là các hệ số 0,5 nguyên) thoả mãn f 8! 2020 và f 9! 2080. Ta có f 9! f 8! a 9! n 8! n a 9! n 1 8! n 1 a 9! 8! n n 1 1 0,5 2080 2020 60 Mặt khác 9! 1.2.3.4.5.6.7.8.9 và 8! 1.2.3.4.5.6.7.8 đểu chia hết cho 7 nên vế trái chia hết cho 7 mà 60 không chia hết cho 7. 0,5 Vậy không tồn tại đa thức f (x) có các hệ số nguyên mà f 8! 2020 và f 9! 2080. ( Với n! 1.2.3.4 n; n N * ). 0,5 Câu 12. Trong túi có một số viên bi màu đen và một số viên bi màu đỏ. Thực hiện lấy ngẫu nhiên một viên bi từ túi, xem viên bi màu gì rồi trả lại viên bi vào túi. Khoa thực hiện thí nghiệm 32 lần. Số lần lấy được viên bi màu đỏ là 18. Hãy tính xác suất thực nghiệm của sự kiện Khoa lấy được viên bi màu đỏ. A. 56% . B. 56,25% C. 57% . D. 50% . 2.2) Chứng minh rằng không tồn tại đa thức f (x) có các hệ số nguyên mà f 8! 2020 và f 9! 2080. ( Với n! 1.2.3.4 n; n N * ). Ta có f 9! f 8! a 9! n 8! n a 9! n 1 8! n 1 a 9! 8! n n 1 1 2080 2020 60 Mặt khác 9! 1.2.3.4.5.6.7.8.9 và 8! 1.2.3.4.5.6.7.8 đểu chia hết cho 7 nên vế trái chia hết cho 7 mà 60 không chia hết cho 7. Vậy không tồn tại đa thức f (x) có các hệ số nguyên mà f 8! 2020 và f 9! 2080. ( Với n! 1.2.3.4 n; n N * ).