Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Lâm Thao (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Lâm Thao (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phát đề (Đề thi gồm 02 trang) PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Câu 1. Cho đa thức x4 9x3 21x2 ax b chia hết cho đa thức x2 x 2 . Khi đó a b bằng A. 29. B. 31. C. 29. D. 31. Câu 2. Cho đa thức P(x) 2x3 ax2 x b chia cho đa thức 2x 3 được thương là Q(x) x2 3x 5 và số dư r 20. Giá trị của 2a 3b bằng A. 111 . B. 1 1 1 . C. 101. D. 99. 6x 8 Câu 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức F bằng x2 1 A. 1. B. 9. C. 3 . D. 1 . 2 2 2 Câu 4. Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn 4x 2y 2z 4xy 4xz 2yz 6y 10z 34 0. Giá trị của biểu thức A x 4 2022 y 4 2023 (z 6)2024 là A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . x2 y2 8 x2 5xy y2 Câu 5. Cho ; x, y 0. Giá trị của phân thức P bằng xy 5 x2 3xy y2 15 18 18 17 A. . B. . C. . D. . 23 23 23 23 a b 17x 18 Câu 6. Cho . Giá trị của 2a b bằng x 2 3x 7 3x2 x 14 A. 13. B. 1 2 . C. 10 . D. 1 4 . Câu 7. Với giá trị nào của m thì phương trình: 2mx(x 1) x(3x 1) 2023 0 là phương trình bậc nhất một ẩn ? 3 3 1 1 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 2 Câu 8. Cho phương trình 9x 3 m2 x m (với m là tham số, m ¢ ). Số các giá trị của m để phương trình có nghiệm nguyên duy nhất là A. 2 . B. 4 . C. 1. D. 0 . Câu 9. Cho tam giác ABC cân tại A, AB 32cm, BC 24cm . Gọi K là hình chiếu của B trên AC. Độ dài đoạn thẳng KC bằng A. 8cm . B. 9cm . C. 10cm. D. 11cm. Câu 10. Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. Các đường trung tuyến AD, BE,CF. Diện tích của tam giác có độ dài ba cạnh bằng độ dài ba đường trung tuyến AD, BE,CF là 3 4 5 2 A. . B. . C. . D. . 4 3 6 3 Câu 11. Một hình thoi có độ dài một cạnh là 10cm và độ dài một đường chéo là 16cm có diện tích là A. 96cm2. B. 128cm2. C. 64cm2. D. 24cm2. Câu 12. Mỗi góc của một đa giác đều, có số đo là 1350 . Số đường chéo của đa giác đều đó là A. 35. B. 1 4 . C. 20. D. 27.
2. Câu 13. Một bể hình hộp chữ nhật có chiều dài và chiều rộng tỉ lệ với 4 và 3. Chiều cao bằng một nửa chiều dài. Thể tích của bể là 192m3 . Chiều cao của bể là A. 6m . B. 3m . C. 5m. D. 4m. Câu 14. Cho hình hình bình ABCD, đường thẳng qua A cắt BD,CD, BC lần lượt tại E, I, K. Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng ? A. AE 2 EI.IK . B. AE.AI EI.EK . C. AE 2 EI.EK . D. AE. AI KE.KI . Câu 15. Cho tam giác ABC vuông tại A; đường cao AH  BC, H BC . Biết BH 18cm; CH 32cm. Chu vi tam giác ABC bằng A. 150cm. B. 120cm. C. 130cm. D. 140cm. Câu 16. Một đoàn người đi thăm quan Đền Hùng bằng ô tô. Nếu mỗi xe đi 27 người thì còn thừa 4 chỗ ngồi. Nếu bớt đi một xe thì số người được chia đều cho các xe. Mỗi xe đi không quá 29 người. Số người trong đoàn tham quan là A. 621. B. 625. C. 648. D. 644. PHẦN II. TỰ LUẬN (12 điểm) Câu 1. (3 điểm) 1. Cho các số nguyên x, y , z thỏa mãn 2x y, 2y z, 2z x đều là các số chính phương. Biết 2x y 2y z 2z x 3. Chứng minh rằng a) Các số 2x y, 2y z, 2z x đều chia hết cho 3. b) x y 3 y z 3 z x 3 81. 3 2 2. Giải phương trình nghiệm nguyên: x x 7x 10 y (với x, y là các số nguyên tố). Câu 2. (4 điểm) 1. Giải phương trình: x 18 3 x 4 3 8 x 7 3 . 3x4 8x2 6 3 4x2 2. Giải phương trình: 2 4 1. x2 1 x 1 Câu 3. (4 điểm) 1. Cho hình vuông MNPQ. Gọi A là một điểm trên cạnh NP. Qua M kẻ tia Mx vuông góc với MA, tia Mx cắt đường thẳng PQ tại B. Trung tuyến MD của tam giác M A B cắt cạnh PQ ở C. Đường thẳng qua A, song song với MN cắt M D ở E. Chứng minh rằng a) MA MB và tứ giác AEBC là hình thoi. b) MA2 EA.PB. 2. Cho tam giác IH K có độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Tính diện tích của tam giác IH K biết Kµ 2Hµ. Câu 4. (1 điểm) 1 1 1 Cho a,b,c 0 thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: 1. 2 a2b 2 b2c 2 c2a Hết - Họ và tên thí sinh : Số báo danh - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
3. PHÒNG GD&ĐT LÂM THAO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 6,7,8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 8 I. Một số chú ý khi chấm bài - Hướng dẫn chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm. - Thí sinh làm bài theo cách khác với hướng dẫn chấm mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm. - Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số. II. Đáp án – thang điểm 1. Phần trắc nghiệm khách quan: Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm. Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4 Câu 5 Câu 6 Câu 7 Câu 8 B D A B D A B A Câu 9 Câu 10 Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 B A A C D C B D 2. Phần tự luận: Nội dung Điểm Câu 1. 1. Cho các số nguyên x, y, z thỏa mãn 2x y, 2y z, 2z x đều là các số chính phương. Biết 2x y 2y z 2z x 3. Chứng minh rằng: 3,0 a) Các số 2x y , 2y z và 2z x đều chia hết cho 3. 3 3 3 b) x y y z z x 81. 2. Giải phương trình nghiệm nguyên: x3 x2 7x 10 y (với x, y là các số nguyên tố). 1. a. Ta có 2x y 2y z 2z x 3 x y z 3 . 0,25 Vì một số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 mà 2x y 2y z 2z x 3 0,25 2x y3 0,25 2y z3 2z x3 3 3 3 b. x y y z z x 81. 2x y9 2y z9 3 x y z 9 x y z3 2z x9 0,25
4. x y3 y z3 0,25 z x3 0,25 3 3 3 Mà x y y z z x 3 x y y z z x  81. 2. Ta có x3 x2 7x 10 y x 2 x2 x 5 y 0,5 Để y là số nguyên tố thì x 2 1 hoặc x2 x 5 1 0,25 Nếu x 2 1 x 3, khi đó y 3 2 32 3 5 7 (thỏa mãn) 0,25 Nếu x2 x 5 1 x(x 1) 6 x 2 , khi đó y 2 2 22 2 5 0 ( loại) 0,25 Vậy (x; y) (3;7) 0,25 Câu 2. a) Giải phương trình: x 18 3 x 4 3 8. x 7 3 . 4,0 3x4 8x2 6 3 4x2 b) Giải phương trình: 2 4 1. x2 1 x 1 a) x 18 3 x 4 3 8. x 7 3 x 18 3 x 4 3 2x 14 3 0 0,5 0,5 Vì x 18 x 4 2x 14 0 x 18 3 x 4 3 2x 14 3 3 x 18 x 4 2x 14 3 x 18 x 4 2x 14 0 0,5 Vậy tập nghiệm của phương trình S 18;4; 7 0,5 3x4 8x2 6 3 4x2 b) 2 4 1. x2 1 x 1 4 2 3x 8x 6 0,5 Chỉ ra được 2 2 . Dấu “=” xảy ra x 2 x2 1 3 4x2 0,5 Chỉ ra được 1. Dấu “=” xảy ra x 2 x4 1 4 2 2 3x 8x 6 3 4x 0,5 Suy ra 2 4 1. Dấu “=” xảy ra x 2 . x2 1 x 1 Vậy tập nghiệm của phương trình là S 2; 2 0,5 Câu 3. 1. Cho hình vuông MNPQ. Gọi A là một điểm trên cạnh NP .Qua M kẻ tia Mx vuông góc với MA, tia Mx cắt đường thẳng PQ tại B. Trung tuyến MD của tam giác MAB cắt cạnh PQ ở C. 4,0 Đường thẳng kẻ qua A, song song với MN cắt MD ở E. Chứng minh rằng: a) MA MB và tứ giác AEBC là hình thoi. b) MA2 EA.PB.
5. 2. Cho tam giác IHK có độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Tính diện tích của tam giác IHK biết Kµ 2Hµ. 1. Cho hình vuông MNPQ. Gọi A là một điểm trên cạnh NP .Qua M kẻ tia Mx vuông góc với MA, tia Mx cắt đường thẳng PQ tại B. Trung tuyến MD của tam giác MAB cắt cạnh PQ ở C. Đường thẳng kẻ qua A, song song với MN cắt MD ở E. Chứng minh rằng: a) MA MB và tứ giác AEBC là hình thoi. M N b) MA2 EA.PB. E A D B Q C P x a) Chỉ ra VMNA VMQB g.c.g MA MB 0,5 Chỉ ra VADE VBDC g.c.g AE BC mà AE / /BC tứ giác AEBC là hình bình hành 0,5 Chỉ ra được MD  AB suy ra tứ giác AEBC là hình thoi. 0,5 b) Chỉ ra được M· PC B· MC 450 0,5 MB PB VMPB : VCMB (g.g) CB MB 0,5 MB2 CB.PB mà MB MA, EA CB MA2 EA.PB 0,5 2. Cho tam giác KHI có độ dài ba cạnh là ba số tự nhiên liên tiếp. Tính diện tích của tam giác KHI biết Kµ 2Hµ. I K H A Trên tia đối của tia KI lấy điểm A sao cho KA KH K· AH I·HK 0,25 IK IH VIKH : VIHA IK.IA IH 2 IK 2 IK.KH IH 2 IH IA
6. IK.KH IH IK IH IK 0,25 0,25 TH1: IH IK 1 IK.KH IH IK 2IK 1 IK KH 2 1 IK 1; IH 2; KH 3 TH2: IH IK 2 IK.KH 2 IH IK 4IK 4 IK KH 4 4 IK 4; IH 6; KH 5 0,25 15 7 Diện tích của tam giác IHK là (đvdt) 4 Câu 4. 1 1 1 1,0 Cho a,b,c 0 thỏa mãn a b c 3. Chứng minh rằng: 1. 2 a2b 2 b2c 2 c2 a 1 1 1 Đặt P 2 a2b 2 b2c 2 c2 a 2 2 2 a2b b2c c2 a Ta có Q 3 2P 1 2 1 2 1 2 2 2 2 0,25 2 a b 2 b c 2 c a 2 a b 2 b c 2 c a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 2 2 3 4 2 3 2 2 2 2 3 2 a b a b a b a ab a a b b a 2ab 2 a b 1 1 a b 3 a b 2 (1) 2 a b 33 a2b 3 3 9 9 0,25 b2c b2 2cb c2 a c2 2ca 0,25 Tương tự (2); (3); 2 b2c 9 2 c2 a 9 (a b c)2 Từ (1), (2), (3) Q 1nên 3 2P 1 P 1 0,25 9 a b c 3 2 2 2 Dấu “=” xảy ra khi a b b c c a 1 a b c 1 a b c 0