Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thọ Xuân (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thọ Xuân (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7, LỚP 8 TẠO HUYỆN THỌ XUÂN CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi : Toán - Lớp 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 12/3/2023 (Đề thi có 01 trang ) Câu 1. (4,0 điểm) x2 x2 (x 1)(x 3) 1. Cho biểu thức P . . 2 2 4 2 x 5x 6 x 3x 2 x x 1 Rút gọn 푃 và tìm giá trị lớn nhất của 푃. 2. a) Phân tích đa thức x3 y3 z3 3xyz thành nhân tử. b) Cho hai số thực phân biệt và khác 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 3 1. Tính giá trị của biểu thức = [( ― 1)( ― 1)]2023 . a3 b3 ab Câu 2. (4,0 điểm) 1 1 1 1. Giải phương trình : . x2 2x 3 (x 1)2 48 2. Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đến nhà Bích với vận tốc 4km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bích cũng rời nhà mình để đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bích trên đường, rồi cả hai cùng đi về nhà Bích. An ở nhà Bích chơi một thời gian rồi đi về một mình. Về đến nhà An tính ra quãng đường mình đã đi dài gấp bốn lần quãng đường Bích đã đi. Tính quãng đường từ nhà An đến nhà Bích (với giả thiết An và Bích cùng đi trên một quãng đường). Câu 3. (4,0 điểm) 1. Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 2 ―4 + 5 2 ―16 = 0. 2. Giả sử p, q là 2 số nguyên tố thỏa mãn đồng thời các điều kiện p q 3, 3 3 p q 2 . Chứng minh rằng p q chia hết cho 36. Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và điểm H thuộc cạnh BC (H không trùng với B và C ). Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa hình vuông ABCD dựng hình vuông CHIK. Gọi M là giao điểm DH và BK ; N là giao điểm KH và BD . 1. Chứng minh DH vuông góc với BK và DN.DB = DC.DK . BH S + S BH DH KH 2. Chứng minh = BHD BHK và + + > 6. HC SDHK HC HM HN 3. Gọi P là giao điểm của CN và DH. Qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, BK lần lượt tại E, Q. Chứng minh E là trung điểm của PQ. Câu 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3. a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A . 2b3 1 2c3 1 2a3 1 HẾT
2. Họ và tên thi sinh . Số báo danh . UBND HUYỆN THỌ XUÂN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7, LỚP 8 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022-2023 MÔN: TOÁN – LỚP 8 HƯỚNG DẪN CHẤM Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang. Câu Ý Nội dung Điể m 1 1.Cho biểu thức 풙 풙 (풙 ― )(풙 ― ) 2,5 푷 = + . 풙 ― 풙 + 풙 ― 풙 + 풙ퟒ + 풙 + Rút gọn 푷 và tìm giá trị lớn nhất của 푷. ĐKXĐ: ≠ 1; ≠ 2; ≠ 3 0.25 2 2 ( ― 1)( ― 3) 푃 = + . ( ― 2)( ― 3) ( ― 1)( ― 2) 4 2 + + 1 0.5 x2 (x 1) x2 (x 3) (x 1)(x 3) P . 4 2 (x 1)(x 2)(x 3) x x 1 0,25 1 2 2 ( ― 1)( ― 3) 푃 = . 0.5 ( ― 1)( ― 3) 4 + 2 + 1 2 2 0,25 푃 = 4 + 2 + 1 2 2 Vậy với ≠ 1; ≠ 2; ≠ 3 thì 푃 = 4 + 2 + 1 0.25 Nếu = 0 thì 푃 = 0 0,25 Nếu ≠ 0 thì 2 2 2 2 푃 = = ≤ 4 + 2 + 1 1 2 3 0,25 ― + 3 Dấu “=” xảy ra khi x= - 1 2 Vậy giá trị lớn nhất của là đạt được khi x = - 1. 푃 3 2 2.a) Phân tích đa thức x3 y3 z3 3xyz thành nhân tử 1,0 x3 y3 z3 3xyz (x y)3 3xy(x y) z3 3xyz 0,5 3 3 (x y) z 3xy(x y) 3xyz 2 2 0.25 (x y z) (x y) z(x y) z 3xy(x y z) 2 2 2 (x y z)(x y z xy yz zx) (*) 0,25
3. 2.b) Cho hai số thực phân biệt và khác 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 3 0,5 1 . Tính giá trị của 푻 = [( ― )( ― )] . a3 b3 ab 1 1 Áp dụng kết quả (*) với x , y , z 1. a b 0,25 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 (*) a3 b3 ab a b a2 b2 ab a b 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Mà 1 = + 1 + + 1 + ― > 0 a2 b2 ab a b 2 ( vì a b ) 0,25 1 1 Nên (*) 1 0 a b ab ab a b 1 1 a b Do đó T (ab a b 1)2023 1 2 1 1 1 1 Giải phương trình : 2 2 (1) 3,0 x 2x 3 (x 1) 48 ĐKXĐ: x 1, x 3. 0,25 1 1 1 4 1 (1) Ta có: 2 2 0,5 (x 1)(x 3) (x 1) 48 (x 1)(x 3)(x 1) 48 (x2 2x 3)(x2 2x 1) 192 0,5 Đặt 2 +2 ― 1 = ta có phương trình: (a 2)(a 2) 192 2 = 14 ⟺ = 196⟺ = ―14 0,5 = ―5 2 0,5 Với = 14 ⟹ +2 ― 1 = 14 ⟺ = 3 ( thỏa mãn ĐKXĐ) Với = ―14 ⟹ 2 +2 ― 1 = ―14 . Phương trình vô nghiệm. 0,5 Vậy 푆 = { ―5;3} 0,25 2 Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đến nhà Bích với vận tốc 4km/h. Lúc 8 giờ 20 phút, Bích cũng rời nhà mình để đến nhà An với vận tốc 3 km/h. An gặp Bích trên đường, rồi cả hai cùng đi về nhà Bích. An ở nhà Bích chơi một thời gian rồi đi về một mình. Về đến nhà An tính 1,0 ra quãng đường mình đã đi dài gấp bốn lần quãng đường Bích đã đi. Tính quãng đường từ nhà An đến nhà Bích (với giả thiết An và Bích cùng đi trên một quãng đường). Xem quãng đường từ nhà An đến nhà Bích theo thứ tự đó là AB. Gọi quảng đường từ nhà An đến nhà Bích là (km). > 0 Quảng đường An đã đi là 2 (km) 0.25 2 Quảng đường Bích đã đi là (km) 4 = 2
4. 3 Gọi C là chỗ hai người gặp nhau thì BC = :2 = 4 (km), AC x. 2 4 0.25 3 3 Thời gian An đi đoạn AC là (giờ) 4 :4 = 16 Thời gian Bích đi đoạn BC là 4:3 = 12 (giờ) 0.25 3 1 Ta có phương trình ― = ⟺ = 3,2 (t/m) 16 12 3 0,25 Vậy quãng đường từ nhà An đến nhà Bích là 3.2 (km). 1 Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 풙 ―ퟒ풙풚 + 풚 ― = 2,5 2 2 2 2 ―4 + 5 ―16 = 0⟺( ― 2 ) + = 16 (*) 0.25 Vì , ∈ 푍 nên ― 2 ∈ 푍, do đó từ (*) suy ra: 2 2 (x 2y) 16 (x 2y) 0 0.5 2 2 y 0 hoặc y 16 2 (x 2y) 16 x 4 x 8 1) 2 0.75 y 0 y 0 hoặc y 0 2 (x 2y) 0 x 8 x 8 2) 2 0.75 3 y 16 y 4 hoặc y 4 Vậy các cặp số nguyên ( ; ) cần tìm là ( ―4;0), (4;0), (8;4), 0,25 ( ―8; ― 4) 2 Giả sử p, q là 2 số nguyên tố thỏa mãn đồng thời các điều kiện 3 3 1,5 p q 3, p q 2 . Chứng minh rằng p q chia hết cho 36. Xét các số p, q có dạng 6.k + r (r = 0, 1, 2, 3, 4, 5), k là số tự nhiên 0,25 Dễ thấy, khi p, q là các số nguyên tố lớn hơn 5 thì các số 6k, 6k+2, 6k+3, 6k+4 đều là hợp số nên các số p, q có dạng 6k + 1 hoặc 6k + 5. 0,5 Vì p q 2 nên : Nếu p = 6k+5 thì q = 6k+3, lúc này q lại là hợp số, trái giả thiết q là số 0,25 nguyên tố. Nếu p = 6k+1 thì q = 6k - 1. Khi đó 3 3 2 0,25 p q (p q) ( p q) pq ( p q)(4 pq) 2 2 3 3 12k(36k 3) 36k(12k 1)36 . Vậy p q chia hết cho 36 0,25 4 Cho hình vuông ABCD và điểm H thuộc cạnh BC (H không trùng với B và C). Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa hình vuông ABCD dựng hình vuông CHIK. Gọi M là giao điểm DH và BK ; N là giao điểm KH và BD . 6,0 1.Chứng minh DH vuông góc với BK và DN.DB = DC.DK BH DH KH BH S + S + + > 6. 2.Chứng minh = BHD BHK và HC HM HN HC SDHK
5. 3. Gọi P là giao điểm của CN và DH. Qua P kẻ đường thẳng song song với BD cắt BC, BK lần lượt tại E, Q. Chứng minh E là trung điểm của PQ. A B N Q E M H I P D C K 1. Vì các tứ giác ABCD, CHIK là các hình vuông nên D, C, K thẳng 1,0 hàng và B·DC = 45°;C·KH = 45° Þ B·DC + C·KH = 90° Þ KH ^ BD Tam giác BKD có BC ^ KD; KH ^ BD nên H là trực tâm . Þ DH ^ BK 0.5 1 Xét tam giác DNK và tam giác DCB có : 3đ ì · ï NDK : chung íï Þ DDNK : DDCB(g.g) 1,0 ï · · îï DNK = DCB = 90° DN DK Þ = Û DN.DB = DC.DK 0,5 DC DB BH BH.DC BH.CK 2S 2S S + S Ta có : = = = BHD = BHK = BHD BHK 1,0 HC HC.DC HC.CK 2SDHC 2SCHK SDHK DH S + S HK S + S Tương tự : = BHD DHK ; = BHK DHK HM S HN S 0.5 2 BHK BHD 2,5 Suy ra: đ BH DH KH æS S ö æS S ö æS S ö 0.5 + + = ç BHD + DHK ÷+ ç BHK + DHK ÷+ ç BHD + BHK ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ HC HM HN èSDHK SBHD ø èSDHK SBHK ø èSBHK SBHD ø S S S S Theo bất đăng thức Cô si ta có : BHD + DHK ³ 2; BHD + BHK ³ 2; SDHK SBHD SBHK SBHD S S BH DH KH BHK + DHK ³ 2 .Do đó : + + ³ 6 S S HC HM HN DHK BHK 0,5 Dấu “=” xảy ra Û SBHD = SBHK = SDHK Û DC = CK (vô lí vì DC = BC > CK ). Dấu bằng không xảy ra .
6. BH DH KH Vậy + + > 6 (đpcm ) HC HM HN Xét tam giác DNC và tam giác DKB có : ì · 3 ï NDC : chung ï · · 0,5 í DN DC Þ DDNC : DDKB(c.g.c) Þ DCN = DBK. ï = (vi DN.DB = DC.DK) 0,25 đ îï DK DB Tương tự K·CM = K·BD. Þ D·CN = K·CM Þ N·CB = M· CB Suy ra CH là đường phân giác trong, CD là đường phân giác ngoài của tam giác PCM ( vì DC ^ CH ). HP DP æ CP ö Þ = ç= ÷ HM DM èç CM ø÷ (tính chất đường phân giác trong tam giác PCM). DM DP DM + DP 2DM - PM 2DM Þ = = = = - 1 (1) HM HP HM + HP PM PM DP DH - HP DH = = - 1 (2) Mặt khác HP HP HP 2DM DH HP 1 MP 0,25 = Û = . (3) Từ (1), (2) Suy ra: PM HP HD 2 MD Áp dụng định lí ta-lét vào các tam giác BHD, BMD ta có: HP PE MP PQ = ; = (4) HD BD MD BD PE 1 PQ (3), (4) Þ = . Û PQ = 2PE , suy ra E là trung điểm của PQ. BD 2 BD 5 Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca 3.Tìm giá trị a b c nhỏ nhất của biểu thức: A 2,0 2b3 1 2c3 1 2a3 1 Các bất đẳng thức quen thuộc ( học sinh phải chứng minh) (x y z)2 3(xy yz zx) (1); x3 y3 z3 3xyz x, y, z 0 (2). 0.25 Áp dụng bất đẳng thức (2) ta có: 3 3 a a 2b 1 2ab 2ab3 2ab3 2ab 0.25 a a a 2b3 1 2b3 1 2b3 1 b3 b3 1 3 b 2bc c 2ca Tương tự: b ; c 0.25 2c3 1 3 2a3 1 3 a b c 2 A (a b c) (ab bc ca) (a b c) 2 (3) 2b3 1 2c3 1 2a3 1 3 0.25 Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có: (a b c)2 3(ab bc ca) 9 0.25 a b c 3 (4) Từ (3) và (4) suy ra A 1. 0.25 Dấu “=” xảy ra khi a b c 1. 0.25
7. Vậy MinA 1 a b c 1. 0.25 Lưu ý: - Câu IV: Nếu thí sinh không vẽ hình hoặc vẽ sai hình thì không chấm điểm. - Điểm bài thi làm tròn đến 0,25. - Nếu thí sinh làm cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa.