Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Việt Trì (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Việt Trì (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 VIỆT TRÌ CẤP THÀNH PHỐ, NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề có: 03 trang) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: (16 câu; 8,0 điểm) Thí sinh làm bài (cả phần trắc nghiệm khách quan và tự luận) trên tờ giấy thi Câu 1. Giá trị của a để đa thức x2023 3x a chia hết cho đa thức x –1 là A. 1. B. –1. C. 2. D. –2. Câu 2. Cho đa thức f x ax3 bx2 10x 4 và g x x2 x 2 biết rằng f x chia hết cho g x khi đó a; b bằng A. 4; 2 . B. 2; 8 . C. 2; 8 . D. 2;8 . 2 a 1 1 2a2 4a 1 a3 4a Câu 3. Rút gọn biểu thức P : ta được 2 a3 1 a 1 4a2 3a a 1 4a 4a A. với a 0;a 1. B. với a 0;a 1. a2 4 a2 4 4a 4a C. với a 0;a 1. D. với a 0;a 1. a2 4 a2 4 25n2 97n 7 Câu 4. Gọi A là tập hợp các giá trị nguyên của n để biểu thức nhận giá trị n 4 nguyên. Số các phần tử dương của A bằng A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. 1 ax b Câu 5. Biết 1 . Giá trị của a2 b2 c bằng 1 1 cx 1 1 1 x A. 11. B. 3. C. 15. D. 9. Câu 6. Tổng các nghiệm của phương trình x 2 3 4x x2 4x 4 0 bằng 1 1 11 11 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 x a x 5 Câu 7. Giá trị của a nguyên dương để phương trình 2 có nghiệm x 10 bằng x 5 x a A. 5. B. 10. C. 15. D. 20. 6x 3 5x 3 2x 1 m Câu 8. Giá trị của m để phương trình có nghiệm là 4 6 3 12 A. 7. B. 12. C. 12. D. 7. Câu 9. Hình thang ABCD cóAB //CD; µA 3Dµ; Bµ Cµ 30. Khi đó tổng µA Bµ bằng A. 180. B. 210. C. 240. D. 270. Câu 10. Cho tứ giácABCD, gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình vuông khi tứ giác ABCD có điều kiện là A. BB.D  AC, BD AC. BD  AC. Trang 1/9
2. C. DB.D AC. // AC BD, AB CD. Câu 11. Cho tam giác ABC có AB : AC 4 : 5 và D là chân đường phân giác trong của góc A (tham khảo hình vẽ bên). Nếu BC 27 thì BD2 2.CD2 bằng A.389. B.369. C.513. D.594. Câu 12. Cho ABC, một đường thẳng song song với BC cắt các cạnh AB và AC theo thứ tự tại D và E . Hệ thức nào sau đây là đúng? AB CE AD CE CA CE A. 1. B. 1. C. 1. D. AD CA AB CA AB CA AD CA 1. AB CE Câu 13. Cho hình thang ABCD có đáy AB,CD, gọi M là trung điểm của cạnh bên AD . Khi S đó MBC bằng SABCD 1 1 2 1 A.  B.  C.  D.  3 2 3 4 Câu 14. Cho hình thang vuông ABCD có µA Dµ 90, Cµ 45, AB 2cm,CD 4cm. Diện tích của hình thang vuôngABCD là A. .3 cm2 B. . 8cm2 C. . 4 c m D.2 . 6cm2 Câu 15. Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B ,hai bến cách nhau 18km hết 1giờ 3 0phút. Biết vận tốc dòng nước chảy là 2km h thì vận tốc thực của ca nô (vận tốc khi dòng nước yên lặng) là A. 12km h. B. 10km h. C. 8km h. D. 18km h. Câu 16. Lớp 8D có 34 em đi học phụ đạo ba môn: Toán, Ngữ văn, tiếng Anh. Có 12 em đi học Toán, số em đi học tiếng Anh nhiều gấp 3 lần số em đi học Ngữ văn. Trong đó có 5 em vừa đi học tiếng Anh vừa đi học Toán, 4 em vừa đi học tiếng Anh vừa đi học Ngữ văn, 3 em vừa đi học Toán vừa đi học Ngữ văn, 2 em đi học cả ba môn nói trên. Số em đi học tiếng Anh bằng A. 24 . B. 8. C. 16. D. .27 II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1: (3,0 điểm) a) Chứng minh với mọi số nguyên n thì A n n 1 2n 1  6. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6x2 3xy 17x 4y 5 0. c) Chứng minh tích của bốn số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là một số chính phương. Câu 2: (4,0 điểm) a) Đa thức f (x) khi chia cho x 1 dư 4, khi chia cho x2 1 dư 2x 3 . Tìm phần dư khi chia f (x) cho (x 1)(x2 1). Trang 2/9
3. x y z a b c a2 b2 c2 b) Cho 0 và 2 . Tính giá trị của biểu thức: P  a b c x y z x2 y2 z2 c) Giải phương trình: x 2 x 3 x 6 x 9 140x2. Câu 3: (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA , BB ,CC ;H là trực tâm. HA' HB' HC ' a) Tính tổng  AA' BB' CC ' b) Gọi AI là phân giác của ABC;IM , IN thứ tự là phân giác của ·AIC và ·AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM BN.IC.AM. (AB BC CA)2 c) Tìm điều kiện của ABC để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. AA'2 BB'2 CC '2 Câu 4: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 4yx 4yz 3xz 3xyz. 2(x y)2 (y 2z)2 (2z x)2 Chứng minh rằng: 24. 2x 3y 2y z z 2x Hết Họ và tên thí sinh: SBD: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm./. Trang 3/9
4. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG VIỆT TRÌ LỚP 8 CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn chấm có 06 trang ) A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN: ( 16 câu; 8,0 điểm; mỗi câu đúng 0,5 điểm) Câu Đáp án Câu Đáp án 1 D 9 C 2 A 10 A 3 C 11 D 4 C 12 B 5 A 13 B 6 A 14 D 7 C 15 B 8 D 16 A II. PHẦN TỰ LUẬN Câu 1: (3,0 điểm) a) Chứng minh với mọi số nguyên n thì A n n 1 2n 1 6. b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6x2 3xy 17x 4y 5 0. c) Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là một số chính phương. Ý Đáp án Điểm a) Chứng minh với mọi số nguyên n thì A n n 1 2n 1 6. A n n 1 2n 1 n(n 1)(2n 2 3) 0,25 a) (1,0 đ) A 2(n 1)n(n 1) 3n(n 1) 0,25 2(n 1)n n 1 6  0,25 Ta có:  A6 3n(n 1)6  Vậy với mọi số nguyên n thì A n n 1 2n 1 6. 0,25 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 6x2 3xy 17x 4y 5 0. 6x2 3xy 17x 4y 5 0 6x2 8x 3xy 4y 9x 12 7 0,25 2x(3x 4) y(3x 4) 3(3x 4) 7 (3x 4)(2x y 3) 7 Lập bảng: 3x 4 7 1 1 7 0,25 2x y 3 1 7 7 1 Trang 4/9
5. Ý Đáp án Điểm b) x 1 1 5 11 (1,0 đ) 3 3 y 4 6 20 10 3 3 0,25 Vì x, y Z nên phương trình có nghiệm x, y 1; 6 , 1;4 . 0,25 Vây phương trình có nghiệm x, y 1; 6 , 1;4 . c) Tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng với 1 luôn là một số chính phương. Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là: n,n 1,n 2,n 3 n N . 0,25 Ta có n n 1 n 2 n 3 1 n.(n 3 n 1 n 2 1 0,25 c) n2 3n n2 3n 2 1 * (1,0 đ) Đặt n2 3n t (t N) thì (*) t(t 2) 1 t 2 2t 1 (t 1)2. 2 0,25 n n 1 n 2 n 3 1 n2 3n 1 . Vì n N nên n2 3n 1 N. Vậy n n 1 n 2 n 3 1 là số chính 0,25 phương. Câu 2: (4,0 điểm) a) Đa thức f (x) khi chia cho x 1 dư 4, khi chia cho x2 1 dư 2x 3 . Tìm phần dư khi chia f (x) cho (x 1)(x2 1). x y z a b c a2 b2 c2 b) Cho 0 và 2 . Tính giá trị của biểu thức: P a b c x y z x2 y2 z2 c) Giải phương trình : x 2 x 3 x 6 x 9 140x2. Ý Đáp án Điểm a) Đa thức f (x) khi chia cho x 1 dư 4, khi chia cho x2 1 dư 2x 3 . Tìm phần dư khi chia f (x) cho (x 1)(x2 1). Ta có: f x chia x 1 dư 4 f 1 4 . 0,25 Do bậc của đa thức chia là 3 nên đa thức dư có dạng ax2 bx c . 0,25 Theo định nghĩa phép chia còn dư, ta có : f(x) = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + ax2 + bx + c 2 2 a) = (x + 1)(x + 1).q(x) + ax + a - a + bx + c 0,25 (1,5 đ) = (x + 1)(x2 + 1).q(x) + a(x2 + 1) + bx + c - a = [(x + 1).q(x) + a].(x2 + 1) + bx + c - a Mà f x chia cho x2 1 dư 2x 3. Do đó, ta có: 0,5 Trang 5/9
6. Ý Đáp án Điểm b 2 b 2 b 2 9 c a 3 c a 3 c 2 a b c 4 a c 6 3 a 2 3 9 Vậy đa thức dư cần tìm có dạng: x2 2x 0,25 2 2 x y z a b c a2 b2 c2 b) Cho 0 và 2 . Tính giá trị của biểu thức: P a b c x y z x2 y2 z2 x y z b) Ta có: 0 bcx acy abz 0 a b c 0,25 2 a b c a b c 2 4 x y z x y z 0,5 a2 b2 c2 ab ac bc 2 2 2 2. 4 x y z xy xz yz a2 b2 c2 abz acy bcx 2. 4 x2 y2 z2 xyz a2 b2 c2 2.0 4 0,5 x2 y2 z2 b) a2 b2 c2 (1,5 đ) 4 x2 y2 z2 a2 b2 c2 Vậy 4 x2 y2 z2 0,25 c) Giải phương trình: x 2 x 3 x 6 x 9 140x2. x 2 x 3 x 6 x 9 140x2 x2 x 18 x2 3x 18 140x2 (1) 2 x 0 không là nghiệm PT(1) chia 2 vế PT(1) cho x 0 0,25 2 2 2 18 18 x 7x 18 x 3x 18 140x x 7 x 3 140 x x 18 Đặt x 5 y,(y R) ta có phương trình : x 0,25 2 y 12 y 2 y 2 140 y 144 y 12 c) *Với y 12 ta có phương trình (1,0 đ) 18 x 5 12 x2 7x 18 0 x2 9x 2x 18 0 x 0,25 x 2 x 2 x 9 0 x 9 Trang 6/9
7. Ý Đáp án Điểm *Với y 12 ta có phương trình 18 x 5 12 x2 17x 18 0 x2 x 18x 18 0 x x 1 0,25 x 1 x 18 0 x 18 Vậy S 18; 2;1;9 Câu 3:(4,0điểm) Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA , BB ,CC ;H là trực tâm. HA' HB' HC ' a) Tính tổng  AA' BB' CC ' b) Gọi AI là phân giác của ABC;IM , IN thứ tự là phân giác của ·AIC và ·AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM BN.IC.AM. (AB BC CA)2 c) Tìm điều kiện của ABC để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. AA'2 BB'2 CC '2 Ý Đáp án Điểm A C’ B’ x H N M I A’ C B D 1 .HA'.BC SHBC 2 HA' ; 0,5 S 1 AA' ABC .AA'.BC a) 2 (1,5 đ) S HC ' S HB' Tương tự: HAB ; HAC SABC CC ' SABC BB' 0,5 HA' HB' HC ' S S S HBC HAB HAC 1 0,5 AA' BB' CC ' SABC SABC SABC Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC: BI AB AN AI CM IC ; ; 0,5 IC AC NB BI MA AI Trang 7/9
8. Ý Đáp án Điểm A C’ B’ x H N M I A’ C B D BI AN CM AB AI IC AB IC . . . . . 1 b) IC NB MA AC BI AI AC BI 0,5 (1,5đ) BI .AN.CM BN.IC.AM BI .AN.CM BN.IC.AM 0,5 Vẽ Cx  CC’ . Gọi D là điểm đối xứng của A quaCx - Chứng minh được B· AD vuông, CD AC, AD 2CC’ 0,25 - Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD BC CD - BAD vuông tại A nên: AB2 AD2 BD2 AB2 AD2 BC CD 2 2 0,25 AB2 4CC’2 BC AC 4CC’2 BC AC 2 – AB2 c 2 2 2 (1,0đ) Tương tự: 4AA’ AB AC – BC 4BB’2 AB BC 2 – AC 2 2 2 2 2 - Chứng minh được : 4 AA’ BB’ CC’ AB BC AC 0,25 (AB BC CA)2 4 AA'2 BB'2 CC '2 Đẳng thức xảy ra BC AC, AC AB, AB BC AB AC BC 0,25 ABC đều Câu 4: (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 4yx 4yz 3xz 3xyz. 2(x y)2 (y 2z)2 (2z x)2 Chứng minh rằng: 24. 2x 3y 2y z z 2x Ý Đáp án Điểm Trước hết áp dụng BĐT A B 2 4AB 2(x y)2 (y 2z)2 (2z x)2 0,25 Đặt P  2x 3y 2y z z 2x 8xy 8yz 8xz 8xyz 8xyz 8xyz P Q 0,25 2x 3y 2y z z 2x 2xz 3yz 2xy xz yz 2xy Trang 8/9
9. 4. (1,0 đ) 1 1 1 9 Áp dụng BĐT với A, B, C dương A B C A B C 9 72xyz 72xyz Q 8xyz. 24 0,25 2xz 3yz 2xy xz yz 2xy 4xy 4yz 3xz 3xyz P Q 24 x y 2z x y 5 Dấu "=" xảy ra 4xy 4yz 3xz 3xyz 5 0,25 z 2xz 3yz 2xy xz yz 2xy 2 HẾT Lưu ý khi chấm bài - Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic. - Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của HDC. - Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số. Trang 9/9