Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Hải Phòng (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp Thành phố Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Hải Phòng (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG CẤP THCS, NĂM HỌC 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 28/03/2023 Bài 1. (2,0 điểm) a a2 b2 a a2 b2 4 a4 a2b2 a) Rút gọn biểu thức A : (với a b 0). 2 2 2 2 2 a a b a a b b 1 3 6 6 6 6 5 b) Chứng minh rằng (trong đó biểu thức chứa căn có 6 27 3 6 6 6 2023 dấu căn ở tử số và 2022 dấu căn ở mẫu số). Bài 2. (2,0 điểm) a) Cho phương trình x 2 4m 1 x 4m2 1 0 (với m là tham số ). Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn điều kiện x1 0 và x1 x2. 1 2 x 1 3 x y b) Giải hệ phương trình . 1 2 y 1 1 x y Bài 3. (2,0 điểm) a) Tìm x nguyên dương để 4x 3 14x 2 9x 6 là số chính phương. b) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x z. Chứng minh rằng xz y2 x 2z 5 y2 yz xz yz x z 2 Bài 4. (3,0 điểm) Cho ABC nhọn không cân tại đỉnh A, nội tiếp đường tròn O . Kẻ đường cao AH của ABC H BC . Gọi P,Q lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ H đến các đường thẳng AB , AC. a) Chứng minh tứ giác BCQP nội tiếp. b) Hai đường thẳng PQ và BC cắt nhau tại M , đường thẳng AM cắt đường tròn O tại điểm thứ hai là K (K khác A ). Chứng minh rằng MH 2 MK .MA. c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCQP. Chứng minh ba điểm I ,H,K thẳng hàng. Bài 5. (1,0 điểm) Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh một hình vuông sao cho có thể đặt vào trong nó 5 hình tròn có bán kính bằng 1, biết rằng các hình tròn này đôi một không có quá một điểm chung. Hết (Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Cán bộ coi thi 1: Cán bộ coi thi 2: