Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Gia Lai (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Gia Lai (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 06 câu, gồm 01 trang) Ngày thi: 14/02/2023 Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Câu 1 (5,0 điểm). 1 1 1 1 a) Chứng minh rằng: 1 ( Với k 0 ). 12 k 2 (k 1)2 k(k 1) Từ đó hãy tính giá trị biểu thức: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S . 12 22 32 12 32 42 12 20222 20232 2023 b) Tìm tất cả các cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn: x2 xy x y 5 0 . Câu 2 (4,0 điểm). a) Cho hàm số y (m2 m 2)x 2m 8 có đồ thị là đường thẳng d . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 ( với O là gốc tọa độ ). b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước. Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ rồi dừng lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi thứ nhất chảy 8 vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì số nước đã chảy vào bằng bồn. 9 Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu nước sẽ đầy bồn đó ? Câu 3 (2,0 điểm). Cho x 1 3 3 3 9 . Chứng tỏ x3 3x2 6x 21 là số chia hết cho 5 . Câu 4 (5,0 điểm). Cho đường tròn (O) đường kính BC 2R và điểm A thay đổi trên (O) (điểm A không trùng với B,C ). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn (O) tại K . Hạ AH vuông góc với BC . a) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH 2 KH 2 luôn không đổi. Tính góc B của tam giác 3 ABC biết AH R . 2 b) Đặt AH x . Tìm x sao cho diện tích tam giácOAH đạt giá trị lớn nhất. Câu 5 (2,0 điểm). Cho ABC vuông tại A biết AB 3, AC 4 và AH là đường cao. Gọi I AB sao cho AI 2BI , CI cắt AH tại E . Tính CE. Câu 6 (2,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: (a2 bc)(b c) (b2 ca)(c a) (c2 ab)(a b) 3 2 . a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) HẾT Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 05 trang) Ngày thi: 14/02/2023 ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN Câu Ý Đáp án Điểm 1 1 1 1 Chứng minh rằng: 1 ( Với k 0 ). 12 k 2 (k 1)2 k(k 1) Từ đó hãy tính giá trị biểu thức: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 12 22 32 12 32 42 12 20222 20232 2023 1 1 1 k 2 (k 1)2 (k 1)2 k 2 0,5 12 k 2 (k 1)2 k 2 (k 1)2 k 4 2k 3 k 2 k 2 2k 1 k 2 k 4 2k 3 2k 2 k 2 2k 1 0,5 k 2 (k 1)2 k 2 (k 1)2 (k 2 k 1)2 k 2 k 1 0,5 a) k 2 (k 1)2 k(k 1) 3đ k(k 1) 1 1 1 (đpcm). 0,5 k(k 1) k(k 1) Ta có: 1 1 1 1 1 1 0,25 1 1 12 k 2 (k 1)2 k(k 1) k k 1 Khi đó: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 12 22 32 12 32 42 12 20222 20232 2023 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 3 4 2022 2023 2023 1 2021 2021,5 . 0,25 2 1 Tìm tất cả các cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn: x2 xy x y 5 0 . (5,0đ) Ta có : x2 xy x y 5 0 y(x 1) x2 x 5 (*) 0,25 b) Với x 1 không thỏa mãn đẳng thức (*) . 2đ x2 x 5 7 0,5 Khi đó (*) y y x 2 x 1 x 1 Vì x, y nguyên nên suy ra: (x 1) là ước nguyên của 7 0,25
3. Suy ra: (x 1) 1; 7 0,25 • x 1 1 x 2 y 11 • x 1 1 x 0 y 5 0,5 • x 1 7 x 8 y 11 • x 1 7 x 6 y 5 Vậy có 4 cặp số nguyên thỏa ycbt : (2;11), (0; 5), (8;11), ( 6; 5) . 0,25 a) Cho hàm số y (m2 m 2)x 2m 8 có đồ thị là đường thẳngd . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 (với O là gốc tọa độ). m2 m 2 0 m ¡ Vì O, A, B tạo thành tam giác nên : 0,25 2m 8 0 m 4 Đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B nên suy ra : 2m 8 0,5 A( ;0) & B(0;2m 8) a) m2 m 2 2đ 1 1 2m 8 Ta có : S .OA.OB . . 2m 8 2 0,5 OAB 2 2 m2 m 2 m2 8m 16 m2 m 2 (m 4)2 m2 m 2 m2 8m 16 m2 m 2 2 2 m 8m 16 m m 2 0,5 m 2 (TMĐK) 0,25 2 (4,0đ) b) Cho hai vòi nước chảy vào 1 bồn nước. Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 3 giờ rồi dừng lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào trong 8 giờ nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi thứ nhất chảy vào bồn rỗng trong 1 giờ rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4 giờ 8 nữa thì số nước đã chảy vào bằng bồn. Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu 9 nước sẽ đầy bồn đó ? Gọi x (giờ), y (giờ) lần lượt là thời gian để mỗi vòi chảy riêng đổ đầy bồn nước, x 0, y 0 . 0,25 1 1 b) Khi đó, trong 1 giờ : vòi thứ nhất chảy được bồn, vòi thứ hai chảy được bồn. 2đ x y 0,25 3 8 1 x y Theo giả thiết bài toán ta có hệ phương trình : 0,5 1 1 1 8 4 x x y 9 1 3a 8b 1 a 1 1 9 Đặt : a ,b hệ trở thành : 8 0,5 x y 5a 4b 1 9 b 12
4. Suy ra : x 9, y 12 . 0,25 Vậy vòi thứ nhất cần 9 (giờ), vòi thứ hai cần 12 (giờ) để chảy riêng một mình thì đầy 0,25 bồn. Cho x 1 3 3 3 9 . Chứng tỏ x3 3x2 6x 21 là số chia hết cho 5. Ta có: x 1 3 3 3 9 x 3 3 3 3 3 9 3 0,5 3 2đ x 3 3 3 3 3 9 1 2 x 3 3 x 2 0,5 3x3 x3 6x2 12x 8 x3 3x2 6x 4 0,5 Từ đó suy ra : x3 3x2 6x 21 4 21 25 là số chia hết cho 5. 0,5 Cho đường tròn (O) đường kính BC 2R và điểm A thay đổi trên (O) (điểm A không trùng vớiB,C ). Đường phân giác trong góc A của tam giác ABC cắt đường tròn(O) tại K . Hạ AH vuông góc với BC . a) Chứng minh rằng khi A thay đổi, tổng AH 2 KH 2 luôn không đổi. Tính góc B của 3 tam giác ABC biết AH R . 2 0,25 a) 4 3đ Góc BAC vuông tại A, AK là đường phân giác trong của góc A nên K là điểm chính giữa cung BC suy ra OHK vuông tại O . Ta có: OK 2 OH 2 HK 2 HK 2 R2 OH 2 0,5 Mặt khác AH 2 OH 2 R2 AH 2 R2 OH 2 2 2 2 2 2 2 2 AH HK R OH R OH 2R ( không đổi) 0,5 R 3 OAH vuông tại H có: AH nên OAH là nửa tam giác đều cạnh bằng R. 2 0,5 Suy ra: ·AOH 600 + Nếu H thuộc đoạn OB · 0 Ta có: OAB cân tại O (OA OB R ) có AOB 60 0,5 Tính được ·ABC 600
5. + Nếu H thuộc đoạn OC 0,5 Ta có ·ACB 600 ·ABC 900 600 300 · 0 · 0 Vậy ABC 60 hoặc ABC 30 0,25 b) Đặt AH x . Tìm x sao cho diện tích OAH đạt giá trị lớn nhất. OAH vuông tại H nên: AH 2 OH 2 OA2 0,5 x2 OH 2 R2 OH 2 R2 x2 OH R2 x2 (đvdt) 1 1 Suy ra: S AH.OH x R2 x2 VOAH 2 2 0,5 b) Theo bất đẳng thức Cô si: 2đ 1 1 x2 R2 x2 R2 R2 0,5 Ta có: S x R2 x2 . , trong đó không đổi VOAH 2 2 2 4 4 2 Dấu “=” xảy ra khi x = R2 x2 x2 R2 x2 x R 2 0,5 R2 2 Vậy S đạt giá trị lớn nhất là khi x R . 4 2 Cho ABC vuông tại A biết AB 3, AC 4 và AH là đường cao. Gọi I AB sao cho AI 2BI , CI cắt AH tại E . Tính CE. 5 2đ 12 Trong ABC có : BC AB2 AC 2 5 , AH 5 0,5 9 16 BH.BC AB2 BH , CH 5 5 Dựng IK  BC,(K BC) . 1,0 Khi đó dễ dàng tính được :
6. 1 3 22 1 4 BK BH ; CK ; IK AH ; IC IK 2 CK 2 2 5 3 5 5 3 5 CE CH CI.CH 16 5 Ta có : CE CI CK CK 11 0,5 Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: (a2 bc)(b c) (b2 ca)(c a) (c2 ab)(a b) 3 2 . a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) Ta có: (a2 bc)(b c) a2b a2c b2c bc2 b(a2 c2 ) c(a2 b2 ) Tương tự: (b2 ca)(c a) c(b2 a2 ) a(b2 c2 ) 0,5 (c2 ab)(a b) a(c2 b2 ) b(c2 a2 ) Đặt: x a(b2 c2 ); y b(c2 a2 ); z c(b2 a2 ) Khi đó: (a2 bc)(b c) (b2 ca)(c a) (c2 ab)(a b) y z z x x y a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) x y z 6 2đ Áp dụng BĐT Cô si cho 2 số không âm x, y, z : 0,5 x y 2 xy y z 2 yz z x 2 zx (x y)(y z)(z x) 8xyz y z z x x y Áp dụng BĐT Cô si cho 3 số không âm: ; ; x y z 0,5 y z z x x y (y z)(z x)(x y) 3 Ta có: 33 3 8 3 2 x y z x.y.z (a2 bc)(b c) (b2 ca)(c a) (c2 ab)(a b) 3 2 (đpcm) a(b2 c2 ) b(c2 a2 ) c(a2 b2 ) 0,5 Lưu ý : - Thí sinh giải cách khác, đúng và lập luận chặt chẽ vẫn được điểm tối đa. - Điểm toàn bài không làm tròn. Hết
7. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH GIA LAI NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán ĐỀ DỰ BỊ Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 06 câu, gồm 01 trang) Ngày thi: 14/02/2023 Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Câu 1 (5,0 điểm). 1 1 1 a) Tính giá trị biểu thức: S . 1 3 3 5 2023 2025 b) Tìm tất cả các cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn: x2 xy 3x 2y 7 0 . Câu 2 (4,0 điểm). a) Cho hàm số y (m2 m 1)x m có đồ thị là đường thẳng d . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng d cắt trục hoành và trục tung lần lượt tại A và B sao cho diện tích tam 1 giác OAB bằng ( với O là gốc tọa độ ). 2 b) Một máy cày lớn và máy cày nhỏ cùng cày một cánh đồng trong 1 ngày rồi giao lại cho máy cày nhỏ thì cần thêm 9 ngày nữa mới cày xong. Nếu cả hai máy cày cùng làm việc thì chỉ cần 4 ngày là cày xong. Hỏi mỗi máy nếu cày riêng thì cần mấy ngày để cày xong cánh đồng đó ? Câu 3 (2,0 điểm). Cho x 1 3 7 3 49 . Chứng tỏ x3 3x2 18x 13 là số chính phương . Câu 4 (5,0 điểm). 1 Đoạn thẳng AC có độ dài bằng a , lấy điểm B sao cho AB AC. Tia Cx vuông góc với AC 4 tại C . Trên tia Cx lấy điểm D bất kỳ (D không trùng với C). Từ B kẽ đường vuông góc với AD cắt hai đường thẳng AD và CD lần lượt tại K và E . a) Xác định vị trí điểm D để diện tích tam giác BED nhỏ nhất. b) Chứng minh rằng khi D di chuyển trên tia Cx thì đường tròn đường kính DE luôn có một cung cố định. Câu 5 (2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD . Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC . Tìm điều kiện của tứ giác AB CD ABCD để EF . 2 Câu 6 (2,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: a3 b2 c2 a b c . b3 c3 a3 b c a HẾT Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm.