Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Hà Nam (Có đáp án)

Nội dung text: Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Hà Nam (Có đáp án)

1. UBND TỈNH HÀ NAM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu I. (3,0 điểm) Cho biểu thức a 1 a a 1 a2 a a a 1 P với a 0,a 1. a a a a a a a) Rút gọn biểu thức P. 8 b) Tìm điều kiện của a để biểu thức Q nhận giá trị nguyên. P Câu II. (4,0 điểm) 1. Giải phương trình x2 3 x3 3x2 4x 2 0 . x2 y2 4x 6y 5 0 2. Giải hệ phương trình 2 2x 3 2y 2x x 26. 1 Câu III. (2,0 điểm) Cho parabol P : y x2 và hai điểm A 2;2 , B 4;8 nằm trên P . 2 Gọi M là điểm thay đổi trên P và có hoành độ là m 2 m 4 . Tìm m để tam giác ABM có diện tích lớn nhất. Câu IV. ( 2,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x 2y x 2y 4y x x3. Câu V. (7,0 điểm) 1. Cho đường tròn O;R đường kính AB. Gọi C là điểm thỏa mãn tam giác ABC nhọn. Các đường thẳng CA,CB cắt đường tròn O tại điểm thứ hai tương ứng là D, E. Trên cung AB của O không chứa D lấy điểm F (0 FA FB ). Đường thẳng CF cắt AB tại M , cắt đường tròn (O) tại N ( N không trùng với F) và cắt đường tròn O' ngoại tiếp tam giác CDE tại P ( P không trùng với C ). a) Giả sử ·ACB 600 , tính DE theo R. b) Chứng minh CN.CF CP.CM. c) Gọi I, H theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của F trên các đường thẳng BD, AB. Các đường thẳng IH và CD cắt nhau tại K. Tìm vị trí của điểm F để biểu AB BD AD thức đạt giá trị nhỏ nhất. FH FI FK 2. Cho góc nhọn xOy cố định và A là điểm cố định trên Ox. Đường tròn I thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với Ox, Oy lần lượt tại E, D. Gọi AF là tiếp tuyến thứ hai kẻ từ A đến I ( F là tiếp điểm). Chứng minh DF luôn đi qua một điểm cố định. Câu VI. (2,0 điểm) 2 2 2 a b 1 a b 1 b a 1 3 Cho 2 số dương a,b. Chứng minh: . a b 2 1 a 1 2 b2 b 1 2 a2 5 HẾT Họ và tên thí sinh: .Số báo danh: Người coi thi số 1 Người coi thi số 2