Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Phú Thọ (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Phú Thọ (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 03 trang) A. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Câu 1: Nếu ab, là các số tự nhiên sao cho 7+=+ 48 ab thì ab22+ bằng A. 25. B. 37. C. 29. D. 40. 11x + Câu 2: Có bao nhiêu giá trị nguyên của x để biểu thức P = : nhận giá trị nguyên? x2 − xxx ++ x x A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Câu 3: Một chiếc xe khách khởi hành từ Hà Nội và một chiếc xe tải khởi hành từ Vinh cùng một lúc và đi ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau, xe khách chạy thêm 2 giờ thì đến Vinh, còn xe tải chạy thêm 4 giờ 30 phút thì đến Hà Nội. Biết Hà Nội cách Vinh là 300 km, hai xe đi cùng tuyến đường. Vận tốc của xe khách bằng A. 60 km/h. B. 40 km/h. C. 50km/h. D. 80 km/h. Câu 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đa giác OABCDE có tọa độ các đỉnh AB(3; 0) ,( 3; 3) , CDE(1;3) ,( 1;5) ,( 0;5) . Đường thẳng y= ax chia đa giác thành hai phần có diện tích bằng nhau. Khẳng định nào sau đây đúng? A. 0 . Giá trị của uva−+ bằng A. 100. B. 115. C. 130. D. 145. +ab =21( m +) Câu 8: Cho hai số a và b thỏa mãn điều kiện . Gọi m là giá trị của m để tổng  2 0 ab.2= m −+ m ab22+ đạt giá trị nhỏ nhất. Khẳng định nào sau đây đúng? A. −<2m0 < 0. B. 0<<m0 1. C. −3 <m0 <− 2. D. 1<<m0 3. Câu 9: Khi tính toán thể tích căn phòng hình hộp chữ nhật, bạn An đã nhập sai chiều cao vào máy tính, 1 An đã nhập số liệu lớn hơn chiều cao thật. Sau khi có kết quả, An nói: “Mình đã nhầm, nhưng không 3 1 sao, lại trừ bớt đi kết quả này thì sẽ cho kết quả đúng thôi”. Bạn Bình, người đã tính đúng kết quả nói 3 rằng: “Kết quả đó vẫn chưa đúng, An phải tiếp tục cộng thêm 8m3 nữa mới đúng”. Thể tích căn phòng bằng A. 24m3 . B. 72m3 . C. 48m3 . D. 64m3 . 22 Câu 10: Cho tam giác ABC vuông tại A, kẻ đường cao AH, biết SABH =15,36 cm ; SAHC = 8,64 cm . Độ dài của AH bằng A. 4,8cm . B. 9,6cm . C. 2, 4cm . D. 6, 4cm . Trang 1/3
2. Câu 11: Trong hình bên, ABCD là hình thang có hai đáy AB=2; CD = 5, AX song song với BC, BY song song với AD; BY lần lượt cắt AX, AC tại Z, W. Khi đó tỉ số diện tích của tam giác AZW và hình thang ABCD bằng 8 7 A. . B. . 105 105 9 10 C. . D. . 105 105 Câu 12: Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Qua O kẻ đường thẳng song song với hai đáy, cắt AD và BC lần lượt tại P và Q. Khi PQ= a thì 11 giá trị của + bằng AB CD 1 2 a a A. . B. . C. . D. . a a 3 2 Câu 13: Cho tam giác ABC đều, có cạnh bằng 6.cm Trên đoạn BC lấy điểm D sao cho BD= 2. cm Đường trung trực của đoạn AD cắt AB tại E. Độ dài của DE bằng A. 2,8cm . B. 5, 2cm . C. 3, 6cm . D. 3.cm Câu 14: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại Q, đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại P. Từ PQ, lần lượt kẻ các tiếp tuyến PM, QN với (O) ( MN, là các tiếp điểm). Biết PM= u,. QN = v Độ dài của PQ bằng uv+ uv A. . B. . C. uv22+ . D. uv. 2 2 Câu 15: Cho tam giác ABC đều, nội tiếp đường tròn tâm (OR;.) D là điểm di động trên cạnh BC, đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E, ( E khác A ). Gọi RR12, lần lượt là bán kính của đường tròn ngoại tiếp các tam giác EBD,. ECD Giá trị lớn nhất của RR12. bằng 3R2 R2 3R2 3R2 A. . B. . C. . D. . 4 4 4 2 Câu 16: Một đoàn học sinh đi trải nghiệm ở công viên Văn Lang thành phố Việt Trì bằng ô tô. Nếu mỗi ô tô chở 22 học sinh thì thừa 1 học sinh. Nếu bớt đi 1 ô tô thì số học sinh được chia đều cho các ô tô còn lại. Biết mỗi ô tô chở không quá 30 học sinh, số học sinh của đoàn tham quan là A.506. B. 528. C. 507. D. 529. B. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Bài 1 (3,0 điểm). 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương ( xy; ) thỏa mãn: 3( x22+ y) + 2( xy −= 1) 662. m22+ n mn 2. Cho các số nguyên dương abmn,, , thỏa mãn (ab,1) = và = . ab Chứng minh rằng: ab++22 ab − là số nguyên. Bài 2 (4,0 điểm).  xy44 1  += xy10 10 2 += 1. Cho abxy,,, là các số thực thỏa mãn  a b ab+ . Chứng minh rằng: 55 5 .  22 ab(ab+ ) xy+=1 2. Giải phương trình: ( x+15) xx22 +−=+− 235 xx 45.  3 xxy( +) + xy +=221 y( y +) 3. Giải hệ phương trình:  . 2  2x+ 3.3 y += 5 yx +− 6 Trang 2/3
3. Bài 3 (4,0 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A( BAC < 900 ). Một đường tròn tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại BC,. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy điểm M ( M khác BC, ). Gọi IHK,, lần lượt là hình chiếu của M trên BC,,. CA AB Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng MB và IK , Q là giao điểm của hai đường thẳng MC và IH, T là giao điểm của hai đường thẳng HK và MI. a) Chứng minh TK. MH= MK TH b) Chứng minh PQ song song với BC. c) Gọi (O1 ) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác MPK và MQH, N là giao điểm thứ hai của (O1 ) và (O2 ) ( N khác M ). Chứng minh khi M di động trên cung nhỏ BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Bài 4 (1,0 điểm). Cho xyzt,,, là các số thực không âm thay đổi thỏa mãn: xyzt2+ 2 ++= 222023. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: xyz t S = +++. 2023 2023++++yzt 2023 2023xzt 2023 2023txy 2023 2023 xyz HẾT Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: . Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Trang 3/3
4. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 – 2023 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm có 07 trang) I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu Đáp án Câu Đáp án 1 A 9 B 2 A 10 A 3 A 11 A 4 B 12 B 5 D 13 A 6 D 14 C 7 D 15 B 8 B 16 D II. PHẦN TỰ LUẬN Lưu ý khi chấm bài - Hướng dẫn chấm (HDC) dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách. Khi chấm, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic. - Thí sinh làm bài theo cách khác với HDC mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của HDC. - Điểm bài thi là tổng điểm các bài không làm tròn số. Bài 1 (3,0 điểm): 1). Tìm tất cả các căp số nguyên dương ( xy, ) thỏa mãn: 3( x22+ y) + 2( xy −= 1) 662. m22+ n mn 2). Cho các số nguyên dương abmn,, , thỏa mãn: (ab;1) = và = (1.) ab Chứng minh rằng: ab++22 ab − là số nguyên. Ý Đáp án Điểm 1). Tìm tất cả các căp số nguyên dương ( xy, ) thỏa mãn: 3( x22+ y) + 2( xy −= 1) 662. Xét phương trình: 3( x22+ y) + 2( xy −= 1) 662. ⇔ +−2 + = 3( x y) 2 xy 2 xy 664. 0,25 2 ⇔3( x +− y) 4 xy = 664 2 ⇔+=+3( x y) 4 xy 664 Đặt S=+= x y; P xy ,( S2 ≥ 4 P) (*), ta được PT :3SP2 = 4 + 664 (1) 1. (1,5 điểm) 0,25 Vì SP2 ≥ 4 nên 3SS22≤+ 664 ⇔≤ S2 332. 664 664 Lại có: P > 0 nên 3SS22> 664 ⇔> .Suy ra: <≤S 2 332. 0,25 3 3 Trang 1/7
5. Ý Đáp án Điểm Từ (1) suy ra: S chẵn nên S ∈{16;18} . 0,25 Với S=16 ⇒= P 26,( tm /( *)) . Khi đó xy, là 2 nghiệm của phương trình: X =8 + 38 0,25 XX2 −16 +=⇔ 26 0  (loại do xy, nguyên dương). X =8 − 38 Với SP=18 ⇒= 77 , thỏa mãn (*). Khi đó xy, là 2 nghiệm của phương 2 X = 7 trình: XX−18 +=⇔ 77 0  (t/m). 0,25 X =11 Vậy có 2 cặp số nguyên dương ( xy, ) thỏa mãn là: (7;11) và (11; 7) . m22+ n mn 2). Cho các số nguyên dương abmn,, , thỏa mãn: (ab;1) = và = (1.) ab Chứng minh rằng: ab++22 ab − là số nguyên. Gọi d=( m, n) ⇒= m dx, n = dy ,( x , y) = 1; d , x , y ∈ + . 0,25 22+= Thay vào (1) , ta được: b( x y) axy (2) 22 22 Từ (2) suy ra: axy( x+ y ) mà ( xy,1) = nên ax( + y). 0,25 Và bx( 22+ y) a và (ab;1) = nên ( x22+ ya) 0,25 2. (1,5 điểm) Vậy ta phải có: xya22+=, kéo theo b= xy. 0,25 2 Suy ra: a+=+2 b( x y) ;, xy ∈ + .Suy ra: ab+∈2. 0,25 2 Lại có: abxy−=−2( ) ⇒ ab −∈2. Do đó: ab++22 ab − là số nguyên. 0.25 Bài 2 (4,0 điểm).  xy44 1  += xy10 10 2 += 1). Cho abxy,,, là các số thực thỏa mãn:  a b ab+ . Chứng minh 55 5 .  22 ab(ab+ ) xy+=1 2). Giải phương trình: ( x+15) xx22 +−=+− 235 xx 45  3 xxy( +) + xy +=221 y( y +) 3). Giải hệ phương trình:  .  2x+ 3.3 y += 5 yx2 +− 6  Ý Đáp án Điểm  xy44 1  += xy10 10 2 += 1). Cho abxy,,, là các số thực thỏa mãn:  a b ab+ . Chứng minh 55 5 .  22 ab(ab+ ) xy+=1 Từ giả thiết, ta có: 222 x4 y 4 ( xy+ ) x4++2 xy 22 y 4 += = . 0,25 a b ab++ ab xy44 ⇒+(ab) ++( ab) =+ x42 xy 22 + y 4 ab ba 1. (1,0 điểm) ⇔+x4 x 44 ++ y y 44 =+ x2 xy 224 + y 0,25 ab Trang 2/7
6. Ý Đáp án Điểm ba22 ⇔+=x4 y 42 xy 22 ab ab ⇔+=b24 x a 24 y2 abx 22 y 2 ⇔−(bx22 ay ) =0 ⇔=bx22 ay x2 y 2 xy 22+ 1 Suy ra: = = = (*.) 0,25 a b ab++ ab Áp dụng kết quả (*) , ta có: 5 5 xx10 2 11 = = = 5  5 a a ab+ (ab+ ) 5 5 yy10 2 11 0,25 = = = 5  5 b b ab+ (ab+ ) xy10 10 112 Do đó: +=55 + = 5. ab55(ab+++) ( ab) ( ab) 2). Giải phương trình: ( x+15) xx22 +−=+− 235 xx 45 x ≤−1  Điều kiện: 3 (*) x ≥  5 Ta có: ( x+15) xx22 +−=+− 235 xx 45 0,25 22 ⇔+( x15) xx +−=+−+− 235 xx 2322 x (1) 2 Đặt t=5 xx +− 2 3, ( t ≥ 0) . 2 − + + −= Khi đó phương trình (1) trở thành: t( x1) tx 2 20 t = 2 ⇔  = − 0,25 2.(1,0 điểm) tx1 x =1 2  Với t=⇒2 5 xx + 2 −=⇔ 3 2 7 (t/m( *)) x = − 0,25  5 Với tx= −⇒1 5 x2 + 23 x − = x − 1  −+15 x = 2 xx2 + −=10  ⇔⇔ −−15 (vô nghiệm) x ≥1 x = 0,25  2 x ≥1 7 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm xx=1, = − . 5 Trang 3/7
7. Ý Đáp án Điểm  3 xxy( +) + xy +=2 y( 2 y + 1) (1) 3). Giải hệ phương trình:  .  2x+ 3.3 y += 5 yx2 +− 6 (2)  3 Điều kiện: x≥−; y ≥ 0; xy + ≥ 0. 0,25 2 3 Xét phương trình (1) : xxy( +) + xy +=221 y( y +) 22 ⇔x + xy + x += y22 y + y 0,25 ⇔x22 + xy −2 y +( x +− y2 y ) = 0 (3) Xét xy++20 y =⇔== xy 0 không thỏa mãn hệ phương trình. xy+−2 y Xét xy++20 y >, ta có:(32) ⇔+( x yxy)( −+) =0 3.(2,0 điểm) xy++2 y 0,25 1 ⇔− ++ = ( xyx)20 y xy++2 y xy=  ⇔ 1 xy++20 =  xy++2 y  0,25 1 Do xy+≥0; y > 0 nên xy++2 >0. xy++2 y Với xy= , thay vào phương trình ( 2) của hệ , được phương trình: 2x+ 3.3 x += 5 xx2 +− 6 ( 4) 0,25 3 Nhận xét VT(3) ≥ 0, ∀ x ≥− nên xx2 +−≥⇒≥6 0 x 2. 2 (4) ⇔2335352x +−33 x ++ x +− = xx2 +− 12 ( ) ( ) 3 2xx− 6 +−58 x+5. +3. 2 =−+( xx3)( 4) 2x ++ 33 33xx+5 + 2 ++ 54 ( ) 0,25  3 25x + 3 ⇔−xx3 + −+4 = 0 4 ( )2 ( ) ( ) 2x ++ 33 33+ + ++ ( xx5) 2 54 3 Vì x≥⇒223 xxxx +=++−≥+⇒ 5 2 5 23 x +≥ x + 5 253 x + 0,25 ⇒2xx ++> 333 +⇒ 5 <2 2x ++ 33 33 Lại có: 2 < <1, ∀≥x 2. ( 33xx+5) + 2 ++ 54 4 253 x + 3 Suy ra: + 2 <3 <xx + 4, ∀≥ 2. ++ 33 2x 33( xx+5) + 2 ++ 54 0,25 253 x + 3 ⇒ + 2 −( xx +4) < 0, ∀≥ 2. 2x ++ 33( 33xx+5) + 2 ++ 54 PT (4) ⇔ x = 3.Vậy hpt đã cho có nghiệm duy nhất ( xy;) = ( 3; 3) . Trang 4/7
8. Bài 3 (3,0 điểm): Cho tam giác ABC cân tại A( BAC < 900 ). Một đường tròn tiếp xúc với AB, AC lần lượt tại BC,. Trên cung BC nằm trong tam giác ABC lấy điểm M ( M khác BC, ). Gọi IHK,, lần lượt là hình chiếu của M trên BC,,. CA AB Gọi P là giao điểm của hai đường thẳng MB và IK , Q là giao điểm của hai đường thẳng MC và IH, T là giao điểm của hai đường thẳng HK và MI. a) Chứng minh TK. MH= MK TH b) Chứng minh PQ song song với BC. c) Gọi (O1 ) và (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác MPK và MQH, N là giao điểm thứ hai của (O1 ) và (O2 ) ( N khác M ). Chứng minh khi M di động trên cung nhỏ BC thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định. Ý Đáp án Điểm a. (1,5 điểm) Từ giả thiết có tứ giác BKMI nội tiếp suy ra KBI = KMT . 0,25 Tứ giác CHMI nội tiếp nên HCI = TMH . 0,25 Do tam giác ABC cân tại A nên ABC= ACB. 0,25 hay KMT = HMT . 0,25 Vì thế có MT là đường phân giác trong KMH . TH MH 0.25 Từ đó có: = . TK MK Suy ra: TH. MK= MH TK 0,25 Tứ giác CHMI nội tiếp suy ra MIH = MCH mà MCH = MBC (góc nội tiếp 0,25 = và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung) nên MIH MBC . Tương tự: MIK = MCB (*). 0,25 b. (1,5 điểm) Từ đó: PMQ += PIQ 1800 . Suy ra tứ giác MPIQ nội tiếp. 0,25 Do tứ giác MPIQ nội tiếp nên MQP= MIK; 0,25 Theo (*) MIK = MCB nên MQP = MCB . 0,25 Từ đó suy ra PQ song song với BC. 0,25 Trang 5/7
9. Ý Đáp án Điểm c.(1,0 điểm) Do PQ// BC nên MPQ = MBC , MBC = IKM (tứ giác BKMI nội tiếp). 0,25 Suy ra PKM = MPQ . Vì QK, nằm khác phía đối với MP nên PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O1 ) tại P. Tương tự PQ là tiếp tuyến của đường tròn (O2 ) tại Q. 0,25 Gọi E là giao điểm của đường thẳng MN và PQ. Chứng minh: EP22= EM.; EN EQ= EM . EN nên E là trung điểm của PQ. 0,25 Suy ra MN đi qua trung điểm E của PQ . Do PQ// BC nên MN đi qua trung điểm D của BC , D là điểm cố định. 0,25 Từ đó ta được đpcm. Bài 4: Cho xyzt,,, là các số thực không âm thỏa mãn xyzt2+ 2 ++= 222023. Tìm giá trị nhỏ nhất xyz t của biểu thức F = +++ 2023 2023++++yzt 2023 2023ztx 2023 2023txy 2023 2023 xyz Ý Đáp án Điểm xyz t Đặt abcd=;;; = = = . 2023 2023 2023 2023 abcd,,,≥ 0 Khi đó có  222 2 . abcd+++ =1 1 abcd 0,25 F = +++ . 2023 1++++bcd 1 acd 1 abd 1 abc Chỉ ra được: 2 1 (abcd+++) F ≥⋅ ⋅ +++ + 2023 a b c d4 abcd 4. (1,0điểm) Nhận xét: 0≤≤abcd ,,, 1, suy ra (1−abcd)( 1 −)( 1 −)( 1 −≥) 0. Hay Q=+12( ab + ac + ad + bc + bd + cd) −( a +++ b c d )4 − abcd 0,25 ≥(ab ++ ac ad ++ bc bd + cd) −5 abcd +( abc + abd + acd + bcd ) Trang 6/7
10. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 3 ab+++++≥ ac ad bc bd cd666 ( abcd) = abcd Ngoài ra abc+++≥ abd bcd acd 0 Suy ra Q≥6 abcd − 5 abcd = 5( abcd − abcd) + abcd ≥∀0, a , b , c , d ∈[ 0;1] . 2 0,25 Do abcd222+++ 2 =1 nên Q=( abcd +++) −( abcd +++ +40 abcd) ≥ suy ra 2 (abcd+++) ≥( abcd +++ +4 abcd) 1 Từ đó F ≥ . 2023 Dấu bằng xảy ra khi: ⇔===abc0; d = 1 và các hoán vị hay xyz= = =0, t = 2023 và các hoán vị. 0,25 1 Vậy GTNN của F bằng . 2023 HẾT Trang 7/7