Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Quang Ngãi (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán Lớp 9 - Năm học 2022-2023 - Sở GD&ĐT Quang Ngãi (Có hướng dẫn chấm)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2022 - 2023 Ngày thi 16/02/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1. (4,0 điểm) 1) Tìm số nguyên tố p sao cho p 10 và p 14 là các số nguyên tố. 2 2) Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình x xy 2x 3y 4 0. 3) Cho ba số a,b,c Z thoả mãn a b c 20222023. Chứng minh a3 b3 c3 chia hết cho 6. Bài 2. (4,0 điểm) 2 x 1 2 x x 0 1) Cho biểu thức: M 1 : , với . x 1 1 x x x x x 1 Rút gọn biểu thức M và tính giá trị của biểu thức M khi x 2023 2 2022 . 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 1. x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P . x 1 y 1 z 1 Bài 3. (4,0 điểm) 1) Giải phương trình x 3 2x x 1 2x x2 4x 3. 2 1 1 x x (1 ) 4 y y 2) Giải hệ phương trình 2 3 x x 1 x 2 3 4  y y y Bài 4. (7,0 điểm) 1) Một học sinh có tấm bìa hình vuông ABCD cạnh 20 cm. Em muốn cắt tấm bìa này thành bốn hình tam giác vuông bằng nhau và phần còn lại là hình vuông MNPQ thỏa mãn M , N, P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB, BC,CD, DA. Hãy xác định vị trí các điểm M , N, P,Q để diện tích hình vuông MNPQ là nhỏ nhất. 2) Cho đường tròn tâm O đường kính AB 2R. Điểm M di động trên đoạn OA ( M khác A ), vẽ đường tròn tâm K đường kính MB. Gọi I là trung điểm của đoạn MA, đường thẳng đi qua I vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C và D. Đường thẳng CB cắt đường tròn (K) tại P. a) Chứng minh rằng ba điểm P, M ,D thẳng hàng. b) Chứng minh rằng PI là tiếp tuyến của đường tròn (K). c) Tìm vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IPK lớn nhất. Bài 5. (1,0 điểm) Người ta làm một cái hộp hình vuông để đựng được 5 cái bánh hình tròn có đường kính 6cm, sao cho không có bất kì hai cái bánh nào được chồng lên nhau. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của cái hộp. HẾT Ghi chú: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm.
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 QUẢNG NGÃI NĂM HỌC 2022 - 2023 Ngày thi 16/02/2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Hướng dẫn chấm có 6 trang) HƯỚNG DẪN CHẤM Bài 1. (4,0 điểm) 1) Tìm số nguyên tố p sao cho p 10 và p 14 là các số nguyên tố. 2 2) Tìm tất cả các nghiệm nguyên x, y của phương trình x xy 2x 3y 4 0. 3) Cho ba số a,b,c Z thoả mãn a b c 20222023. Chứng minh a3 b3 c3 chia hết cho 6. Tóm tắt cách giải Điểm 1.1) * Với p = 2 thì p + 10 = 12 là hợp số. 0,25 điểm * Với p = 3 thì p + 10 = 13 và p + 14 = 17 là các số nguyên tố. 0,25 điểm * Với p > 3 mà p là số nguyên tố nên p có dạng: 0,25 điểm p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k N*) - Nếu p = 3k + 1 thì p + 14 = 3(k + 5) 3 là hợp số. 0,25 điểm - Nếu p = 3k + 2 thì p + 10 = 3(k + 4) 3 là hợp số. 0,25 điểm Vậy p = 3 thì p + 10 và p + 14 là các số nguyên tố. 0,25 điểm 1.2) Ta có : x2 xy 2x 3y 4 0. x2 3x xy 3y x 3 1 0,25 điểm x(x 3) y(x 3) x 3 1 0,25 điểm (x 3)(x y 1) 1 0,25 điểm Ta có các trường hợp sau: x 3 1 x 4 TH1: 0,25 điểm x y 1 1 y 4 x 3 1 x 2 0,25 điểm TH2: x y 1 1 y 4 0,25 điểm Vậy nghiệm nguyên của pt là (x;y) 4; 4 , 2; 4 1.3) Ta có: a3 b3 c3 a3 a b3 b c3 c a b c 0,25 điểm 3 a a a 1 a a 1 6 (tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6). 0,25 điểm Tương tự b3 b6, c3 c6và có 2022 6 a b c 20222023 6 0,25 điểm 3 3 3 0,25 điểm Vậy a b c 6
3. Bài 2. (4,0 điểm) 2 x 1 2 x x 0 1) Cho biểu thức: M 1 : , với . x 1 1 x x x x x 1 Rút gọn biểu thức M và tính giá trị của biểu thức M khi x 2023 2 2022 . 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn x y z 1. x y z Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P . x 1 y 1 z 1 Tóm tắt cách giải Điểm 2.1) Với điều kiện x 0 . 2 x 1 2 x Ta có: M 1 : x 1 1 x x x x x 1 x 2 x 1 1 2 x = : x 1 1 x (x 1)(1 x) 0,5 điểm 2 x 1 x 1 2 x 0,5 điểm = : x 1 (x 1)(1 x) 2 x 1 (x 1)(1 x) = 1 x. 0,5 điểm (x 1)( x 1)2 Khi x 2023 2 2022 ( 2022 1)2 0,25 điểm 2 Thì M 1 ( 2022 1) 2022 0,25 điểm 2.2) Ta có : x 1 y 1 z 1 1 ; 1 ; 1 x 1 x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 0,25 điểm x y z 1 1 1 P 3 (*) 0,25 điểm x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM với 3 số dương a,b,c; , , ta có a b c 1 1 1 1 0,25 điểm a b c 33 abc; 33 a b c abc Nhân từng vế hai bđt ta được 0,25 điểm 1 1 1 1 1 1 9 a b c 9 a b c a b c a b c Dấu “=” xảy ra khi a= b= c Áp dụng bđt trên vào (*) ta được 9 9 3 P 3 3 0,5 điểm x 1 y 1 z 1 4 4 Dấu “=” xảy ra khi x y z 1 1 0,25 điểm x y z x 1 y 1 z 1 3 3 1 0,25 điểm Vậy maxP= khi x y z 4 3
4. Bài 3. (4,0 điểm) 1) Giải phương trình x 3 2x x 1 2x x2 4x 3. 2 1 1 x x (1 ) 4 y y 2) Giải hệ phương trình 2 3 x x 1 x 2 3 4  y y y Tóm tắt cách giải Điểm 3.1) ĐK: x 1 0,25 điểm Ta có: x 3 2x x 1 2x x 3 x 1 x 3 2x x 1 1 0 0,5 điểm x 3 2x (1) 0,25 điểm x 1 1(2) 2x 0 x 0 x 1 0,5 điểm (1) 2 (TM) 4x x 3 0 x 1 4x 3 0 (2) x=0 (TM) 0,25 điểm Vậy S= 0;1 0,25 điểm 3.2) Đk: y 0 . 0,25 điểm 1 1 x2 x 4 y2 y 0,25 điểm Hệ tương đương với 3 1 x 1 x 3 (x ) 4  y y y 1 u x 0,25 điểm y Đặt , Ta được hệ phương trình: x v y u2 u 2v 4 u2 4u 4 0 u 2 0,5 điểm 3 2 u 2uv 4 u u 4 2v v 1. 1 x 2 u 2 y x 1 Với ta được (thoả mãn điều kiện) 0,5 điểm v 1 x y 1 1 y 0,25 điểm Vậy nghiệm của hệ phương trình là (1;1).
5. Bài 4. (7,0 điểm) 1) Một học sinh có tấm bìa hình vuông ABCD cạnh 20 cm. Em muốn cắt tấm bìa này thành bốn hình tam giác vuông bằng nhau và phần còn lại là hình vuông MNPQ thỏa mãn M , N, P,Q lần lượt thuộc các cạnh AB, BC,CD, DA. Hãy xác định vị trí các điểm M , N, P,Q để diện tích hình vuông MNPQ là nhỏ nhất. 2) Cho đường tròn tâm O đường kính AB 2R. Điểm M di động trên đoạn OA ( M khác A ), vẽ đường tròn tâm K đường kính MB. Gọi I là trung điểm của đoạn MA, đường thẳng đi qua I vuông góc với AB cắt đường tròn (O) tại C và D. Đường thẳng CB cắt đường tròn (K) tại P. a) Chứng minh rằng ba điểm P, M ,D thẳng hàng. b) Chứng minh rằng PI là tiếp tuyến của đường tròn (K). c) Tìm vị trí của M trên đoạn OA để diện tích tam giác IPK lớn nhất. Tóm tắt cách giải Điểm 0,5 điểm Lấy các điểm M AB; N BC; P CD;Q DA sao cho AM = BN = CP = DQ. 0,25 điểm BM = CN = DP = AQ BMN CNP DPQ AQM (c.g.c) 0,25 điểm MN NP PQ QM và N· MB M· QA N· MB Q· MA 900 N· MQ 900 0,25 điểm Do đó tứ giác MNPQ là hình vuông. Diện tích MNPQ nhỏ nhất khi diện tích các tam giác vuông là lớn nhất Đặt AM = x thì MB = AQ = 20 – x 1 S AQ.AM lớn nhất khi AQ.AM lớn nhất. 0,25 điểm AMQ 2 Mà AQ + AM = 20 (cm) không đổi nên AQ.AM lớn nhất khi AQ = AM 0,25 điểm hay x = 20 – x x = 10 Vậy chọn M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA ta 0,25 điểm được diện tích hình vuông MNPQ nhỏ nhất. D K I M O B A 0,5 điểm P C
6. a) Ta có: M· PB ·ACB 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 0,25 điểm Từ đó PM / / AC . (1) 0,25 điểm Đường kính AB  CD nên I là trung điểm của CD . 0,25 điểm Mà I là trung điểm của AM nên tứ giác ADMC là hình bình hành. 0,25 điểm Vậy DM / / AC .(2). 0,25 điểm Từ (1) và (2) suy ra P,M , D thẳng hàng. 0,25 điểm b) Ta có C· BA C· DP (cùng phụ với D· CB ). 0,25 điểm 0,25 điểm Do tam giác PKB cân tại K nên C· BA K· PB . Ta lại có C· DP I·PD ( do tam giác IPD cân tại I) 0,25 điểm Suy ra I·PD K· PB mà D· PB =1v, suy ra I·PK 900 nên IP  KP. 0,5 điểm Hay PI là tiếp tuyến của(K) . 0,25 điểm c) 1 1 1 0,25 điểm Vì KM MB và IM AM nên IK AB R 2 2 2 Áp dụng định lý Pytago có PI 2 PK 2 IK2 R 2 .(không đổi ) . 0,25 điểm Mặt khác 4S 2 PI 2.PK 2. ( S là diện tích của tam giác IKP ) . 0,25 điểm 1 Do đó max 4S 2 max S khi PI PK R 0,25 điểm 2 mà BM 2PK BM 2R . 0,25 điểm Vậy M cách B một khoảng bằng 2 R thì diện tích tam giác IPK lớn 0,25 điểm nhất. Bài 5. (1,0 điểm) Người ta làm một cái hộp hình vuông để đựng được 5 cái bánh hình tròn có đường kính 6cm , sao cho không có bất kì hai cái bánh nào được chồng lên nhau. Hãy tính cạnh nhỏ nhất của cái hộp. Tóm tắt cách giải Điểm Giả sử đáy cái hộp bánh là hình vuông ABCD Gọi O là tâm hình vuông ABCD cạnh là a>6 chứa 5 cái bánh hình tròn bán kính bằng 3cm sao cho không có bất kì hai cái bánh nào trong chúng có điểm trong chung. Suy ra tâm của năm hình tròn này nằm trong hoặc trên cạnh hình vuông MNPQ tâm O có cạnh là (a – 6) ( M OA; N OB ; MN//AB và MN cách AB một khoảng 3cm). Các đường trung bình của hình vuông MNPQ chia 0,25 điểm hình vuông này thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau.
7. Theo nguyên lí Dirichlet tồn tại một hình vuông nhỏ chứa ít nhất hai trong 0,25 điểm năm tâm của 5 cái bánh hình tròn nói trên, chẳng hạn đó là O1 và O2. Do 5cái bánh hình tròn này không có hai cái bánh nào có điểm trong chung nên O1O2 6 (1) Mặt khác O1O2 cũng nằm trong hoặc trên cạnh hình vuông nhỏ có cạnh là a 6 a 6 0,25 điểm nên O O OM . 2 (2) 2 1 2 2 a 6 (trong đó . 2 là đường chéo hình vuông nhỏ) 2 a 6 Từ (1), (2) suy ra . 2 6 a 6 2 6 . 2 Vậy cạnh nhỏ nhất của hộp bánh hình vuông ABCD là 6 2 6 (cm) 0,25 điểm Ghi chú : + Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải, học sinh giải cách khác mà đúng thì vẫn cho điểm tối đa. Tổ chấm thảo luận thống nhất biểu điểm chi tiết cho các tình huống làm bài của học sinh. + Điểm từng bài và toàn bài không làm tròn số.