Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Như Thanh (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi chọn học sinh giỏi Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Như Thanh (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GD&ĐT NHƯ THANH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIÓI CÁC MÔN VĂN HOÁ ĐỀ THI CHÍNH THỨC LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022 – 2023 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề Ngày thi: 12/01/2023 Câu 1: (4,0 điểm) 2x− 9 xx ++ 32 1 1. Cho biểu thức A = −− với xx≠≠2; 3. xx2 −+5 6 x − 23 − x Rút gọn A và tìm số nguyên x để A chia hết cho 2. 2. Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: a333++= b c3 abc và abc ≠ 0. ab222 bc ca Tính giá trị biểu thức P =++ abc222+− bca 22 +− 2 cab 2 +− 22 Câu 2: (4,0 điểm) 2xx 13 1. Giải phương trình: +=6 3x22− 5 x + 23 xx ++ 2 2. Phân tích đa thức sau thành phân tử: 2 24 22( xyz4++ 44) −( xyz 2 ++ 22) −( xyzxyz 2 ++ 22)( +++++) ( xyz) Câu 3: (4,0 điểm) 1. Tìm cặp số nguyên (x;y) thoả mãn phương trình: x32+=3 x xy ++ 25 y 2. Cho x;y là các số nguyên khác 0; 1; -1 và xy33+ chia hết cho xy. Chứng minh rằng x2 +1 không chia hết cho y. Câu 4: (6,0 điểm) Cho tứ giác ABCD. Gọi E, I lần lượt là trung điểm của AC và BC;M là điểm đối xứng với I qua E. 1. Chứng minh tứ giác ABIM là hình bình hành. 2. Gọi N, F lần lượt là trung điểm của AD và BD; K là điểm đối xứng với I qua F. Chứng minh: ba đường thẳng IN; MF; KE đồng quy. 3. Gọi O là giao hai đường chéo AC và BD. Kí hiệu SS;;12 S lần lượt là diện tích tứ giác 22 ABCD, tam giác AOB và tam giác COD. Biết S12= aS; = b với a, b là các số dương cho 2 trước. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để S=( ab + ) Câu 5: (2,0 điểm) Cho các số dương x, y thoả mãn 2x22+ 2 xy +≤ y 8. 24 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=+−2 xy − 3. xy HẾT
2. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 CẤP HUYỆN MÔN TOÁN Câu Ý Tóm tắt nội dung hướng dẫn Điểm 2x− 9 xx ++ 32 1 Cho biểu thức A = −− với xx≠≠2; 3. xx2 −+5 6 x − 23 − x +) Với xx≠≠2; 3 ta có: 2x− 9 xx ++ 32 1(29x−−+) ( xx 3)( −+ 3) ( 21 xx +)( − 2) 0,5 A = −− = xx2 −+5 6 x − 23 − x ( x−3)( x − 2) 29x−− x22 ++ 9232 xx − − = 0,25 ( xx−−32)( ) xx2 −−21( xx+−12)( ) x+ 1 = = = 0,5 (2,5 ( xx−−32)( ) ( xx −− 32)( ) x − 3 đ) x +1 Vậy với xx≠≠2; 3 thì A = 0,25 x − 3 x +1 +) Ta có: A = chia hết cho 2 thì A phải nhận giá trị nguyên. x − 3 0,25 Do x nguyên nên A nhận giá trị nguyên khi x + 1 chia hết cho x – 3. Mà x + 1 = x – 3 + 4 nên suy ra 4 chia hết cho x – 3 ⇒x −∈3 Ư(4) =±±±{ 1;2;4.} Suy ra x ∈−{4; 2;5;1;7; 1} 0,5 +) Đối chiếu với điều kiện xx≠≠2; 3 và thử lại ta thấy x ∈−{7; 1} là giá trị cần Câu 0,25 1 tìm. Cho các số thực a, b, c đôi một khác nhau thoả mãn: a333++= b c3 abc và abc ≠ 0. ab222 bc ca Tính giá trị biểu thức P =++ abc222+− bca 22 +− 2 cab 2 +− 22 +) Từ a333++= b c3 abc ⇒(a ++ b c)( a222 + b + c − ab − bc − ca) =0 Do a222++−−−> b c ab bc ca 0 với a, b, c đôi một khác nhau nên suy ra 0,5 2 a + b + c = 0. (1,5 Khi đó: ab2 ab2 ab2b 22 b b đ) = = = = = 222 2 2 a+− b c a ++−( bcbc)( ) a +−−( abc)( ) acb +−−−− bb 2 0,5 bc22 c ca a Tương tự: = ; = bca222+− −22 ca 2 + 2 − Công theo vế các đẳng thức trên ta được: ab222 bc ca b c a 1 P= + + = + + =−(abc ++) =0 0,5 abc222+− bca 22 +− 2 cab 2 +− 22 −−−222 2 Vậy P = 0. 2xx 13 Câu Giải phương trình: +=6 22 2 3x− 5 x + 23 xx ++ 2
3. 2 Điều kiện xác định: xa∉ ; 0,25 3 Với điều kiện trên PT đã cho tương đương với 2 2 22 23xx( ++ x 21335263) + xx( − x +) =( x ++ x 2352)( x − x +) 0,25 1 ⇔54x432 − 117 x + 105 xx − 78 += 24 0 (2đ) ⇔(21349360x −)( x −)( xx2 −+=) 0,75 13 ⇔=xx; = ( do 9xx2 − 3 += 60 vô nghiệm) 0,5 24 14 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S = ; 0,25 23 Phân tích đa thức sau thành phân tử: 4 44 2 222 2 22 24 22( xyz++) −( xyz ++) −( xyzxyz ++)( +++++) ( xyz) Đặt 2 24 B=22( xyz4 ++ 44) −( xyz 2 ++ 22) −( xyzxyz 2 ++ 22)( +++++) ( xyz) 4 44 2 22 0,5 2 Và xyzaxyzbxyzc++=,, ++= ++= 2 (2đ) Khi đó: B=22 ab −−2 bcc 24 += 2( ab − 2) +−( bc 2) Ta có: ab−=−22( xy 2 2 + yz 22 + zxbc 22) ,2 −=−++ 2 ( xyyzzx) 0,75 2 Vậy: B=−44( xy2 2 + yz 22 + zx 22) +( xyyzzx ++) 0,75 B=42( xy2 z + 2 xyz 22 + 2 x yz) = 8 xyz( x ++ y z) Tìm cặp số nguyên (x;y) thoả mãn phương trình: 32 x+=3 x xy ++ 25 y Phương trình xxxyy3+3 = 2 + 25 +⇔ yx( 23 + 2) = xx + 35 − xx3 +−35 x −5 0,5 ⇔=yx =+ (do x2 +>20) xx22++22 1 Với x nguyên, để y nguyên thì x – 5 chia hết cho x2 + 2 (2đ) 0,5 Suy ra (x + 5)(x – 5) chia hết cho x2 +>20 Suy ra 27 chia hết cho x2 +>20 do đó x2 +>20 chỉ có thể là 3; 9; 27. 0,5 Câu 3 Từ đó ta có x ∈−{1; 1; 5; − 5} Thay lần lượt các giá trị của x vào đề bài ta tìm được các cặp số nguyên (x; y) 0,5 thoả mãn đề bài là (-1; -3); (5; 5). Cho x;y là các số nguyên khác 0; 1; -1 và xy33+ chia hết cho xy. Chứng minh rằng x2 +1 không chia hết cho y. 2 xy33+ x 2 y 2 Vì xy33+ chia hết cho xy nên = + là số nguyên. (2đ) xy y x 0,25 x22 ay m Đặt: =; = với (ab,) = 1;( mn ,) =>> 1; b 0; n 0 y bx n
4. am Theo giả thiết ta có + là số nguyên nê bn 0,5 an+ bm an+ bm b  an  b n b ∈⇒  ⇒  ⇒ ⇒=nb (1) bn an+ bm n  bm  n b n 22 am x y Mặt khác: = =xy ∈ nên am n⇒ a n (vì (mn,1) = ) (2) 0,5 bn y x Từ (1) và (2) suy ra ab⇒ x2 y 0,25 Do đó: x2 +1 y ⇔ 1 yy ⇔=± 1. Không xảy ra do y ≠±1 0,5 Vậy x2 +1 không chia hết cho y. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, I lần lượt là trung điểm của AC và BC;M là điểm đối xứng với I qua E. 1. Chứng minh tứ giác ABIM là hình bình hành. 2. Gọi N, F lần lượt là trung điểm của AD và BD; K là điểm đối xứng với I qua F. Chứng minh: ba đường thẳng IN; MF; KE đồng quy. 3. Gọi O là giao hai đường chéo AC và BD. Kí hiệu SS;;12 S lần lượt là diện tích tứ giác ABCD, tam giác AOB và tam giác COD. 22 Biết S12= aS; = b với a, b là các số dương cho trước. Tìm điều kiện của tứ 2 giác ABCD để S=( ab + ) Câu 4 Vì M đối xứng với I qua E nên E là trung điểm của MI Tứ giác AICM có E là trung điểm của hai đường chéo AC và MI nên AICM là 0,75 hình bình hành. 1 (2đ) ⇒ AM // IC và AM = IC. 0,75 Mà IC = BI và B, I, C thẳng hàng suy ra AM // BI và AM = BI. Tứ giác AMIB có AM // BI và AM = BI nên là hình bình hành 0,5 Tương tự câu a, tứ giác BKDI là hình bình hành 0,5 2 ⇒ KD // BI; KD = BI mà AM // BI; AM = BI ( do ABMI là hình bình hành) (2đ) 0,75 ⇒ KD // AM;KD=AM⇒ AMKD là hình bình hành⇒ N là trung điểm của MK
5. Xét ∆MKI có N, F, E lần lượt là trung điểm của MK; KI; MI Suy ra IN; MF, KE là ba đường trung tuyến của tam giác 0,75 ⇒ IN; MF; KE đồng quy (ĐPCM) 3 (2đ) SSAOB OB BOC 22 Ta có ==⇒=SAOD S BOC ab 0,5 SAOD OD SCOD 22 Áp dụng BĐT: ( x+≥ y) 44 xy ⇒( S + S) ≥ a22 b AOD BOC 0,5 ⇒+≥SAOD S BOC 2. ab Do a, b>0 22 2 Ta có SABCD= S AOB + S AOD + S BOC + S COD ≥++ a b2 ab =+( a b) không đổi 0,5 Dấu “=” xảy ra khi ⇔=⇔SSAOD BOC AB // CD hay ABCD là hình thang 2 0,5 Vậy: SABCD = (a + b) khi tứ giác ABCD là hình với hai đáy là: AB // CD Cho các số dương x, y thoả mãn 2x22+ 2 xy +≤ y 8. 24 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=+−2 xy − 3. xy Từ giả thiết 2x22222++≤⇔+++−+≤ 2 xy y 8 x 2 xy y x 2 x 19 22 2 0,5 Câu ⇔+( xy) +−( x19) ≤, suy ra ( xy+) ≤⇒ 0 nên ta có: 2 4 24 0,5 P= +2 x + +−−≥ y 442.22.4 x y x + y −( xy +) x y xy Suy ra P≥−8 4( xy +) ≥− 8 4.3 =− 4 (do 03<+≤xy ). 0,5 Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng – 4 khi x = 1 và y = 2. 0,5 Chú ý: - Bài hình nếu HS không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không tính điểm. - HS nếu làm theo cách khác mà vẫn đúng thì vẫn chấm điểm tối đa bài đó. - Điểm chấm chi tiết đến 0,25 đ.