Kỳ thi Olympic 27 tháng 4 Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Phú Mỹ (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi Olympic 27 tháng 4 Toán Lớp 8 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Phú Mỹ (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 27/4 NĂM HỌC 2022-2023 THỊ XÃ PHÚ MỸ MÔN: TOÁN LỚP 8 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi: 21 tháng 02 năm 2023 Bài 1 (5,0 điểm): 1 1 a) Cho x 3 . Tính giá trị của biểu thức A x2 . x x2 b) Phân tích đa thức x3 x2 4 thành nhân tử. c) Xác định các số hữu tỷ p và q để đa thức x3 px q chia hết cho đa thức x2 2x 3 1 x3 1 x2 Bài 2 (2,5 điểm): Cho biểu thức C x : 2 3 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức C. 2 2 1 b) Tính giá trị của biểu thức C khi x 3 9 Bài 3 (3,0 điểm): x 2022 x 2021 x 2020 x 1 x a) Giải phương trình:  2023 . 1 2 3 2022 2023 b) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn đẳng thức 2xy x y 3. Bài 4 (3,0 điểm): a) Chứng minh rằng n(n2 11) chia hết cho 6 với mọi n Z . b) Trong 43 học sinh làm bài kiểm tra, không có học sinh nào bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh đạt điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên). c) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x y 4 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 x3 y3 3 x2 y2 10xy . Bài 5 (5,0 điểm): Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và ACFG. Vẽ hình bình hành EAGK. Chứng minh rằng: a) AK = BC. b) AK  BC. c) Các đường thẳng KA, BF, CD đồng qui. Bài 6 (1,5 điểm): Trên đường thẳng cho các điểm A, B, C, D xếp theo thứ tự đó và AB = CD. Cho M là điểm bất kì không nằm trên đường thẳng AB. Chứng minh rằng: MA + MD > MB + MC. ___Hết___ Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh Số báo danh Chữ ký của giám thị 1 1
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI OLYMPIC 27/4 NĂM HỌC 2022-2023 THỊ XÃ PHÚ MỸ MÔN: TOÁN LỚP 8 Ngày thi: 21 tháng 02 năm 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 8 I. Hướng dẫn chung: 1) Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với các ý cơ bản học sinh phải trình bày, nếu học sinh giải theo cách khác mà đúng và đủ các bước thì vẫn cho điểm tối đa. 2) Điểm toàn bài là tổng điểm của các ý, các câu và không làm tròn. II. Đáp án và thang điểm: Bài Câu Nội dung trình bày Điểm Bài 1 (5,0 điểm): 1 1 a) Cho x 3 . Tính giá trị của biểu thức A x2 x x2 b) Phân tích đa thức x3 x2 4 thành nhân tử. c) Xác định các số hữu tỷ p và q để đa thức x3 px q chia hết cho đa thức x2 2x 3 a) 2 2 1 1 1 2 A x 2 x 2 x  3 2 7 0,5x3 (1.5đ) x x x x3 x2 4 x3 2x2 x2 2x 2x 4 1,0 b) (2.0đ) 2 2 x x 2 x(x 2) 2(x 2) x 2 x x 2 0,5x2 x2 2x 3 (x 3)(x 1) 0,5 1. Gọi thương khi chia x3 px q cho x2 2x 3 là Q(x). Do dư 0 nên ta (5.0đ) có: 0,25 x3 px q (x2 2x 3).Q(x) c) Hay x3 px q (x 3)(x 1).Q(x) (1.5đ) Vì đẳng thức đúng với mọi x nên lần lượt cho x 3, x 1 ta được: 27 3p q 0 3p q 27 p 7 0,75 1 p q 0 p q 1 q 6 Vậy với p= -7; q= -6 thì x3 px q chia hết cho x2 2x 3 1 x3 1 x2 Bài 2 (2,5 điểm): Cho biểu thức C x : 2 3 1 x 1 x x x 2
3. a) Rút gọn biểu thức C. 2 2 1 b) Tính giá trị của biểu thức C khi x 3 9 ĐKXĐ: x 1 0,25 1 x3 1 x2 C x : 2 3 1 x 1 x x x (1 x)(1 x x2 ) (1 x)(1 x) a) x : 2 1 x (1 x)(1 x x ) x(1 x) 1.25 (1.5đ) 2 (1 x)(1 x) 1 x : 2 (1 x)(1 2x x ) 1 1 x2 : 1 x 1 x2 (1 x) 2. (2.5đ) 2 x 1(KTMÐK) 2 1 2 1 x x 1 Ta có 3 9 3 3 x (TMÐK) 0,25 3 1 b) Với x , ta có: 3 (1.0đ) 2 0,25x2 1 1 10 2 20 C 1 1 . 3 3 9 3 27 2 2 1 20 Vậy khi x thì C 0,25 3 9 27 Bài 3 (3,0 điểm): a) Giải phương trình: x 2022 x 2021 x 2020 x 1 x  2023 1 2 3 2022 2023 b) Tìm các cặp số nguyên dương (x; y) thỏa mãn đẳng thức 2xy x y 3. x 2022 x 2021 x 2020 x 1 x  2023 1 2 3 2022 2023 0,5 x 2022 x 2021 x 1 x 1 1  1 1 0 Bài 3 a) 1 2 2022 2023 (3.0đ) (1,5đ) x 2023 x 2023 x 2023 x 2023  0 1 2 2022 2023 0,5 1 1 1 x 2023  1  0 2 2022 2023 3
4. 1 1 1 mà 1  0 2 2022 2023 x 2023 0 0,25x2 x 2023 Vậy tập hợp nghiệm của phương trình là S {2023} 2xy x y 3 0,25 4xy 2x 2y 6 2x(2y 1) (2y 1) 5 0,25x2 (2y 1).(2x 1) 5 b) 2x 1 5 (1,5đ)  (Vì x nguyên dương nên 2x + 1 ≥ 3) 2y 1 1 0,25x2 x 2 y 1 Vậy cặp số nguyên dương (x; y) = (2; 1) 0,25 Bài 4 (3,0 điểm): a) Chứng minh rằng n(n2 11) chia hết cho 6 với mọi n Z . b) Trong 43 học sinh làm bài kiểm tra, không có học sinh nào bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh đạt điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên). c) Cho x, y là hai số thực thỏa mãn x y 4 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 2 x3 y3 3 x2 y2 10xy . Ta có n n2 11 n3 11n n3 n 12n n n 1 n 1 12n 0,5 a) Vì n n 1 n 1 6 và 12n6 0,25 (1.0đ) Nên n n 1 n 1 12n6 hay n(n2 11)6 0,25 4. (3.0đ) Vì có 43 học sinh làm bài kiểm tra, không có học sinh nào bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh đạt điểm 10. 0,5 Nên có 41 học sinh phân thành 8 loại điểm (từ 2 đến 9) b) Giả sử trong 8 loại điểm đều là điểm của không quá 5 học sinh thì lớp (1.0đ) có: 0,25 5.8 = 40 học sinh, ít hơn 1 học sinh so với 41. Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau 0,25 4
5. P 2 x3 y3 3 x2 y2 10xy 2 x y 3 6xy x y 3 x y 2 6xy 10xy 2. 4 3 6xy. 4 3 4 2 4xy 0,5 c) 28xy 80 28x. 4 x 80 (1.0đ) 28. x2 4x 4 32 28. x 2 2 32 Vì P 28. x 2 2 32 32 0,5 Nên GTLN của P là 32, đạt được khi x y 2 Bài 5 (5,0 điểm): Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các hình vuông ABDE và ACFG. Vẽ hình bình hành EAGK. Chứng minh rằng: a) AK = BC b) AK  BC c) Các đường thẳng KA, BF, CD đồng qui. HV 5. (5,0đ) Chứng minh: AK = BC Xét AEK và BAC, có: a) EA = AB (gt); EK = AC (=AG) 0,75 (2.0đ) ·AEK B· AC (vì cùng bù với E· AG )  AEK = BAC (c.g.c) 0,75  AK = BC (hai cạnh tương ứng) (đpcm) 0,5 b) Chứng minh: AK  BC (2.0đ) Gọi H là giao điểm của AK và BC 0,75 5
6. Ta có E· KA K· AG (so le trong, EK // AG) và E· KA ·ACH (vì AEK = BAC)  K· AG ·ACH Mặt khác: K· AG H· AC 900 ·ACH H· AC 900 0.75 Vì AHC, có ·ACH H· AC 900 (cmt) 0,5  AHC vuông tại H  AH  BC hay AK  BC (đpcm) Chứng minh: Các đường KA, BF, CD đồng qui Gọi I là giao điểm của CK và BF Chứng minh: AKC = CBF (c.g.c)  ·ACK B· FC mà ·ACK K· CF 900 0,5 c)  B· FC K· CF 900 (1.0đ) ICF vuông tại I  BF  KC Chứng minh tương tự: CD  KB 0,25 Vì KA, BF, CD là ba đường thẳng chứa ba cao của KBC nên ba 0,25 đường thẳng này đồng qui. (đpcm) Bài 6 (1,5 điểm): Trên đường thẳng cho các điểm A, B, C, D xếp theo thứ tự đó và AB = CD. Cho M là điểm bất kì không nằm trên đường thẳng AB. Chứng minh rằng: MA + MD > MB + MC. HV 6. (1.5đ) Chứng minh: MA + MD > MB + MC Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng BC. 0,5 Ta có AB = CD (gt)  I là trung điểm của đoạn thẳng AD Gọi N là điểm đối xứng với điểm M qua I 0,5  NA = MD, NB = MC. 6
7.  MA + MD = MA + NA = MA + EA + EN mà MEA có MA + EA > ME (BĐT tam giác) và ME = MB + BE 0,25  MA + MD > MB + BE + EN mà BEN có BE + EN > NB (BĐT tam giác)  MA + MD > MB + NB 0,25  MA + MD > MB + MC (đpcm) 7