Kỳ thi Olympic Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thanh Oai (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Kỳ thi Olympic Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Thanh Oai (Có hướng dẫn chấm)

1. PHÒNG GDĐT THANH OAI KỲ THI OLYMPIC LỚP 6, 7, 8 Năm học 2022 - 2023 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: Toán – Lớp: 7 Ngày thi: 12 tháng 4 năm 2022 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 02 trang) PHẦN I. TRẮC NGHIỆM (5điểm): Chọn 01 đáp án đúng nhất cho mỗi câu hỏi. 7 24 1. Kết quả của phép tính 1 1 là: 9 25 A. 0 B. 2 C. 23 D. 409 15 225 2. Tổng các giá trị của x thỏa mãn (x 2)( x2 1)( x 2 4) = 0 là: A. 0 B. 2 C. -2 D. 4 3. Một tam giác cân có số đo góc ở đáy bằng 50 độ thì số đo góc ở đỉnh là: A. 800 B. 500 C. 1000 D. 1300 4. Tính giá trị biểu thức B = 5x2−2x−18 tại |x| = 4 là A. 54 B. 70 C. 45 hoặc 70 D. 54 hoặc 70 5. Thu gọn biểu thức sau −12u2(uv)2−(−11u4).(2v)2 ta được đơn thức có phần hệ số là: A. −32 B. −56 C. 10 D. 32 6. Cho ΔABC có cạnh AB = 1cm và cạnh BC = 4cm. Tính độ dài cạnh AC biết độ dài cạnh AC là một số nguyên. A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 4cm 7. Đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng y theo hệ số tỉ lệ là 1 thì đại lượng y tỉ lệ 2 thuận với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ là: A. 2 B. -2 C. 1 D. 1 2 2 8. Cho biết 20 công nhân làm xong một đoạn đường hết 60 ngày. Hỏi 15 công nhân làm đoạn đường đó thì hết bao nhiêu ngày? (Giả sử năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau) A. 45 B. 80 C. 90 D. 100 9. Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn: x y xy 2 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 x 1 y 2 z 3 10. Cho các số x,, y z biết và 2x 3 y z 50. Khi đó x y z có 2 3 4 giá trị là: A. 52 B. 51 C. 53 D. 54
2. PHẦN II. TỰ LUẬN (15 điểm) Câu 1. (5 điểm) 6x 8 3 1. Cho biểu thức: A = với x 2x 3 2 1 a. Tính giá trị của biểu thức A biết x - 2 = -1 3 b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 2 2. Tìm x, y biết: 36 y2 8 x 2023 Câu 2. (4 điểm) ab b 1. Cho các số có hai chữ số ab; bc thỏa mãn c 0 . Chứng minh rằng bc c a2 b 2 a b2 c 2 c 2. Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết p 2 cũng là số nguyên tố. Chứng minh rằng p 1 chia hết cho 6 Câu 3. (5 điểm) Cho ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA, lấy điểm D sao cho AM= MD 1 1) Chứng minh: AB//CD và AM = BC 2 2) Gọi I và K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ B và C xuống AD, N là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AC. a) Chứng minh: IM = MK b) Chứng minh: KN < MC b) ABC thỏa mãn điều kiện gì để AI = IM = MK = KD? Câu 4. (1 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dương n để: A = 2n + 3n + 4n là một số chính phương. - Hết - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Học sinh không sử dụng tài liệu. Họ và tên: . Số báo danh: Học sinh Trường THCS:
3. HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 7 PHẦN I. TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (5đ) Mỗi câu trả lời đúng x 0,5đ. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A A D D D B B C B PHẦN II. TỰ LUẬN (15đ) Câu Nội dung Điểm 1.1a 1 1 0,5 x - 2 = -1 => x = 1 3 3 2 4 => x = hoặc x = 0,5 3 3 2 3 Với x = thỏa mãn điều kiện x thay vào biểu thức A tính 0,5 2 3 2 được A = 12/5 4 3 Với x = thỏa mãn điều kiện x thay vào biểu thức A tính 3 2 0,5 được A = 48/17 1.1b 6x 8 3(2x 3) 1 1 A= = = 3 + 2x 3 2x 3 2x 3 0,5 1 A lớn nhất khi lớn nhất 2x 3 1 lớn nhất khi (2x – 3) là số nguyên dương nhỏ nhất 1 2x 3 Vậy 2x – 3 = 1 => x= 2 0,5 Thay x=2 vào biểu thức A = 4 1.2 36 y2 8 x 2023 2 y 2 8. x 2023 2 36 0,5 x 2023 2 1 0,5 x 2023 2 0 2 x 2023 4 2 Với x 2023 1 y2 28( ktm ) 2 2 x 2025 2 Với x 2023 4 y 4 y 2 0,5 y 2021 2 2 Với x 2023 0 x 2023 y 36 y 6 0,5 Vậy x; y 2025;2 ; 2021;2 ; 2023;6  2.1 ab b Với các số có hai chữ số ab; bc thỏa mãn c 0 . Ta có: bc c
4. ab10 a b 10 a b b 0,5 . bc 10b c 10 b c c Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được: 10a b b 10 a b b 10 a a . 0,5 10b c c 10 b c c 10 b b 2 2 2 a b a b a b a 0,5 Từ 2 2 b c b c b c c Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau được: a2 b 2 a a 2 b 2 0,5 b2 c 2 c b 2 c 2 2.2 Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p lẻ, do đó p + 1 chẵn => (p + 1) chia hết cho 2 (1) 0,5 Cũng do p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p = 3k + 1 hoặc p = 3k 0,5 + 2 (k thuộc N) Nếu p = 3k + 1 thì p +2 = 3k +3 = 3(k + 1) chia hết cho 3 2 => p + 2 không là số nguyên tố nên p = 3k + 1 không xảy ra. 0,5 Do đó p = 3k + 2 => p + 1 = 3k + 3 = 3(k +1) chia hết cho 3 (2). Vì (2;3) = 1 nên từ (1) và (2) ta có (p + 1) chia hết cho 6 0,5 3 B D K M I A N C 1. Chứng minh ∆AMB=∆DMC (c-g-c) suy ra góc MAB = góc MDC mà 2 góc ở vị trí so le trong nên AB//CD 1 5 Do AB⊥AC, AB//CD nên AC⊥CD, từ đó ∆ABC=∆CDA (c-g-c) 1 1 suy ra AD = BC nên AM = BC 2 2.a) Chứng minh IBM KCN IM MK 1 b, Chỉ ra được AM MC AMC cân tại M => MN là đường cao, trung tuyến của AMC Nên N là trung điểm của AC AKC vuông tại K, có KN là đường trung tuyến 0,5
5. 1 => KN AC 0,5 2 Xét tam giác vuông MNC có NC AI = KD, vậy để 0,5 AI = IM = MK = KD thì cần AI = IM Mặt khác BI AM => Khi đó BI là đường trung tuyến, là đường cao ABM => ABM cân tại B (1) Mà ABC vuông tại A, trung tuyến AM nên ABM cân tại M (2) 0,5 Từ (1) và (2) => ABM là tam giác đều=> ABM 600 Vậy ABC cần điều kiện ABM 600 4 Ta xét các trường hợp sau: TH1: Nếu n = 1 thì B = 9 thỏa mãn 0,25 TH2: xét n > 1 thì 2n > 2 nên 2n + 4n chia hết cho 4. Mà 3n thì chia cho 4 có số dư là 1 hay (-1) tương ứng với n chẵn hoặc lẻ. Mà một số chính phương chia cho 4 thì dư 0 hoặc 1 0,25 Do (3,4) = 1 nên để A là số chính phương thì 3n phải chia 4 dư 1 1 Nên n là số chẵn. Với n là số chẵn thì n= 2k ( k là số nguyên dương) 0,25 Khi đó: 2n = 22k =4k sẽ chia cho 3 dư 1 Lại có 3n chia hết cho 3 Nên: A = 2n + 3n + 4n chia cho 4 dư 2 ( Vô lí) Vì A là số chính phương thì chia cho 3 phải dư 0 hoặc 1 0,25 Vậy n = 1 Thì A là số chính phương (Học sinh có cách giải khác, đúng vẫn cho điểm tối đa).