Tổng hợp các đề thi học sinh giỏi Lớp 9 môn Toán năm 2011-2012

Nội dung text: Tổng hợp các đề thi học sinh giỏi Lớp 9 môn Toán năm 2011-2012

1. Người tổng hợp:Nguyễn Huy Thịnh TỔNG HỢP CÁC ĐỀ THI HSG LỚP 9 NĂM 2011-2012
2. Lời nói đầu: Chào tất cả các bạn! Mình là Nguyễn Huy Thịnh học sinh lớp 8/1 Trường THCS Tân Xuân.Nay mình quyết định tổng hợp lại tất cả các đề thi HSG lớp 9 (năm 2011-2012) để cho các bạn ôn thi tuyển sinh lớp 10 và chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi lớp 9 của tỉnh mình.Sau đây là hơn 30 đề thi học sinh giỏi lớp 9 được mình tổng hợp trên VMF (diễn đàn toán học).Mình mong nó sẽ giúp các bạn phần nào về ôn tập HSG Người biên soạn Nguyễn Huy Thịnh
3. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬN ĐỐNG ĐA 2011-2012 MÔN: TOÁN NGÀY THI: 10 tháng 12 năm 2012 THỜI GIAN: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: (4,0 điểm) Rút gọn biểu thức: 2 4 x2 2 x33 2 x A 4 4 x2 với 22 x . Bài 2: (6,0 điểm) 1) Cho trước số hữu tỷ m sao cho 3 m là số vô tỷ. Tìm các số hữu tỷ a,b,c để:
4. a32 m b3 m c 0 2) Tìm số tự nhiên có 4 chữ số (viết trong hệ thập phân) sao cho 2 điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: (i) Mỗi chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước. (ii) Tổng p+q lấy giá trị nhỏ nhất, trong đó p là tỉ số của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị còn q là tỉ số chữ số hàng nghìn và chữ số hàng trăm. Bài 3: (4,0 điểm) 1) Tìm tất cả các số nguyên x thỏa mãn: |x 10| | x 11| | x 101| | x 990| | x 1000| 2012 2) Chứng minh rằng có thể chia một tam giác vuông có độ dài 3 cạnh là các số nguyên thành 6 phần diện tích bằng nhau và diện tích mỗi phần là số nguyên. Bài 4: (4,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, trung tuyến AO có độ dài bằng độ dài cạnh BC. Đường tròn đường kính BC cắt AB,AC thứ tự tại M,N (M khác B, N khác C). Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng AO lần lượt tại I,K. Chứng minh tứ giác BOIM nội tiếp được một đường tròn và tứ giác BICK là hình bình hành. 2) Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi P,Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB,AC. Xác định vị trí M để PQ có độ dài nhỏ nhất. Bài 5: (2,0 điểm) Trong một hình vuông cạnh bằng 7, lấy 51 điểm. Chứng minh rằng có 3 điểm trong 51 điểm đã cho cùng nằm trong 1 hình tròn có bán kính bằng 1. Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 Năm học 2011-2012 ___ Môn thi:Toán Thời gian làm bài: 150 phút (không tính thời gian giao đề) ___
5. Bài 1. (2,0 điểm) 2xx 1 1 2 1 a) Cho biểu thức: A .1 với xx 0; 1. Rút gọn biểu thức A x 2 x 1 x 1 x và tìm các giá trị nguyên của x để A là số nguyên. b) Cho biểu thức: Mxxxxxxxxx 1 2 1 2 1 21 xxx 2 Với x là số tự nhiên khác 0 . Chứng minh M cũng là số tự nhiên. Bài 2. (2,0 điểm) a) Tìm x biết: xx 24 16 10 x xy y 9 b) Giải hệ phương trình: y yz z 4 z zx x 1 Bài 3. (2,0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho tứ giác ABCD có ABC(0;1); (0;4); (6;4) và D(4;1) . Gọi d là đường thẳng cắt các đoạn thẳng AD,BC lần lượt tại M,N sao cho đường thẳng d chia tứ giác ABCD thành 2 phần có diện tích bằng nhau, biết phương trình đường thẳng d có dạng 5m y mx (với m 0 ). 3 a) Tìm tọa độ của M và N b)Tìm toạn độ điểm Q trên d sao cho khoảng cách từ Q đến trục Ox bằng 2 lần khoảng cách từ Q đến Oy. Bài 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O, gọi H là trung điểm BC. Trên các cạnh
6. AB,AC lần lượt lấy hai điểm D,E sao cho DHE 60o . Lấy M bất kì trên cung nhỏ AB. a) Chứng minh ba đường phân giác của ba góc BAC,, BDE DEC đồng quy. 4 b) Cho AB có độ dài 1 đơn vị. Chứng minh: MA MB 3 Bài 5. (1,0 điểm) Cho tam giác ABC không cân, vẽ phân giác trong Ax của góc A. Vẽ đường thẳng d là trung trực của đoạn thẳng BC. Gọi E là giao của Ax và d. Chứng minh E nằm ngoài tam giác ABC. Bài 6. (1,0 điểm) Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa điều kiện xyz=1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 x3 y 3 1 y 3 z 3 1 z 3 x 3 *Lưu ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay khi làm bài thi. HẾT Đề thi HSG vòng 2 quận Hà Đông - Hà Nội Bài 1: a)Giải pt: 2(x2 x 1) 2 7( x 1) 2 13( x 3 1) b)Cho pt : mx2 2( m 1) x m 3 0
7. 22 Tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt xx12; mà xx12 =3 Bài 2: a)Tìm x,y,z thuộc N* sao cho xyz-x-y-z=5 1 2x (1 ) 3 xy b)Giải hệ: 1 2y (1 ) 1 xy Bài 3: Cho abc=2012, a,b,c >0 1 1 1 Tìm max: a3 b 3 abc b 3 c 3 abc c 3 a 3 abc Bài 4: Cho đường tròn (O) .Dây BC cố định , A chuyển động trên đường tròn sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn.Kẻ các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H a) CMR: cos222 A cos B cos C 1 b)Tìm vị trí điểm A để diện tích tam giác AEH max c)CMR: đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF đi qua 1 điểm cố định d) CM: BC2 AD 24 EF 2 Đề thi HSG toán 9 tỉnh Yên Bái năm học 2011-2012
8. Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao để) Câu 1: Tìm hai số x,y nguyên thoả mãn x2 xy 7 x 2 y 15 Câu 2: Giải hệ phương trình: xy2 22 xy 1 1 3 1 (xy )(1 ) 6 xy Câu 3: Cho hình thang ABCD(AB//CD). Trên đáy lớn AB lấy điểm M không trùng với các đỉnh. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và BD, các đường thẳng này cắt hai cạch BC, AD lần lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD lần lượt tại I và J. Gọi H là trung điểm của IJ. a. Chứng minh rằng: FH=HE b. Cho AB=2CD. Chứng minh rằng: EJ=JI=IF Câu 4: Cho đường tròn O và một dây cung $AB(O\not\in AB)$. Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại C. Kẻ dây cung CD của đường tròn đường kính $OC(D\neq A,B)$. Dây cung CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E (E nằm giữa C và D). a. Chứng minh: BED DAE b. Chứng minh: DE2 DA. DB Câu 5: 1 1 1 1 Cho S ,( k ;1 k 2012) 1.2012 2.2011kk (2012 1) 2012.1 4024 So sánh S và 2013 Câu 6: Cho $x,y,z$ là ba số dương thoả mãn xyz=1. x2 y 2 z 2 3 Chứng minh rằng: y 1 z 1 x 1 2 ĐỀ THI HSG TOÁN TỈNH HÀ TĨNH NĂM 2011-2012
9. Người tổng hợp:Nguyễn Huy Thịnh TỔNG HỢP CÁC ĐỀ THI HSG LỚP 9 NĂM 2011-2012