Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề học sinh giỏi Lớp 8

Nội dung text: Tuyển tập các bài toán Hình học trong đề học sinh giỏi Lớp 8

1. TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ HSG LỚP 8 Câu 1. Cho hình chữ nhật ABCD.Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì ? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lân AB, AD. Chứng minh EF / /AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P PD 9 d) Giả sử CP  BD và CP 2,4cm, .Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD. PB 16 Lời giải D C P M F I E A B a) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD PO là đường trung bình tam giác CAM AM / /PO AMDB là hình thang b) Do AM / /BD nên O· BA M· AE (đồng vị) Tam giác AOB cân ở O nên O· BA O· AB Gọi I là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì AIE cân ở I nên I·AE I·EA Từ chứng minh trên : có F· EA O· AB, do đó: EF / /AC (1) Mặt khác IP là đường trung bình của MAC nên IP / /AC (2) Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E,F,P thẳng hàng MF AD c) MAF : DBA(g.g) Không đổi FA AB PD 9 PD PB d) Nếu k PD 9k,PB 16k PB 16 9 16
2. CP PB Nếu CP  BD thì CBD : DCP(g.g) PD CP 2 Do đó: CP2 PB.PD hay 2,4 9.16k2 k 0,2 PD 9k 1,8(cm); PB 16k 3,2(cm) BD 5(cm) Chứng minh BC2 BP.BD 16 , do đó: BC 4cm, CD 3cm. Câu 2. Cho hình bình hành ABCD AC BD .Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B,Dlên AC; H, K lần lượt là hình chiếu của C trên AB và AC a) Tứ giác DFBE là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh: CHK : BCA c) Chứng minh: AC2 AB.AH AD.AK Lời giải H A B 1 F 1 E 2 D C K a) DF / /BE (vì cùng vuông góc với AC) AFD CEB (Cạnh huyền – góc nhọn) DF BE DFBE là hình bình hành b) BC / /AK B· CK 900 A· BC 900 B· CH (góc ngoài của CHB) H· CK 900 B· CH A· BC H· CK Có: C· KD A· CD D· AC (góc ngoài của DKC) H· BC B· AC B· CA mà B· CA D· AC; B· AC D· CA CD CK AB CK CKD : CBH CHK : BCA c.g.c BC CH BC CH
3. AB AE c) AEB : AHC AE.AC AB.AH 1 AC AH AF AD AFD : AKC AF.AC AD.AK 2 AK AC Cộng (1) và (2) vế theo vế ta có: AE.AC AF.AC AB.AH AD.AK(3) Mà AFD CEB cmt AF CE 3 AC. AE EC AB.AH AD.AK AC2 AB.AH AD.AK Câu 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là một điểm di động trên AC. Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với tia BM cắt tia BM tại H, cắt tia BA tại O. Chứng minh rằng: a)OA.OB OC.OH b) O· HA có số đo không đổi c) Tổng BM.BH CM.CA không đổi Lời giải O A H M C B K OB OH a) BOH : COA g.g OA.OB OH.OC OC OA OB OH OA OH b) và Oµ chung OHA : OBC OC OA OC OB O· HA O· BC (không đổi) c) Vẽ MK  BC; BKM : BHC(g.g) BM BK BM.BH BK.BC (3) BC BH CM CK CKM : CAB g.g CM.CA BC.CK(4) CB CA Cộng từng vế của (3) và (4) ta có: BM.BH CM.CA BK.BC BC.CK BC. BK KC BC2 (Không đổi) Câu 4.
4. Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD 2AB 2AD và BC a 2 .Gọi E là trung điểm của CD. a) Tứ giác ABED là hình gì ? Tại sao ? b) Tính diện tích hình thang ABCD theo a c) Gọi I là trung điểm của BC,H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC.Tính góc H· DI Lời giải A B H I D E C a) Chỉ ra ABED là hình bình hành AB / /DE,AB DE Chỉ ra ABED là hình thoi (AB=AD) Chỉ ra ABED là hình vuông B· AD 900 b) Chỉ ra BEC vuông cân Từ đó suy ra AB AD a, DC 2a AB CD .AD a 2a .a 3a2 Diện tích của hình thang ABCD là : S 2 2 2 c) A· CH A· CD (1)(cùng phụ với góc HDC) Xét ADC và IBD vuông tại D và B có: AD IB 1 ADC : IBC DC BD 2 Suy ra A· CD B· DI 2 Từ 1 và 2 suy ra A· DH B· DI Mà A· DH B· DI 450 B· DI B· DH 450 hay H· DI 450 Câu 5.
5. Cho tam giác ABC vuông tại A,D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải C F D A E B   0 a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì E Aµ F 90 ) · Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của BAC b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD EF 3AD 4EF 7AD 3AD 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D là hình chiếu vuông góc của A lên BC Câu 6. Trong tam giác ABC,các điểm A,E,F tương ứng nằm trên các cạnh BC,CA,AB sao cho A· FE B· FD; B· DF C· DE;C· ED A· EF a) Chứng minh rằng: B· DF B· AC b) Cho AB 5, BC 8,CA 7. Tính độ dài đoạn BD. Lời giải
6. A E F O B D C a) Đặt A· FE B· FD ,B· DF C· DE ;C· ED A· EF  Ta có: B· AC   1800 * Qua D,E,F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC,AC,AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF O· FD O· ED O· DF 900 (1) Ta có: O· FD  O· ED  O· DF 2700 (2) 1 & 2   1800 * * Từ * & * * B· AC B· DF b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: Bµ ,Cµ  AEF : DBF : DEC : ABC BD BA 5 5BF 5BF 5BF BD BD BD BF BC 8 8 8 8 CD CA 7 7CE 7CE 7CE CD CD CD CE CB 8 8 8 8 AE AB 5 7AE 5AF 7 7 CE 5 5 BF 7CE 5BF 24 AF AC 7 CD BD 3 (3) Ta lại có: CD BD 8 (4) Từ (3) và (4) BD 2,5 · Câu 7. Cho tam giác ABC,đường cao AH, vẽ phân giác Hx của góc AHBvà phân giác · Hy của AHC . Kẻ AD vuông góc với Hx , AE vuông góc với Hy
7. 2 2 2 2 1 a a 1 a 2 a a 5a NCD vuông tại C có DC a S a . . a. a AMND 2 2 2 2 2 8 4 8 b) Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK AM . Dễ dàng chứng minh được ADM CDK c.g.c AM CK;DM DK 1 Và ·ADM C· DK Ta có: ·ADE ·ADM M· DE E· DC C· DK E· DK(ViM· DE E· DC) Mặt khác ·ADE D· EK (so le trong) E· DK D· EK.Vậy DKE cân tại K DK KE CK CE(2) Từ (1) và (2) suy ra DM AM CE Câu 49. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BD,CE là hai đường cao của tam giác cắt nhau tại điểm H. Chứng minh rằng: a) HD.HB HE.HC b) HDE : HCB 2 c) BH.BD CH.CE BC Lời giải A D E H C B F 0 a) Chứng minh BHE : CHD vì Eµ Dµ 90 ;E· BH D· CH (cùng phụ góc A) HE HB HD.HB HE.HC HD HC HE HB HE HD b) Từ và E· HD C· HB (đối đỉnh) HDE : HCB HD HC HB HC c) Vì H là giao điểm của hai đường cao BD và CE nên H là trực tâm của tam giác AH là đường cao thứ ba. Gọi F là giao điểm của AH với BC. Ta có: AF  BC BH BF BHF : BCD(g.g) BH.BD BF.BC(*) BC BD
8. CH CF CHF : BCE(g.g) CH.CE CF.BC CB CE 2 Cộng theo vế * , : BH.BD CH.CE BC. BF CF BC Câu 50. Cho hình vuông ABCD. M là một điểm tùy ý trên đường chéo BD. Hạ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD d) Chứng minh DE  CF e) Chứng minh ba đường thẳng DE,BF,CM đồng quy f) Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất Lời giải A E B F M D C a) Chứng tỏ được AE DF (cùng bằng MF) Chứng tỏ được CDF DAE F· CD E· DA Có: E· DAvà E· DC phụ nhau E· CD và E· DAphụ nhau hay CF  DE b) Tương tự có CE  BF Chứng minh được CM  EF Gọi G là giao điểm của FM và BC;H là giao điểm của CM và EF. M· CG E· FM (hai HCN bằng nhau) 0 C· MG F· MH (đối đỉnh) M· HF M· GC 90 CM ,FB,ED là ba đường cao của CEF nên chúng đồng quy 2 2 2 AE ME c) AE ME 0nên AE ME 4AE.ME AE.ME 4 AB2 S .Mà AB là hằng số nên S lớn nhất AE ME AEMF 4 AEMF Lúc đó M là trung điểm của BD
9. Câu 51. Cho hình bình hành ABCD(AC BD).Gọi G, H lần lượt là hình chiếu của C lên AB và AD. Chứng minh c) ABC : HCG 2 d) AC AB.AG AD.AH Lời giải G B C F E A D H CG BC BC c) Chứng tỏ được CBG : CDH CH DC BA Và ·ABC H· CG (cùng bù với B· AD) ABC : HCG d) Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B,D trên AC. AF AD AFD : AHC AF.AC AD.AH AH AC AE AB AEB : AGC AE.AC AG.AB AG AC Cộng được : AF.AC AE.AC AD.AH AG.AB AC. AF AE AD.AH AG.AB Chứng tỏ được: AE FC.Thay được: AC. AF FC AD.AH AG.AB AC 2 AD.AH AG.AB Câu 52. Cho tam giác ABC vuông tại A AC AB , đường cao AH H BC .Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HA.Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. 1) Chứng minh rằng hai tam giác BEC và ADC đồng dạng. Tính độ dài đoạn BE theo m AB
10. 2) Gọi M là trung điểm của đoạn BE.Chứng minh rằng hai tam giác BHM và BEC đồng dạng. Tính số đo của ·AHM GB HD 3) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh BC AH HC Lời giải A E M C D B H G 1) Hai tam giác ADC và BEC có: Cµ chung; CD CA (hai tam giác vuông CDE và CAB đồng dạng) CE CB Do đó ADC : BEC 0 Suy ra B· EC ·ADC 135 (vì tam giác AHD vuông cân tại H theo giả thiết) 0 Nên ·AEB 45 , do đó ABE vuông cân tại A Suy ra : BE AB 2 m 2 BM 1 BE 1 AD 2) Ta có . . do BEC : ADC BC 2 BC 2 AC Mà AD AH 2 (tam giác AHD vuông cân tại H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH Nên . . (do ABH : CBA) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE 0 0 Do đó: BHM : BEC(c.g.c) B· HM B· EC 135 ·AHM 45 3) Tam giác ABE vuông cân tại A, nên tia AM còn là tia phân giác B· AC GB AB AB ED AH HD Suy ra : , mà ABC : DEC ED / / AH GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do đó: GC HC GB GC HD HC BC AH HC
11. Câu 53. Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC ). Các đường cao AE,BF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM ,a cắt AB, AC lần lượt tại I và K a) Chứng minh ABC : EFC b) Qua C kẻ đường thẳng bsong song với đường thẳng IK, b cắt AH,AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC ND và HI HK. AH BH CH c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh 6 HE HF HG Lời giải A FK G H I M C B E N D CE CA a) Ta có: AEC : BFC(g.g) CF CB CE CA Xét ABC và EFC có: và góc C chung nên suy ra ABC : EFC cgc CF CB b) Vì CN / /IK nên HM  CN M là trực tâm HNC MN  CH mà CH  AD(H là trực tâm ABC) MN / / AD Do M là trung điểm BC nên NC ND IH IK (theo Ta let) AH S S S S S S c) Ta có: AHC ABH AHC ABH AHC ABH HE SCHE SBHE SCHE SBHE SBHC BH S S CH S S Tương tự ta có: BHC BHA ; BHC AHC BF SAHC CG SBHA
12. AH BH CH S S S S S S AHC ABH BHC BHA BHC AHC HE HF HG SBHC SAHC SBHA S S S S S S AHC ABH BHC BHA BHC AHC 6 SBHC SBHC SAHC SAHC SBHA SBHA Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ABC đều mà theo giả thiết AB AC nên không xảy ra dấu bằng Câu 54. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, các đường cao AM ,BN,CP cắt nhau tại H a) Chứng minh rằng: AMC : BNC và C· AB N· MC b) Chứng minh rằng: Tia MAlà tia phân giác của N· MP c) Gọi I là giao điểm của BN và MP.Chứng minh HN.BI HI.BN Lời giải A N P H I B M C ¶ µ 0 a) Xét AMC và BNC có: góc C chung; M N 90 CM CA AMC : BNC CN CB CM CA Xét ABC và MNC có: ;Cµ chung CN CB ABC : MNC c.g.c C· AB N· MC b) Ta có: C· AB N· MC Chứng minh tương tự: C· AB N· MC 0 Chỉ ra được: ·AMC ·AMB 90 ·AMN ·AMP Tia MAlà tia phân giác của N· MP c) Ta có: MH là đường phân giác trong của tam giác MNI
13. Mà MB  MH nên MBlà đường phân giác ngoài của tam giác MNI MN HN BN (tính chất đường phân giác trong, ngoài tam giác) MI HI BI HN.BI HI.BN(dpcm) Câu 55. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a.Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC,CD,DA.M là giao điểm của CE và DF. d) Chứng minh: Tứ giác EFGH là hình vuông e) Chứng minh DF  CE và MAD cân f) Tính diện tích MDC theo a. Lời giải A E B H M F N D G C d) Chứng minh EFGH là hình thoi Chứng minh có 1 góc vuông nên EFGH là hình vuông e) BEC CFD E· CB F· DC mà CDF vuông tại C nên: 0 0 C· DF D· FC 90 D· FC E· CB 90 CMF vuông tại M hay CE  DF Gọi N là giao điểm của AG và DF.Chứng minh tương tự: AG  DF GN / /CM mà G là trung điểm của DC nên N là trung điểm DM . Trong MAD có AN vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến MAD cân tại A CD CM f) CMD : FCD(g.g) FD FC 2 2 SCMD CD CD Do đó : SCMD .SFCD SFCD FD FD 1 1 2 Mà S CF.CD CD . FCD 2 4 CD2 1 Vậy S . CD2 CMD FD2 4 Trong DCF theo định lý Pytago ta có:
14. 2 2 2 2 1 2 2 1 2 5 2 DF CD CF CD BC CD CD CD 2 4 4 CD2 1 1 Do đó: S . CD2 a2 MCD 5 CD2 4 5 4 Câu 56. Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O. M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC M B,C . Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE CM. a) Chứng minh : OEM vuông cân b) Chứng minh: ME / /BN c) Từ C kẻ CH  BN H BN . Chứng minh rằng ba điểm O,M ,H thẳng hàng. Lời giải A E B 1 2 O 3 M H 1 D C N a) Xét OEB và OMC Vì ABCD là hình vuông nên ta có: OB=OC µ µ 0 Và B1 C1 45 ,BE CM (gt) OEB OMC c.g.c µ ¶ OE OM và O1 O3 ¶ ¶ · 0 Lại có: O2 O3 BOC 90 vì tứ giác ABCD là hình vuông ¶ µ · 0 O2 O1 EOM 90 kết hợp với OE OM OEM vuông cân tại O b) Từ giả thiết tứ giác ABCD là hình vuông AB / /CD và AB = CD AM BM +) AB / /CD AB / /CN (định lý Ta let) (*) MN MC Mà BE CM (gt) và AB Cd AE BM thay vào * AM AE Ta có: ME / /BN (Ta let đảo) MN EB c) Gọi H 'là giao điểm của OM và BN
15. Từ ME / /BN O· ME O· H 'E (cặp góc so le trong) 0 Mà O· ME 45 vì OEM vuông cân tại O · 0 µ MH 'B 45 C1 OMC : BMH '(g.g) OM MH ' ,kết hợp O· MB C· MH '(hai góc đối đỉnh) OB MC OMB : CMH '(c.g.c) O· BM M· H 'C 450 0 Vậy B· H 'C B·H 'M M· H 'C 90 CH '  BN Mà CH  BN H BN H  H 'hay 3 điểm O,M ,H thẳng hàng (đpcm) Câu 57. Cho tam giác nhọn ABC AB AC ,có đường cao AH sao cho AH HC. Trên AH lấy một điểm I sao cho HI BH .Gọi P và Q là trung điểm của BI và AC. Gọi N và M là hình chiếu của H trên AB và IC;K là giao điểm của đường thẳng CI với AB; D là giao điểm của đường thẳng BI với AC a) Chứng minh I là trực tâm của tam giác ABC b) Tứ giác HNKM là hình vuông c) Chứng minh bốn điểm N,P,M ,Q thẳng hàng. Lời giải A D K I Q M P N B H C 0 a) Xét tam giác BHI có: BH HI,Hµ 90 0 BHI vuông cân tại H I·BH 45 0 0 AHC có AH HC,Hµ 90 AHC vuông cân tại H ·ACH 45
16. BCD vuông cân tại D Tam giác ABC có hai đường cao AH,BD. Vậy I là trực tâm ABC 0 0 b) Xét tứ giác HMKN có: M¶ Nµ 90 ,Kµ 90 (CK đường cao) Tứ giác HMNK là hình chữ nhật (1) Xét MIH và NBH có: H· MI H· NB 900;HB HI(gt);H· IC H· BN HMI HNB g.c.g HM HN 2 Từ 1 và 2 : Tứ giác HMKN là hình vuông c) Theo câu b: Tứ giác HMKN là hình vuông nên M , N thuộc trung trực đoạn thẳng KH -Xét 2 tam giác vuông AHC và AKC;trung tuyến HQ,KQ.Ta có: 1 1 HQ AC;KQ AC Q trung trực KH 2 2 Vậy 4 điểm M , N,P,Q thẳng hàng Câu 58. Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh 0 AB lấy M 0 MB MA và trên cạnh BC lấy N sao cho M· ON 90 .Gọi E là giao điểm của AN với DC, gọi K là giao điểm của ON với BE. 1) Chứng minh MON vuông cân 2) Chứng minh MN song song với BE 3) Chứng minh CK vuông góc với BE 4) Qua K vẽ đường song song với OM cắt BC tại H. Chứng minh: KC KN CN 1 KB KH BH Lời giải
17. A M B O N K D C E H 0 0 1) Ta có : B· OC 90 C· ON B· ON 90 ;vì M· ON 900 B· OM B· ON 900 B· OM C· ON · BOC 0 Ta có BD là phân giác ·ABC M· BO C· BO 45 2 · BOC 0 Tương tự ta có: N· CO D· CO 45 . Vậy ta có : M· BO N· CO 2 Xét OBM và OCN có OB OC;B· OM C· ON;M· BO N· CO OBM OCN OM ON 0 Xét MON có M· ON 90 ;OM ON MON vuông cân 2) OBM OCN MB NC mà AB BC AB MB BC NC AM BN AM BM MB NC AN BN Ta có: AB / /CD AM / /CE NE NC AM AN Vậy ta có: MN / /BE (Theo định lý Talet đảo) MB NE 0 3) Vì MN / /BE B· KN M· NO 45 (đồng vị và có tam giác MON vuông cân) 0 NB NO BNK : ONC (vì có B· NK O· NK;B· KN O· CN 45 ) NK NC NB NO - Xét BNO; KNC có B· NO C· NK; BNO : KNC NK NC N· KC N· BO 450 0 0 0 Vậy ta có: B· KC B· KN C· KN 45 45 90 CK  BE
18. 0 4) – Vì KH / /OM mà MK  OK MK  KH N· KH 90 mà N· KC 450 C· KH 450 B· KN N· KC C· KH 450 Xét BKC có B· KN N· KC KN là phân giác trong của BKC , mà KH  KN KC HC KH là phân giác ngoài của BKC KB HB KN BN Chứng minh tương tự ta có : KH BH KC KN NC HC BN CN BH Vậy ta có 1 KB KH BH HB BH BH BH Câu 59. 1) Cho hình thang ABCD vuông tại A và D. Biết CD 2AB 2AD và BC a 2 a) Tính diện tích hình thang ABCD theo a b) Gọi I là trung điểm của BC, H là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống AC. 0 Chứng minh H· DI 45 2) Cho tam giác ABC có BC a,CA b, AB c.Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A,B,C lần lượt là la ,lb ,lc.Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 la lb lc a b c Lời giải A B H I D E C 1) a) Gọi E là trung điểm của CD, chỉ ra ABED là hình vuông và BEC là tam giác vuông cân Từ đó suy ra AB AD a,BC 2a AB CD .AD a 2a .a 3a2 Diện tích của hình thang ABCD là S 2 2 2
19. b) ·ADH ·ACD(1) (hai góc nhọn có cặp cạnh tương ứng vuông góc) Xét hai tam giác ADC và IBD vuông tại D và B có: AD IB 1 , do đó hai tam giác ADC và IBD đồng dạng DC BC 2 Suy ra ·ACD B· DI (2) Từ 1 , 2 ·ADH B· DI 0 0 0 Mà ·ADH B· DH 45 B· DI B· DH 45 hay H· DI 45 2) M A B D C Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M Ta có: B· AD ·AMC (hai góc ở vị trí đồng vị) D· AC ·ACM (hai góc ở vị trí so le trong) Mà B· AD D· AC nên ·AMC ·ACM hay ACM cân tại A, suy ra AM AC b AD BA c Do AD / /CM nên CM BM b c c AD 1 1 1 1 Mà CM AM AC 2b (1) b c 2b la 2 b c 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự ta có: (2); (3) lb c a lc 2 a b Cộng 1 ; 2 ; 3 vế theo vế ta có điều phải chứng minh Câu 60. Cho hình vuông ABCD có AC cắt BD tại O,M là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC (M khác B,C) . Tia AM cắt đường thẳng CD tại N. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE CM
20. a) Chứng minh OEM vuông cân b) Chứng minh : ME / /BN c) Từ C kẻ CH  BN H BN . Chứng minh rằng ba điểm O,M ,H thẳng hàng. Lời giải A E B O M H' H D C N a) Xét OEB và OMC Vì ABCD là hình vuông nên ta có : OB OC µ µ 0 Và B1 C1 45 BE CM gt Suy ra OEM OMC(c.g.c) µ ¶ OE OM và O1 O3 ¶ ¶ · 0 Lại có: O2 O3 BOC 90 vì tứ giác ABCD là hình vuông ¶ µ · 0 O2 O1 EOM 90 kết hợp với OE OM OEM vuông cân tại O b) Từ giả thiết ABCD là hình vuông AB CD và AB / /CD AM BM AB / /CD AB / /CN (định lý Ta-let) * MN MC Mà BE CM gt và AB CD AE BM thay vào * AM AE Ta có: ME / /BN (theo Định lý Talet đảo) MN EB c) Gọi H 'là giao điểm của OM và BN Từ ME / /BN O· ME M· H 'B · 0 · 0 µ Mà OME 45 vì OEM vuông cân tại O MH 'B 45 C1 OMC : BMH ' g.g OM MC , kết hợp O· MB C· MH '(hai góc đối đỉnh) BM MH OMB : CMH '(c.g.c) O· BM M· H 'C 450
21. 0 Vậy B· H 'C B·H 'M M· H 'C 90 CH '  BN Mà CH  BN H BN H  H 'hay 3 điểm O,M ,H thẳng hàng (đpcm) Câu 61. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh rằng: BD.DC DH .DA HD HE HF b) Chứng minh rằng: 1. AD BE CF c) Chứng minh rằng: H là giao điểm các đường phân giác của tam giác DEF d) Gọi M , N,P,Q,I,K lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC,CA, AB , EF,FD,DE. Chứng minh rằng ba đường thẳng MQ, NI,PK đồng quy tại một điểm Lời giải A E Q F P H N K I B D M C BD DH a) Chỉ ra được BDH : ADC(g.g) BD.DC DH.DA AD DC 1 S HD.BC HD b) Ta có: HBC 2 S 1 AD ABC AD.BC 2 HE S HF S Tương tự HAC ; HAB BE SABC CF SABC HD HE HF S S S S Do đó: HBC HAC HAB ABC 1 AD BE CF SABC SABC c) Chứng minh được AEF : ABC c.g.c ·AEF ·ABC Tương tự: D· EC ·ABC.Do đó: ·AEF D· EC 0 Mà ·AEF H· EF D· EC H· ED 90 nên H· EF H· ED
22. EH là phân giác ngoài của góc EFD Do đó H là giao các đường phân giác của tam giác DEF 1 d) Do BEC vuông tại E, M là trung điểm BC nên EM BC (trung tuyến ứng với 2 1 cạnh huyền), Tương tự: FM BC 2 Do đó: EMF cân tại M, mà Q là trung điểm EF nên MQ  EF MQ là đường trung trực của EF hay MQ là đường trung trực của tam giác DEF. Hoàn toàn tương tự, chứng minh được NI và PK cũng là đường trung trực của tam giác DEF nên ba đường thẳng MQ, NI,PK đồng quy tại một điểm Câu 62. Cho tam giác ABC cân tại Acó AB AC b;BC a.Đường phân giác BD của tam giác ABC có độ dài bằng cạnh bên của tam giác ABC.Chứng minh rằng: 1 1 b . b a a b 2 Lời giải A H D B C Vẽ BH là đường cao của tam giác ABC Tam giác BAD cân tại B BA BD có BH là đường cao nên cũng là đường trung tuyến AD AH 2 Tam giác ABC có BD là đường phân giác, ta có: DA AB b DA DC DA DC AC b b2 DA DC BC a b a a b a b a b a b Tam giác HAB vuông tại H, theo định lý Pytago ta có: AD2 AB2 BH 2 AH 2 BH 2 b2 (1) 4 Tam giác HBC vuông tại H, theo định lý Pytago, ta có:
23. 2 2 2 2 2 2 2 2 AD BC BH HC BH BC AC AH a b 2 AD2 BH 2 a2 b2 b.AD (2) 4 Từ (1) và (2) ta có: AD2 AD2 b2 a2 b2 b.AD b2 a2 b.AD b2 4 4 ab2 a b b 1 1 b b a b a a b ab a b 2 b a a b 2 Vậy bài toán dược chứng minh