Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

Nội dung text: Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề) Bài 1. (2,0 điểm) 2 a 1 a a 1 a a a a 1 Cho biểu thức: M với a > 0, a 1. a a a a a a a) Chứng minh rằng M 4 . 6 b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N nhận giá trị nguyên? M Bài 2. (2,0 điểm) a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0 , 5 x 3 , y 6 x và y m x có đồ thị lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và ( m). Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng ( m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2 ) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy 11 Q . ra giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 OMON Bài 3. (2,0 điểm) 1 7x 2 y 2 0 1 1 x y a) Giải hệ phương trình: x2 y 3 x y . 1 b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: x y z z x ( y 3 ). 2 Bài 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn (C) với tâm O và đường kính AB cố định. Gọi M là điểm di động trên (C) sao cho M không trùng với các điểm A và B. Lấy C là điểm đối xứng của O qua A. Đường thẳng vuông góc với AB tại C cắt đường thẳng AM tại N. Đường thẳng BN cắt đường tròn (C ) tại điểm thứ hai là E. Các đường thẳng BM và CN cắt nhau tại F. a) Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng. b) Chứng minh rằng tích AM AN không đổi. c) Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất. Bài 5. (1,0 điểm) Tìm ba chữ số tận cùng của tích của mười hai số nguyên dương đầu tiên. HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
2. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN SINH HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG NĂM HỌC 2010-2011 Môn thi: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN LỚP 9 Dưới đây là sơ lược biểu điểm của đề thi Học sinh giỏi lớp 9. Các Giám khảo thảo luận thống nhất thêm chi tiết lời giải cũng như thang điểm của biểu điểm đã trình bày. Tổ chấm có thể phân chia nhỏ thang điểm đến 0,25 điểm cho từng ý của đề thi. Tuy nhiên, điểm từng bài, từng câu không được thay đổi. Nội dung thảo luận và đã thống nhất khi chấm được ghi vào biên bản cụ thể để việc chấm phúc khảo sau này được thống nhất và chính xác. Học sinh có lời giải khác đúng, chính xác nhưng phải nằm trong chương trình được học thì bài làm đúng đến ý nào giám khảo cho điểm ý đó. Việc làm tròn số điểm bài kiểm tra được thực hiện theo quy định của Bộ Giáo dục và Đào tạo tại Quyết định số 40/2006/BGD-ĐT. BÀI-Ý ĐỀ -ĐÁP ÁN ĐIỂM 2 a 1 a a 1 a a a a 1 Cho biểu thức: M với a > 0, a 1. a a a a a a Bài 1 a) Chứng minh rằng M 4 . 6 b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức N nhận giá trị nguyên. M 2,00 aa1 (a1)(a a1) a a1 Do a > 0, a 1 nên: và a a a ( a 1) a 0,25 2 a aa a 1 (a 1)(a1) a(a1) (a1)(a a 1) a a 1 aaa a(1a) a(1a) a 0,25 1.a a1 (1,25đ) M2 a 0,25 2 Do a 0; a 1 nên: ( a 1) 0 a 1 2 a 0,25 2a M 2 4 a 0,25 63 Ta có 0N do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị nguyên là 1 M2 0,25 6a 2 1.b Mà N = 1 1 a 4 a 1 0 ( a 2 ) 3 (0,75đ) a 1 2 a a 2 3 h a y a 2 3 (phù hợp) 0,25 2 Vậy, N nguyên a ( 2 3 ) 0,25 a) Cho các hàm số bậc nhất: y 0, 5 x 3 , y 6 x và y m x có đồ thị lần lượt là các đường thẳng (d1), (d2) và ( m). Với những giá trị nào của tham số m thì đường thẳng ( m) cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) lần lượt tại hai điểm A và B sao cho điểm Bài 2 A có hoành độ âm còn điểm B có hoành độ dương? b) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho M và N là hai điểm phân biệt, di động lần lượt trên trục hoành và trên trục tung sao cho đường thẳng MN luôn đi qua điểm cố định I(1 ; 2 ) . Tìm hệ thức liên hệ giữa hoành độ của M và tung độ của N; từ đó, suy ra giá 2,00
3. 11 trị nhỏ nhất của biểu thức Q . 22 OMON Điều kiện để ( m) là đồ thị hàm số bậc nhất là m0 0,25 Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và ( m) là: 0 , 5 x 3 m x ( m 0 , 5 ) x 3 2.a Điều kiên để phương trình này có nghiệm âm là m 0,5 0haym 0,5 0,25 (0,75đ) Phương trình hoành độ giao điểm của (d2) và ( m) là: 6 x m x ( m 1) x 6 Điều kiên để phương trình này có nghiệm dương là m 1 0 h ay m 1 Vậy điều kiện cần tìm là: 1 m 0, 5; m 0 0,25 Đặt m = xM và n = yN m n 0 và m 1 (*) Nên đường thẳng qua ba điểm M, I, N có dạng: y = ax+b 0,25 0 a m b 2 a b hệ thức liên hệ giữa m và n là 2 m n m n nb 0,25 12 2.b Chia hai vế cho m n 0 ta được: 1 ( ) mn (1,25đ) 22 1 2 1 4 4 1 1 2 1 15 2 2 2 2 m n m n m n m n m n 0,25 1 1 1 21 Q; dấu “=” xảy ra khi ; kết hợp ( ): m = 5, n = 2,5 (thỏa (*)) 22 m n 5 mn 0,25 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của Q là 5 0,25 1 7x 2 y 2 0 1 1 x y a) Giải hệ phương trình: (1) Bài 3 x2 y 3 x y . 1 b) Tìm tất cả các giá trị của x, y, z sao cho: x y z z x ( y 3 ) (2) 2 2,0 đ 1 7 2 1 1 0 0 7 9 2011 x yx y 9 490 Nếu xy 0 thì (1) (phù hợp) 1 21 4 9 0 9 3 y yx x 9 1007 0,50 1 7 2 1 1 0 0 4 3.a 2011 yx y 9 (1,25đ) Nếu xy 0 thì (1)xy 0 (loại) 12 1 1 0 3 1 3 yx x 18 0,25 Nếu xy 0 thì (1) xy0 (nhận). 0,25 99 KL: Hệ có đúng 2 nghiệm là (0; 0 ) và ; 4 9 0 1 0 0 7 0,25 Điều kiện x ≥ 0; y z ≥ 0; z x ≥ 0 y ≥ z ≥ x ≥ 0 0,25 3.b (2) 2x2yz2zxxyzzx3 (0,75đ) 2 2 2 (x1) (yz1) (zx1) 0 0,25
4. FQ FQ KF Do đó: ( 2 ) QC BH KB FPFQ Từ (1)v a ( 2 ) P Q // B C (đpcm) PBQC 0,5 Bài 6: 2 điểm) 2 Do a <1 a <1 và b <1 2 2 2 Nên 1a . 1 b 0 1 a b a b 0 2 2 Hay 1 a b a b (1) 0,5 2 3 3 Mặt khác 0 <a,b <1 a a ; b b 2 3 3 b a a b 3 3 2 Vậy a b 1 a b 0,5 Tương tự ta có 3 3 2 b c 1 b c 3 3 2 0,25 a c 1 c a 3 3 3 2 2 2 0,25 2 a 2 b 2 c 3 a b b c c a 0,5 UBND HUYỆN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2013-2014 MÔN: TOÁN LỚP 9 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề x y x y x y 2 x y Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức: P : 1 . 1 x y 1 x y 1 x y a) Rút gọn biểu thức P. 2 b) Tính giá trị của P với x . 23 Bài 2: (4 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi (D) và (L) lần lượt là đồ thị của hai hàm 13 số: yx và yx. 22 a) Vẽ đồ thị (D) và (L). b) (D) và (L) cắt nhau tại M và N. Chứng minh OMN là tam giác vuông. 4 3 2 Bài 3: (4 điểm) Giải phương trình: 6x 5x 38x 5x 6 0 . Bài 4: (2 điểm) Qua đỉnh A của hình vuông ABCD cạnh là a, vẽ một đường thẳng cắt cạnh BC ở M và cắt đường thẳng DC ở I. 1 1 1 Chứng minh rằng: . 2 2 2 A M A I a Bài 5: (6 điểm) Cho hai đường tròn ( O ) và ( O/ ) ở ngoài nhau. Đường nối tâm OO/ cắt đường tròn ( O ) và ( O/ ) tại các điểm A, B, C, D theo thứ tự trên đường thẳng. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài EF, E (
5. O ) và F ( O/ ). Gọi M là giao điểm của AE và DF; N là giao điểm của EB và FC. Chứng minh rằng: a) Tứ giác MENF là hình chữ nhật. b) MN AD. c) ME.MA = MF.MD. Hết
6. UBND HUYỆN ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM THI PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN NĂM HỌC 2013-2014-MÔN: TOÁN LỚP 9 Bài Đáp án Điểm 1 ĐKXĐ: x 0; y 0; x y 1 . 0,5 đ a) Mẫu thức chung là 1 – xy (x y)(1 xy) (x y)(1 xy) 1 x y x y 2 x y P: 0,5 đ 1 x y 1 x y 0,5 đ xxy yyx xxy yyx 1 x y . 1 x y 1 x y x y 0,5 đ 2 ( x y x ) 2 x (1 y ) 2 x (1 x)(1 y) (1 x)(1 y) 1 x b) 2 2 ( 2 3 ) 2 x 3 2 3 1 ( 3 1) 0,5 đ 23 43 2 0,5 đ x ( 3 1) 3 1 3 1 0,5 đ 2 ( 3 1) 2 3 2 P 2 1 ( 3 1) 1 3 2 3 1 0,5 đ 2 ( 3 1) 6 3 2 P 5 2 3 13 2 3 a) 13 x 0 y 0,5 đ Đồ thị yx có : 2 22 y 0 x 3 x k h i x 0 Đồ thị yx 0,5 đ x k h i x 0 Đồ thị như hình vẽ: 1 đ b) Đồ thị (D) và (L) cắt nhau tại hai điểm có tọa độ M(1; 1) và N( - 3; 3) 0,5 đ 22 Ta có: OM = 1 1 2 OM2 = 2 22 ON = 3 ( 3 ) 3 2 ON2 = 18 0,5 đ
7. 22 MN = (1 3 ) (1 3 ) 2 0 MN2 = 20 0,5 đ 2 2 2 Vì: OM + ON = MN 0,5 đ Vậy: tam giác OMN vuông tại O 3 Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được: 2 56 6 x 5 x 3 8 0 2 xx 2 11 6(x )5(x )38 0 1 đ 2 xx 1 221 Đặt yx thì: x y 2 2 x x 2 Ta được pt: 6y – 5y – 50 = 0 (3y – 10)(2y + 5) = 0 1 đ 1 0 5 Do đó: y v à y 32 10 1 1 0 2 * Với y thì: x 3 x 1 0 x 3 0 3 x3 1 1 đ x 1 (3x – 1)(x – 3) = 0 3 x3 2 5 15 2 * Với y thì: x 2 x 5 x 2 0 2 x2 1 đ 1 x 3 (2x + 1)(x + 3) = 0 2 x24 4 A B M J D C I Vẽ Ax AI cắt đường thẳng CD tại J. 0,5 đ Ta có AIJ vuông tại A, có AD là đường cao thuộc cạnh huyền IJ, nên: 1 1 1 (1) 2 2 2 0,5 đ ADAJAI Xét hai tam giác vuông ADJ và ABM, ta có: AB = AD = a; DAJBAM (góc có cạnh tương ứng vuông góc) 0,5 đ A D J = A B M . Suy ra: AJ = AM 0,5 đ 1 1 1 1 Thay vào (1) ta được: (đpcm) 2 2 2 2 A D A M A I a
8. 5 M E I F H A O D B C O / N a) 0 Ta có A E B C F D 9 0 (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn) / Vì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O ), nên: 0,5 đ OE EF và OF EF => OE // O/F / / => EOBFOD (góc đồng vị) => EAOFCO 0,5 đ Do đó MA // FN, mà EB MA => EB FN 0 0,5 đ Hay E N F 9 0 . O Tứ giác MENF có E N F 9 0 , nên MENF là hình chữ nhật 0,5 đ b) Gọi I là giao điểm của MN và EF; H là giao điểm của MN và AD 0,5 đ Vì MENF là hình chữ nhật, nên IFNINF 1 Mặt khác, trong đường tròn (O/): IF N F D C s đ F C 2 0,5 đ 0,5 đ => FDCHNC 0,5 đ Suy ra F D C đồng dạng HNC (g – g) O => N H C D F C 9 0 hay MN AD c) 0,5 đ Do MENF là hình chữ nhật, nên MFEFEN 1 Trong đường tròn (O) có: F E N E A B s đ E B 2 0,5 đ => MFEEAB 0,5 đ Suy ra MEF đồng dạng MDA (g – g) 0,5 đ MEMF => , hay ME.MA = MF.MD MDMA Lưu ý: Nếu học sinh giải theo cách khác, nếu đúng và phù hợp với kiến thức trong chương trình đã học thì hai Giám khảo chấm thi thống nhất việc phân bố điểm của cách giải đó, sao cho không làm thay đổi tổng điểm của bài (hoặc ý) đã nêu trong hướng dẫn này./.
9. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 Thời gian: 150 phút( không kể thời gian giao đề) Câu1: ( 5đ) 2 x 9 2 x 1 x 3 Cho biÓu thøc M = x 5 x 6 x 3 2 x a. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó M cã nghÜa vµ rót gän M b. T×m x ®Ó M = 5 c. T×m x Z ®Ó M Z. Câu: 2(2đ). Cho 4a2+b2=5ab với 2a>b>0. ab Tính giá trị của biểu thức: P 2 2 4 a b Câu 3(4đ) 2 3 x 8 x 6 a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2 x 2 x 1 2 2 2 b. Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c ta có a b c ab bc ca Câu: 4 (4đ) a. Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3+y3+z3-3xyz b. Giải phương trình : x4+2x3-4x2-5x-6=0 Câu: 5 (5đ) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. 1) Tứ giác BEDF là hình gì vì sao? 2) Gọi CH và CK lần lượt là đường cao của tam giác ACB và tam giác ACD.Chứng minh rằng. a. Tam giác CHK và tam giác ABC đồng dạng . b. AB.AH+AD.AK=AC2 ĐÁP ÁN Câu: 1(5đ) a) ĐK x 0; x 4; x 9 0,5đ 2 x 9 x 3 x 3 2 x 1 x 2 Rút gọn M = 0,5đ x 2 x 3 x x 2 Biến đổi ta có kết quả: = 0,5đ x 2 x 3 x 1 x 2 x 1 = 1đ x 3 x 2 x 3 x 1 M 5 5 b) x 3 1đ x 4 x 16 (TM ) x 1 x 3 4 4 c) M = 1 0,5đ x 3 x 3 x 3 Do M z nên x 3 là ước của 4 x 3 nhận các giá trị: -4;-2;-1;1;2;4 0,5đ x 1;4 ;16 ;25 ;49 do x 4 x 1;16 ;25 ;49 0,5đ Câu: 2 (2đ) Phân tích được 4a2+b2=5ab thành (a-b)(4a-b)=0 0,5đ a=b hoặc 4a=b 0,5đ
10. Lập luận chỉ ra a=b (nhận) 4a=b (loại) 0,5đ 2 ab a 1 Tính được P 0,5đ 2 2 2 4 a b 3 a 3 Câu: 3 (4đ) 2 2 2 2 x 4 x 2 x 4 x 4 ( x 2 ) a. Viết được A 2 2 1,5đ 2 2 x 2 x 1 ( x 1) Lập luận min A = 2 khi x-2= 0 => x= 2 0,5đ 2 2 2 b. biến đổi a b c ab bc ca 2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ca 0,5đ a2-2ab+b2+b2-2bc +c2 +c2 -2ca+a2 ≥0 0,5đ (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2 ≥ 0 0,5đ Lập luận => khẳng định 0,5đ Câu: 4 (4đ) a. x3+y3+z3-3xyz = x3+3x2y+3xy2+y3+z3-3x2y-3xy2 -3xyz 0,5đ = (x+y)3+z3 –3xyz(x+y+z) 0,5đ = (x+y+z)(x2+2xy+y2+z2-xz-yz)-3xy(x+y+z) 0,5đ =(x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-zx) 0,5đ b. Giải phương trình : x4+2x3-4x2-5x-6=0 x4-2x3+4x3-8x2+4x2-8x + 3x-6=0 0,5đ x3(x-2)+4x2(x-2)+4x(x-2)+3(x-2)=0 0,5đ (x-2)(x3+4x2+4x+3)=0 0,25đ (x-2)(x3+3x2+x2+3x+x+3) =0 0,25đ (x-2)[x2(x+3)+x(x+3)+(x+3)]=0 0,25đ (x-2)(x+3)(x2+x+1) =0 0,25đ Câu: 5 (5đ) H C B F E 1. Chỉ ra Tam giác ABE = Tam giác CDF A 0,5đ K D =>BE=DF . BE//DF cùng vuông góc với AC 0,25đ => BEDF là hình bình hành 0,25đ 2.a. Chỉ ra góc CBH = góc CDK 0,5đ => tam giác CHB đồng dạng với Tam giác CDK (g,g) 0,25đ CH CK 0,25đ CB CD Chỉ ra CB//AD,CK vuông góc CB=> CK vuông góc CB 0,25đ Chỉ ra góc ABC = góc HCK ( cùng bù với BAD) 0,25đ CH CK CH CK Chỉ ra hay vì AB=CD 0,25đ CB CD CB AB Chỉ ra tam giác CHK đồng dạng tam giác BCA (c-g-c) 0,25đ b. chỉ ra tam giác AFD = tam giác CEB => AF=CE 0,5đ chỉ ra tam giác AFD đồng dạng với tam giác AKC 0,25đ => AD.AK=AF.AC => AD.AK=CE.AC (1) 0,5đ Chỉ ra tam giác ABE đồng dạng với tam giác ACH 0,25đ => AB.AH=AE.AC (2) 0,25đ Công theo vế (1) và (2) ta được
11. AD.AK+ AB.AH =CE.AC+ AE.AC =(CE+AE)AC=AC2 0,25đ Lưu ý: Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN TẠO HUYỆN KIM THÀNH NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán 9 Thời gian làm bài: 120 phút Đề gồm 01 trang Bài 1: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A = 2x 9 x 3 2 x 1 x5 x 6 x 2 3 x b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1. (1y2 )(1 z 2 ) (1 z 2 )(1 x 2 ) (1 x 2 )(1 y 2 ) Hãy tính giá trị biểu thức: A = x y z (1x2 ) (1 y 2 ) (1 z 2 ) Bài 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) tại a = 331 6 8 5 1 6 8 5 b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương? Bài 3: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau: a) 1xx 4 3 2 b) x4 x 5 2 2 x 3 Bài 4: (3,0 điểm) a) Tìm x; y thỏa mãn: 2x y 4 y x 4 x y 2 2 2 b) Cho a; b; c là các số thuộc đoạn 1; 2 thỏa mãn: a + b + c = 6 hãy chứng minh rằng: a + b + c 0 Bài 5: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H. 2 2 2 KCACCBBA a) Chứng minh: 2 2 2 KBCBBAAC b) Giả sử: HK = 1 AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 3 2 0 c) Giả sử SABC = 120 cm và BÂC = 60 . Hãy tính diện tích tam giác ADE?
12. TRƯỜNG THCS THƯỢNG VŨ HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG HUYỆN KIM THÀNH Tổ KHTN NĂM HỌC 2012 – 2013 Môn: Toán 9 Thời gian: 120’ Câu 1: (4 điểm) a/ Rút gọn biểu thức A = 2x 9 x 3 2 x 1 x5 x 6 x 2 3 x ĐKXĐ: x 4; x 9 A = 29x x 321299232 x x x x x x x 2 x2 x 3xx23 x 2 x 3 x 2 x 3 xx12 = x 1 xx23x 3 b/ Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1. (1y2 )(1 z 2 ) (1 z 2 )(1 x 2 ) (1 x 2 )(1 y 2 ) Hãy tính: A = x y z (1x2 ) (1 y 2 ) (1 z 2 ) Gợi ý: xy + yz + xz = 1 1 + x2 = xy + yz + xz + x2 = y(x + z) + x(x + z) = (x + z)(x + y) Tương tự: 1 + y2 = ; 1 + z2 = . Câu 2: (3 điểm) a/ Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012 Tính f(a) tại a = 331 6 8 5 1 6 8 5 b/ Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương? Giải a/Từ a= 3 33 3 aa32 33 16851685 1685 1685 3212 nên a + 12a = 32 Vậy f(a) = 1 2 2 kn1 b/ Giả sử: n + 17 = k (k ) và k > n (k – n)(k + n) = 17 n 8 kn17 Vậy với n = 8 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 3: (4 điểm) Giải các phương trình sau: a/ 1xx 4 3 2 b/ x4 x 5 2 2 x 3 Giải
13. a/ ĐK: 41x Bình phương 2 vế: 1x 4 x 2(1 x )(4 x )9 (1 x )(4 x )2 x 0 2 4 3x x 4 x ( x 3 ) 0 (thỏa mãn) x 3 Vậy phương trình có 2 nghiệm: x = 0; x = -3 2 3 b/ x4 x 5 2 2 x 3 ĐKXĐ: x 2 2 x2 x 1 2 x 3 2 2 x 3 1 0 2 2 x 10 x1 2 x 3 1 0 x 1 vậy phương trình có nghiệm duy 2x 3 1 nhất x = -1 Câu 4: (3 điểm) a/ Tìm x; y thỏa mãn: 2x y 4 y x 4 x y 2 2 2 b/ Cho a; b; c là các số thuộc đoạn 1; 2 thỏa mãn: a + b + c = 6 hãy chứng minh rằng: a + b + c 0 Giải a/ 2xy 4 yx 4 xyxy .2. 4.2.4 yx xy Xét VP = x.2 . y 4 y .2 . x 4 theo BĐT cosi: 4y 4 y 4 x 4 x 2yx 4 ; 2 4 vậy VP xy = VT 2 2 2 2 x 42 Dấu = xảy ra khi: xy8 y 42 b/ Do a; b; c thuộc đoạn nên a + 1 0; a – 2 0 nên (a + 1)(a – 2) 0 Hay: a2 – a – 2 0 a2 a + 2 Tương tự: b2 b + 2; c2 c + 2 Ta có: a2 + b2 + c2 a + b + c + 6 theo đầu bài: a2 + b2 + c2 = 6 nên: a + b + c 0 Câu 5: (6 điểm) Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H. 2 2 2 KCACCBBA a/ Chứng minh: 2 2 2 KBCBBAAC b/ Giả sử: HK = 1 AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 3 2 0 c/ Giả sử SABC = 120 cm và BÂC = 60 . Hãy tính diện tích tam giác ADE? Giải
14. a/ Sử dụng định lý pytago: A 2 2 2 2 2 2 2 ACCBBAAKKCBKCKAB() 2 2 2 2 2 2 CBBAACBKCKBAAKKC()() 2 2CKBKCKCKCKBKCK 2 . 2 ( ) D = 2 2BKBKCKBKBKCKBK 2 . 2 ( ) E H b/ Ta có: tanB = AK ; tanC = AK BK CK 2 B AK K Nên: tanBtanC = (1) C BKCK. KC Mặt khác ta có: BHKC mà: tanHKC = KH KB KBKC. ta nBC . ta n Nên tanB = tương tự tanC = 2 (2) KH KH 2 2 AK Từ (1)(2) ta nBC . ta n KH 1 Theo gt: HK = AK tanBC . tan 3 3 2 S AB c/ Ta chứng minh được: ABC và ADE đồng dạng vậy: ABC (3) SADADE 0 0 Mà BÂC = 60 nên ABD 30 AB = 2AD(4) S ABC 2 Từ (3)(4) ta có: 4SADE 3 0 ( c m ) S ADE SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2011 - 2012 §Ò CHÝNH THøC MÔN: TOÁN Lớp 9 thcs Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian phát đề Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012 Câu I (4đ) æ ö æ ö ççx-1 x + 8÷÷ 3 x - 1 + 1 1 çç+-÷÷: Cho biểu thức P = çç÷÷ èçç3+x - 110 - x ø÷÷ è x - 3 x - 1 - 1 x - 1 ø 1) Rút gọn P 3 2 2 3 2 2 2) Tính giá trị của P khi x = 4 4 3 2 2 3 2 2 Câu II (4đ) Trong cùng một hệ toạ độ, cho đường thẳng d: y = x – 2 và parabol (P): y = - x2. Gọi A và B là giao điểm của d và (P). 1) Tính độ dài AB. 2) Tìm m để đường thẳng d’: y =- x = m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD = AB. Câu III (4đ)
15. 2 x x 2 y 1) Giải hệ phương trình y 2 1 y . x 2 2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2x6 + y2 –2 x3y = 320 Câu IV (6đ) Cho tam giác nhọn ABC có AB > AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD, BE, CF là các đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (C1) và (C2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE, với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng: 1) ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). 2) KH AM. Câu V (2đ) Với 0 x; y ; z 1 . Tìm tất cả các nghiệm của phương trình: x y z 3 1 y zx 1 z xy 1 x yz x y z
16. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THANH HÓA NĂM HỌC 2011-2012 Môn : TOÁN Ngày thi :18/02/2012 Câu 1:ĐK 1 x=1+ 2 - ( 2 - 1) = 2 vì x>1 Vậy P=0 Câu II: 1) Hoành độ giao điểm là nghiệm phương trình x2+x-2=0 => x=1 hoặc x=2 Vậy A(1,-1) và B(-2;-4) hoặc A(-2;-4) vàB(1;-1) 2)Để (d’) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình x2-x+m=0 (1) 1 có hai nghiệm phân biệt D> 0 m (x1-x2) +(y1-y2) =18 2 (x1-x2) =9 2 (x1+x2) -4x1x2=9 1-4m-9=0=> m=-2(TM) Vậy C(-1,-3) và D(2;0) hoặc D(-1;-3) hoặc C(2;0 Câu III 1,ĐK x ¹ 0, y 0 Đặt x=ky ( k 0) 2 2 x ïí (k+= k ) y 2 x 2 ï ï y ì 11 ï (+= 1) y (1) 2 ï y 1 îï k 2 y . x 2 Nếu k=-1 thì hệ phương trình (1) vô nghiệm nên hệ phương trình đã cho vô nghiệm Nếu k -1 2 ()k+ k k từ (1) => = 4 k + 1 => k=2 hoặc k = -2 21 Nếu k=2 => (,)(;)xy= 33 Nếu k = -2 => (x;y)=(-2;1) 2, Từ 2x6 + y2 – x3y = 320 (x3-y)2 +(x3)2=320
17. 3 2 => (x ) £ 320 mà x nguyên nên x £ 2 Nếu x=1 hoặc x=-1 thì y không nguyên (loại) Nếu x=2=> y=-2 hoặc y=6 Nếu x=-2 => y=-6 hoặc y=2 Vậy phương trình đã cho có 4 cặp nghiệm (x;y) là(2;-2);(2;6);(-2;-6);(-2;2) 0 Câu IV: 1) Ta có EFµ ==µ 90 nên tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn tâm chính là (C1) là trung điểm AH 1 E· A H= s d E¼ H (1) 2 mà EAHCBE· = · (2) ( cùng phụ với góc ACD) MEBCBE· = · (3)( do đương trung tuyến ứng với cạng huyền) 1 Từ (1), (2) và (3) ta có M· E H= s d E¼ H 2 => ME là tiếp tuyến đường tròn tâm (C1) A F E N B K C D M C 2, gọi giao điểm AM với KH là N trước tiên chứng minh 5 điểm A,E,H,N,F cùng thuộc một đường tròn Ta thấy AF;AN· EACBEAFEANEACB=· · =· = >· = · => nghĩa là C,M,N, F cùng thuộc một đường tròn chứng minh A,E,N, B nội tiếp 0 do đó KNM· = 90 KH AM Câu V:: do vai trò x,y,z như nhau nên 01£x £ y £ z £ yz 3 += 11+z + z y y + z yz1 1 1 Nếu x= 0 => = >()() - + - = 11+z y + z + z y y + z y + z 2 (y- 1)( y + 1 + z ) z - 1 1 = > + = (1+z )( y + z ) (1 + y z )( y + z ) y + z Ta có VT ³ 0 mà VP < 0 nên trong trường hợp này không có nghiệm
18. Nếu x khác 0 mà 01£x £ y £ z £ z 1 1 x 0 1 zx x z >0 x z zx 1 0 x zx z 1 0 đúng với mọi 0 x; z 1 . Dấu “=” xảy ra khi: x=z=1. + Ta có: 1 zx x z 1 y zx x y z x x 1 y zx x y z y y + Tương tự: 1 z xy x y z z z 1 x yz x y z x y z x y z VT 1 . (1) 1 y zx 1 z xy 1 x yz x y z + Mặt khác, vì: 0 x; y ; z 1 x y z 3 3 3 VP 1 Dấu “=” xảy ra khi : x=y=z=1. (2) x y z 3 + Từ (1) và (2) VT VP chỉ đúng khi: VT VP 1 . Khí đó x=y=z=1. * Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x ; y ; z 1; 1; 1 .