Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 6

Nội dung text: Tuyển tập đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 6

1. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Đề số 1 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian chép đề) Bài 1 (3điểm) a, Cho A = 9999931999 - 5555571997. Chứng minh rằng A chia hết cho 5 b, Chứng tỏ rằng: 1 + 1 + 1 + + 1 + 1 > 7 41 42 43 79 80 12 Bài 2 (2,5điểm) Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 2 trang. Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng số trang của 1 quyển vở loại 1. 3 Số trang của 4 quyển vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2. Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại. Bài 3: (2điểm). Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1+ 2+ 3+ .+ n = aaa Bài 4 (2,5 điểm) a, Cho 6 tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ ? Vì sao. b, Vậy với n tia chung gốc. Có bao nhiêu góc trong hình vẽ. Đề số 2 Thời gian làm bài 120 phút – (không kể thời gian chép đề) Bài 1 (3điểm) 1.5.6 2.10.12 4.20.24 9.45.54 a. Tính nhanh: A = 1.3.5 2.6.10 4.12.20 9.27.45 b. Chứng minh : Với k N* ta luôn có : k k 1 k 2 k 1 k k 1 3. k k 1 . áp dụng tính tổng : S = 1.2 2.3 3.4 nn . 1 . Bài 2 (3điểm) a.Chứng minh rằng : nếu ab cd eg 11 thì : abcdeg 11. b.Cho A = 2 22 2 3 2 60 . Chứng minh : A 3 ; 7 ; 15. 1 1 1 1 Bài 3 (2điểm). Chứng minh : < 1. 2234 2 2 2n Bài 4(2 điểm). a. Cho đoạn thẳng AB = 8cm. Điểm C thuộc đường thẳng AB sao cho BC = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng AC. b. Cho 101 đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau và không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Tính số giao điểm của chúng. 1
2. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Đề số 3 Thời gian làm bài: 120 phút. Câu 1: (3đ) Thực hiện phép tính bằng cách hợp lí : 636363.37 373737.63 1) A = 1 2 3 2017 12 12 12 4 4 4 12 4 6 124242423 2) B = 1 . 19 37 53 : 17 19 2006 . 41 1 3 3 5 5 5 237373735 3 5 3 37 53 17 19 2006 Câu 2: (2đ) Tìm các cặp số (a,b) sao cho : 4a5b45 Câu 3: (2đ) Cho A = 31 +32+33 + + 32006 a) Thu gọn A b) Tìm x để 2A+3 = 3x Câu 4: (1đ) 20162016 1 20162015 1 So sánh: A = và B = 20162017 1 20162016 1 Câu 5: (2đ) 2 Một học sinh đọc quyển sách trong 3 ngày. Ngày thứ nhất đọc được số trang 5 3 sách; ngày thứ 2 đọc được số trang sách còn lại; ngày thứ 3 đọc được 80% số trang 5 sách còn lại và 3 trang cuối cùng. Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang? Đề số 4 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1(2đ) 2006 2005 a)Tính tổng S = 27 4500 135 550.2 b) So sánh: A = 2006 1 và B = 2006 1 2 4 6 14 16 18 20072007 1 20062006 1 Bài 2 (2đ) a. Chứng minh rằng: C = 2 + 22 + 2 + 3 + + 299 + 2100 chia hết cho 31 b. Tính tổng C. Tìm x để 22x – 1 - 2 = C Bài 3 (2đ) Một số chia hết cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho1292 dư bao nhiêu Bài 4 (2đ) Trong đợt thi đua, lớp 6A có 42 bạn được từ 1 điểm 10 trở lên, 39 bạn được 2 điểm 10 trở lên, 14 bạn được từ 3 điểm 10 trở lên, 5 bạn được 4 điểm 10, không có ai được trên 4 điểm 10. Tính xem trong đợt thi đua lớp 6A được bao nhiêu điểm 10 Câu 5 (2đ) Cho 25 điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đường thẳng? Nếu thay 25 điểm bằng n điểm thì số đường thẳng là bao nhiêu. 2
3. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Đề số 5 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1. Tính các giá trị của biểu thức. a. A = 1 + 2 + 3 + 4 + + 100 1 3 3 4 4 4 4(3 ) 4 1 b. B = -1 . 3 7 53 : 17 19 2003. 5 1 3 3 5 5 5 3 5 3 37 53 17 19 2003 1 1 1 1 1 c. C = 1.2 2.3 3.4 4.5 99.100 Bài 2. So sánh các biểu thức : a. 3200 và 2300 121212 2 404 10 b. A = với B = . 171717 17 1717 17 Bài 3. Cho 1số có 4 chữ số: *26*. Điền các chữ số thích hợp vào dấu (*) để được số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho tất cả 4số : 2; 3 ; 5 ; 9. Bài 4. Tìm số tự nhiên n sao cho : 1! +2! +3! + +n! là số chính phương? Bài 5. Hai xe ôtô khởi hành từ hai địa điểm A,B đi ngược chiều nhau. Xe thứ nhất khởi hành từ A lúc 7 giờ. Xe thứ hai khởi hành từ B lúc 7 giờ 10 phút. Biết rằng để đi cả quãng đường AB . Xe thứ nhất cần 2 giờ , xe thứ hai cần 3 giờ. Hỏi sau khi đi 2 xe gặp nhau lúc mấy giờ? Bài 6. Cho góc xOy có số đo bằng 1200 . Điểm A nằm trong góc xOy sao cho: AOy =750 . Điểm B nằm ngoài góc xOy mà : BOx =1350 . Hỏi 3 điểm A,O,B có thẳng hàng không? Vì sao? Đề số 6 Thời gian làm bài: 120’ Bài 1:(1,5đ) Tìm x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài 2: (1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a 5 5 a 5 Bài 3: (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a. Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. b. Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c. Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4: (2đ)Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Bài 5: (2đ) Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6: (1,5đ) Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: a. xOy xOz yOz b. Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại. 3
4. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Vậy: AOB = 240 ; BOC =72 0 ; COD = 120 0 ; DOA = 144 0 Đề số 11 Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1: (3đ). a. Kết quả điều tra ở một lớp học cho thấy: Có 20 học sinh thích bóng đá, 17 học sinh thích bơi, 36 học sinh thích bóng chuyền, 14 học sinh thích đá bóng và bơi, 13 học sinh thích bơi và bóng chuyền, 15 học sinh thích bóng đá và bóng chuyền, 10 học sinh thích cả ba môn, 12 học sinh không thích môn nào. Tính xem lớp học đó có bao nhiêu học sinh? b. Cho số: A = 123456789101112 .585960. - Số A có bao nhiêu chữ số? - Hãy xóa đi 100 chữ số trong số A sao cho số còn lại là: + Nhỏ nhất + Lớn nhất Câu 2: (2đ). a. Cho A = 5 + 52 + + 596. Tìm chữ số tận cùng của A. b.Tìm số tự nhiên n để: 6n + 3 chia hết cho 3n + 6 Câu 3: (3đ). a. Tìm một số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng khi chia số đó cho 3 dư 2, cho 4 dư 3, cho 5 dư 4 và cho 10 dư 9. b. Chứng minh rằng: 11n + 2 + 122n + 1 Chia hết cho 133. Câu 4: (2đ). Cho n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng . Cứ qua hai điểm ta vẽ 1 đường thẳng. Biết rằng có tất cả 105 đường thẳng. Tính n? Đáp án đề số 11 Câu 1: (3đ). a. Vẽ được sơ đồ cho (1,5đ). - Số học sinh thích đúng 2 môn bóng đá và bơi: 14 – 10 = 4 (hs) - Số học sinh thích đúng hai môn bơi và bóng chuyền: 13 – 10 = 3 (hs). - Số học sinh thích đúng hai môn bóng đá và bóng chuyền: 15 – 10 = 5 (hs) - Số học sinh chỉ thích bóng đá: 20 – (4 + 10 + 5) = 1 (hs) - Số học sinh chỉ thích bơi: 17 – (4 + 10 + 3) = 0 (hs). - Số học sinh chỉ thích bóng chuyền: 36 – (5 + 10 + 3) = 18 (hs). Vậy: Số học sinh của lớp là: 1 + 0 + 18 + 4 + 10 + 5 + 3 + 12 + = 53 (hs). b. (1,5 đ)A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 58 59 60. * Từ 1 đến 9 có : 9 chữ số Từ 10 đến 60 có: 51 . 2 = 102 chữ số. Vậy: Số A có 9 + 102 = 111 chữ số. (0,5đ) * Nếu xóa 100 chữ số trong số A thì số A còn 11 chữ số. Trong số A có 6 chữ số 0 nhưng có 5 chữ số 0 đứng trước các chữ số 51 52 53 . 58 59 60. Trong số nhỏ nhất có 5 chữ số 0 đứng trước số nhỏ nhất là số có 6 chữ số. Số nhỏ nhất là 00000123450 = 123450 (0,5đ). * Trong số A có 6 chữ số 9. Nếu số lớn nhất có 6 chữ số 9 đứng liền nhau thì số đó là: 99999960 Số này chỉ có 8 chữ só không thỏa mãn. 24
5. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Số lớn nhất chỉ có 5 chữ số 9 liền nhau số đó có dạng 99999 . Các chữ số còn lại 78 59 60.Vậy số lớn nhất: 99999785860. Câu 2: (2,5đ). a.(1,5đ). A = 5 + 52 + + 596 5A =52 + 53 + + 596 + 597 97 5A – A = 597 - 5 A = 5 - 5 4 Tacó: 597 có chữ số tận cùng là 5 597 – 5 có chữ số tận cùng là 0. Vậy: Chữ số tận cùng của A là 0. b. (1đ). Có: 6n + 3 = 2(3n + 6) – 9 6n + 3 chia hết 3n + 6 2(3n + 6) – 9 chia hết 3n + 6 9 chia hết 3n + 6 3n + 6 = 1 ; 3 ; 9 3n + 6 - 9 - 3 - 1 1 3 9 n - 5 - 3 - 7/3 - 5/3 - 1 1 Vậy; Với n = 1 thì 6n + 3 chia hết cho 3n + 6. Câu 3: (2,5đ). a. (1đ). Gọi số tự nhiên cần tìm là a (a > 0, a N) Theo bài ra ta có: - a chia cho 3 dư 2 a – 2 chia hết cho 3 - a chia cho 4 dư 3 a – 3 chia hết cho 4 - a chia cho 5 dư 4 a – 4 chia hết cho 5 - a chia cho 10 dư 9 a – 9 chia hết cho 10 a = BCNN(3, 4, 5, 10) = 60. b.(1,5đ). 11n + 2 + 122n + 1 = 121 . 11n + 12 . 144n =(133 – 12) . 11n + 12 . 144n = 133 . 11n + (144n – 11n) . 12 Tacó: 133 . 11n chia hết 133; 144n – 11n chia hết (144 – 11) 144n – 11n chia hết 133 11n + 1 + 122n + 1 Câu 4: (2đ). nn 1 Số đường thẳng vẽ được qua n điểm: 105 2 n .(n – 1) = 210 = 2 . 5 . 3 . 7 = 10 . 14 n. (n – 1) = 6 . 35 = 15 . 14. Vì n và n – 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp nên: n = 14 Vậy n = 14. Đề số 12 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(2,25 điểm) Tìm x biết 17 45 a) x + b) x - c) (x – 32).45=0 5 25 9 11 Bài 2:(2,25 điểm) Tính tổng sau bằng cách hợp lý nhất: 25
6. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 A = 11 + 12 + 13 + 14 + + 20. B = 11 + 13 + 15 + 17 + + 25. C = 12 + 14 + 16 + 18 + + 26. Bài 3:(2,25 điểm) Tính: 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 A= B = 11.16 16.21 21.26 61.66 2 6 12 20 30 42 1 1 1 1 C = 1.2 2.3 1989.1990 2006.2007 Bài 4:(1 điểm) 102001 1 10 2002 1 Cho: A= ; B = . Hãy so sánh A và B. 102002 1 10 2003 1 Bài 5:(2,25 điểm) Cho đoạn thẳng AB dài 7cm. Trên tia AB lấy điểm I sao cho AI = 4 cm. Trên tia BA lấy điểm K sao cho BK = 2 cm. c) Hãy chứng tỏ rằng I nằm giữa A và K. d) Tính IK. Đáp án đề số 12 Bài 1:(2,25 điểm) 7 1 2 5 4 45 44 89 a) x= ; b) x= ; c) x = 32 25 5 25 11 9 99 99 Bài 2:(2,25 điểm) Tính tổng sau bằng cách hợp lý nhất: a) A = (11 + 20) + (12 + 19) + (13 + 18) + (14 + 17) + (15+ 16) = 31 + 31 + 31 +31+ 31 = 31.5= 155 b) B = (11+25)+(13+23)+(15 + 21)+(17 +19) = 36.4 = 144. c) C = (12 +26)+(14+24)+(16 +22)+(18 +20) = 38.4 = 152. Bài 3:(2,25 điểm) Tính: 111111 11115 A= 11 16 16 21 21 26 61 66 11 66 66 11111111111 16 B= 11 22334455667 77 1 1 1 1 1 1 1 1 2006 C = 1 1 2 2 3 1989 1990 2006 2007 2007 2007 Bài 4:(1 điểm) 102002 10 9 Ta có: 10A = = 1 + (1) 102002 1 10 2002 1 102003 10 9 Tương tự: 10B = = 1 + (2) 102003 1 10 2003 1 99 Từ (1) và (2) ta thấy : 10A > 10B A > B 102002 1 10 2003 1 Bài 5:(2,25 điểm) A a) Trên tia BA ta có BK = 2 cm. BA = 7cm nên BK< BA do đó điểm K nằm giữa A và B. Suy ra AK + KB = AB hay AK + 2 = 7 AK = 5 cm. Trên tia AB có điểm I và K mà AI < AK (và 4 <5) nên điểm I nằm giữa A và K b) Do I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK. Hay 4 + IK = 5 IK = 5 – 4 = 1. 26
7. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Đề số 13 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1: ( 3 điểm) a. Chứng tỏ rằng tổng sau không m chia hết cho 10: A = 405n + 2405 + m2 ( m,n N; n ≠ 0 ) b. Tìm số tự nhiên n để các biểu thức sau là số tự nhiên: 2n 2 5 n 17 3 n B = n 2 n 2 n 2 c. Tìm các chữ số x ,y sao cho: C = x1995y chia hết cho 55 Bài 2 (2 điểm ) 10 10 10 10 a. Tính tổng: M = 56 140 260 1400 3 3 3 3 3 b. Cho S = . Chứng minh rằng : 1 n+2 ư ( 18) = 1;2;3;6;9;18 (0,25đ) +, n + 2= 1 n= - 1 (loại) +, n + 2= 2 n= 0 +, n + 2= 3 n= 1 +, n + 2= 6 n= 4 27
8. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 +, n + 2= 9 n= 7 +, n + 2= 18 n= 16 Vậy n 0;1;4;7;16 thì B N (0,25đ) c. (1 điểm) Ta có 55 =5.11 mà (5 ;1) = 1 (0,25đ) C5 1 Do đó C = x1995y 55 (0.25đ) C11 2 (1) => y = 0 hoặc y = 5 +, y= 0 : (2) => x+ 9+5 – ( 1+9 +0) 11 => x = 7 (0,25đ) +, y =5 : (2) = > x+9 +5 – (1+9+5 )  11 => x = 1 (0,25đ) Baì 2 (2 điểm) a( 1điểm) 10 10 10 10 5 5 5 5 M = = (0,25đ) 56 140 260 1400 4.7 7.10 10.13 25.28 5 1 1 1 1 1 1 1 1 = . (0,25đ) 3 4 7 7 10 10 13 25 28 5 1 1 5 6 5 = . . (0,5đ) 3 4 28 3 28 14 b. (1 điểm) 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 S = => S > 1 (1) (0,5đ) 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 15 20 S= => S 1 BN ( 2 > 1) => N năm giữa B và M. ( 0,25đ) MN = BM – BN = 1 cm = BN.=> N là đường trung điểm của BM . (0,5đ). c. Đường tròn tâm N đi qua B nên CN = NB = 1 cm (0,25đ) Đường tròn tâm A đi qua N nên AC = AN = AM + MN = 4 cm (0.25đ) Chu vi ΔCAN = AC + CN = NA = 4 + 4+1= 9 (cm) (0,5đ) 28
9. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Đề số 14 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) 2 1 1 x y Bài 1( 2 điểm): a)Tìm x biết: x 0 b) Tìm x, y N biết 2 + 624 = 5 3 4 Bài 2( 2 điểm): 22 51 20092009 1 20092010 2 a) So sánh: và b) So sánh: A và B 45 103 20092010 1 20092011 2 Bài 3( 2 điểm): Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng khi chia số đó cho các số 25 ; 28 ; 35 thì được các số dư lần lượt là 5 ; 8 ; 15. Bài 4( 2 điểm): Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn , nếu dùng cả máy một và máy hai thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy, dùng máy hai và máy ba thì sau 1 giờ 30 phút bể sẽ đầy còn nếu dùng máy một và máy ba thì bể sẽ đầy sau 2 giờ 24 phút. Hỏi nếu mỗi máy bơm được dùng một mình thì bể sẽ đầy sau bao lâu? Bài 5( 2 điểm): Cho góc tù xOy. Bên trong góc xOy, vẽ tia Om sao cho góc xOm bằng 900 và vẽ tia On sao cho góc yOn bằng 900. c) Chứng minh góc xOn bằng góc yOm. d) Gọi Ot là tia phân giác của góc xOy.Chứng minh Ot cũng là tia phân giác của góc mOn. Đáp án đề số 14 Bài 1( 2 điểm): 2 1 1 a)- Từ giả thiết ta có: x (1) (0,25đ) 3 4 1 1 1 1 x hoặc x (0,25đ) 3 2 3 2 5 1 - Từ đó tìm ra kết quả x = ; x (0,5đ) 6 6 b) Nếu x = 0 thì 5y = 20 + 624 = 1 + 624 = 625 = 54 y = 4 ( y N) (0,5đ) Nếu x 0 thì vế trái là số chẵn, vế phải là số lẻ với mọi x, y N : vô lý (0,25đ) Vậy: x = 0, y = 4 (0,25đ) Bài 2( 2 điểm): 22 22 1 51 51 22 51 22 51 a) (1đ) 45 44 2 102 101 45 101 45 101 20092010 2 20092010 2 2009 2010 2 2011 2009 2010 2009 b) B1 B 20092011 2 20092011 2 2009 2011 2 2011 2009 2011 2009 2009(20092009 1) 2009 2009 1 A . Vậy: A > B (1đ) 2009(20092010 1) 2009 2010 1 Bài 3( 2 điểm): Gọi số tự nhiên phải tìm là x. 29
10. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 - Từ giả thiết suy ra (x 20) 25 và (x 20) 28 và (x 20) 35 x+ 20 là bội chung của 25; 28 và 35. (0,5đ) - Tìm được BCNN (25; 28; 35) = 700 suy ra (x + 20) = k.700 kN . (0,5đ) - Vì x là số tự nhiên có ba chữ số suy ra x 999 x 20 1019 k = 1 (0,5đ) x + 20 = 700 x = 680. (0,5đ) Bài 4( 2 điểm): 4 Máy một và máy hai bơm 1 giờ 20 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy một và 3 3 hai bơm được bể . (0,25đ) 4 Máy hai và máy ba bơm 1 giờ 30 phút hay 3 giờ đầy bể nên một giờ máy hai và ba 2 2 bơm được bể. (0,25đ) 3 12 Máy một và máy ba bơm 2 giờ 24 phút hay giờ đầy bể nên một giờ máy một và ba 5 5 bơm được bể. (0,25đ) 12 3 2 5 11 Một giờ cả ba máy bơm :2 bể. (0,25đ) 4 3 12 12 11 3 1 Một giờ:máy ba bơm được bể . Máy ba bơm một mình 6 giờ đầy bể 12 4 6 (0,25đ) 11 2 1 máy một bơm được bể Máy một bơm một mình 4 giờ đầy bể (0,25đ) 12 3 4 11 5 1 máy hai bơm được bể Máy hai bơm một mình 2 giờ đầy bể(0,25 đ) 12 12 2 Kết luận x (0,25 đ) Bài 4( 2 điểm): Hình vẽ (0,25đ) a)Lập luận được: xÔm + mÔy = xÔy hay:900 +mÔy = xÔy (0,25đ) yÔn + nÔx = xÔy hay:900 + nÔx = xÔy (0,2đ) xÔn = yÔm (0,25 đ) b) Lập luận được : xÔt = tÔy (0,25đ) xÔt = xÔn + nÔt (0,25đ) tÔy = yÔm + mÔt (0,25đ) nÔt = mÔt (0,25đ) Ot là tia phân giác của góc mOn 30
11. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 ĐỀ SỐ 15 Thời gian làm bài: 120 phút. Bài 1: (6,0 điểm).Tính nhanh: 32 32 32 32 a) A = 1.4 4.7 7.10 97.100 b) B = (-528) + (-12) + (-211) + 540 + 2225 1 3 32 3 3 3 2012 c) M = 32014 3 2 2 2 2 2 2 d) D = 20 30 42 56 72 90 5 11 11 5 e) So sánh: N = và M = 102005 10 2006 102005 10 2006 Bài 2: (3,0 điểm) Cho S = 1 – 3 + 32 – 33 + + 398 – 399. a) Chứng minh rằng S là bội của -20. b) Tính S, từ đó suy ra 3100 chia cho 4 dư 1. Bài 3: (5,0 điểm). d) Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 504 và ƯCLN của chúng bằng 42 e) Tìm a N để a + 1 là bội của a – 1 f) Cho K = 1028 + 8. Chứng minh rằng K chia hết cho 72 Bài 4: (4,0 điểm). Trên đường thẳng AM lấy một điểm O (O nằm giữa A và M). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AM vẽ các tia OB, OC sao cho: góc MOC = 1150; góc BOC = 700. Trên nửa mặt phẳng đối diện dựng tia OD (D không cùng nằm trong nửa mặt phẳng với B,C qua bờ là AM) sao cho góc AOD = 450. a) Tia OB nằm giữa hai tia OM, OC không? vì sao? b) Tính góc MOB và góc AOC ? c) Chứng tỏ rằng 3 điểm D, O, B thẳng hàng. Bài 5: (2,0 điểm). Trong mét cuéc thi cã 50 c©u hái. Mçi c©u tr¶ lêi ®óng ®•îc 20 ®iÓm, cßn tr¶ lêi sai bÞ trõ 15 ®iÓm. Mét häc sinh ®•îc tÊt c¶ 650 ®iÓm. Hái b¹n ®ã tr¶ lêi ®•îc mÊy c©u ®óng ? Họ và tên thí sinh: Số báo danh: (Thí sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi) Nội dung Điểm Bài 1 (6,0 điểm) 3 3 3 3 A = = 3.( ) 1.4 4.7 7.10 97.100 2đ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 297 = 3.( ) 3. 3. 1 4 4 7 7 97 100 1 100 100 100 b) B = (-528) + (-12) +(-211)+ 540+2225 2.0đ B = (-528+(-12)+540)+(-211+211)+2014. Vậy B = 2014 31
12. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Nội dung Điểm 1 3 32 3 3 3 2012 c) M = 32014 3 1.0 đ - Đặt A = 1+3+32+33 + +32012 - Tính được A = 32013 – 1 - Đặt B = 32014 – 3 0.5đ - Tính được B = 3.(32013 – 1) 1 0.5đ - Tính được M = 3 Bài 2 3 điểm Tổng S có 100 số hạng chia thành 25 nhóm , mỗi nhóm có 4 số hạng : 1 đ S= 1 – 3 + 32 – 33 + + 398 – 399 = (1 – 3 + 32 – 33) + (34 – 35 + 36 – 37) + +(396 – 397 + 398 – 399) = ( - 20 ) + 34( - 20 ) + + 396( - 20 )  -20 Vậy S  -20 1 đ) b) S= 1 – 3 + 32 – 33 + + 398 – 399 0.5 đ 3S = 3 – 32 + 33 – 34 + +399 – 3100 Cộng từng vế của 2 đẳng thức ta được : 0.5đ 1 3100 3S + S = ( 3+1 ) S = 4S = S là một số nguyên nên 1 – 3100 4 4 hay 3100 – 1 4 3100 chia cho 4 dư 1 Bài 3a) gọi a,b là hai số cần tìm a, b N*,a>b, a = 42a’, b =42b’ trong đó a’, 0.5đ b’ N* [a’,b’]=1 vì a>b nên a’>b’ a+b=504 suy ra a’+b’ = 12 có các cặp a’,b’ thỏa mãn là (11;1);(7;5) 0.5đ suy ra các cặp số thảo man bài toán là (462;42); (294;210) n 1 n 12 2 đ b) Để a +1 là bội của a -1 nên thì là số nguyên 1 n 1 nn 11 a -1 = {-1,1,2} nên a ={0,2,3} 2 đ c) Lập luận được K chia hết cho 9 vì tổng các chữ số là 9 và chia hết cho 8 vì ba chữ số tận cùng là 008. Vậy K chia hết cho 72 Bài 4 4 điểm a) Nếu OB nằm giữa 2 tia OA, OC thì ta có : 1.0đ B MOC COB MOB C MOB= 1850 > 1800 (vô lý) Vậy OB nằm giữa 2 tia OM, OC. M A O D 32
13. Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 6 Nội dung Điểm b) Do tia OB nằm giữa 2 tia OM, OC nên : 0.5đ MOB BOC MOC MOB MOC BOC= 1150 - 700 = 450 0.5đ Hai góc AOC, COM là 2 góc kề bù nên : 0.5đ AOC COM= 1800 AOC 1800 COM 180 0 115 0 65 0 c) Hai góc AOBvà BOM là 2 góc kề bù AOB BOM 1800 0.5đ AOB=1800- 450 = 1350 Hai góc DOA và AOB là góc có cạnh chung OA. Còn 2 cạnh OD, OB 0.5đ nằm trong 2 nửa mặt phẳng đối nhau bờ AM nên : DOA AOB= 450 + 1350 = 1800 OD, OB là 2 tia đối nhau. D, O, B thẳng hàng. Bµi 5. NÕu b¹n ®ã tr¶ lêi ®•îc 50 c©u th× tæng sè (0,25 đ)2 ®iÓm lµ 50 x 20 = 1.000 (®iÓm) Nh•ng b¹n chØ ®•îc 650 ®iÓm cßn thiÕu 1.000 – 650 = 350 (®iÓm). ThiÕu 350 ®iÓm v× trong sè 50 c©u b¹n ®· tr¶ lêi sai mét sè c©u. Gi÷a c©u tr¶ lêi ®óng vµ tr¶ lêi sai chªnh lÖch nhau 20 + 15 = 35(®iÓm). Do ®ã c©u tr¶ lêi sai cña b¹n lµ 350:35 =10 (c©u) VËy sè c©u b¹n ®· tr¶ lêi ®óng lµ 50 – 10 = 40 (c©u) 33