10 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

Nội dung text: 10 Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VĨNH YÊN NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giaođề) (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1. (4 điểm) 212.35 46.92 510.73 255.492 a) Thực hiện phép tính: A 6 3 9 3 22.3 84.35 125.7 5 .14 b) Tính S 2100 299 298 22 2 1 2 3 2019 c) Chứng tỏ: 0,75 3 32 33 32019 Câu 2. (4 điểm) a b c b c a c a b a) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn : và a+b+c 0 c a b b a c Hãy tính giá trị của biểu thức: B 1 1 1 . a c b b) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5,6,7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4,5,6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. 2017x 2018y 2019z c) Cho ba số x,y, z tỉ lệ với 3,4,5. Tính P 2017x 2018y 2019z Câu 3. (4 điểm) a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2x 2 2x 2013 với x là số nguyên. b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình x y z xyz . Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC. Trên tia đối của tia CA lấy điểm D sao cho CD = AB. Gọi P,Q là trung điểm của AD, BC, và I là giao điểm các đường vuông góc với AD và BC tại P và Q. a) Chứng minh ∆AIB = ∆DIC b) Chứng minh AI là tia phân giác của góc BAC. 1 c) Kẻ IE vuông góc với AB, chứng minh AE AD . 2 Câu 5. (2 điểm) Cho biết xyz=1 x y z Tính giá trị A = xy x 1 yz y 1 xz z 1 Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD: Trang 1
2. PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG VĨNH YÊN NĂM HỌC 2022-2023 Môn thi: TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC ( Đáp án gồm có 03 trang) Câu Phần Nội dung Điểm a 212.35 46.92 510.73 255.492 A 2đ 6 3 9 3 22.3 84.35 125.7 5 .14 Câu 1 10 (4 điểm) 212.35 212.34 510.73 5 .74 212.36 212.35 59.73 59.23.73 0,5 212.34. 3 1 510.73. 1 7 212.35. 3 1 59.73. 1 23 0,5 212.34.2 510.73. 6 1 10 7 212.35.4 59.73.9 6 3 2 1 b S =(-3)0+(-3)1 + (-3)2+(-3)3+ + (-3)2015. 0.5 2đ -3S = (-3).[(-3)0+(-3)1+(-3)2 + +(-3)2015] = (-3)1+ (-3)2+ +(-3)2016] 0.5 1 2 2016 0 1 2015 -3S – S = [(-3) + (-3) + +(-3) ]-(3) -(-3) - -(-3) . 0.5 -4S = (-3)2016 -1. ( 3)2016 1 32016 1 1 32016 0.5 S = = 4 4 4 +Vì a+b+c 0 a Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có: 1,5 đ a b c b c a c a b = a b c b c a c a b = 1 0.5 c a b a b c Câu 2 a b c b c a c a b mà 1 1 1 = 2 ( 4 điểm ) c a b 0.5 a b b c c a => =2 c a b 0.5 b a c b a c a b c Vậy B = 1 1 1 ( )( )( ) =8 a c b a c b b Gọi tổng số gói tăm 3 lớp cùng mua là x ( x là số tự nhiên khác 0) 1,5 đ Số gói tăm dự định chia cho 3 lớp 7A, 7B, 7C lúc đầu lần lượt là: a, b, c a b c a b c x 5x 6x x 7 x Ta có: a ;b ; c (1) 5 6 7 18 18 18 18 3 18 0.5 Số gói tăm sau đó chia cho 3 lớp lần lượt là a’, b’, c’, ta có: a , b, c, a , b, c, x 4x 5x x 6x a , ;b, ;c, (2) 4 5 6 15 15 15 15 3 15 So sánh (1) và (2) ta có: a > a’; b=b’; c < c’ nên lớp 7C nhận nhiều hơn lúc đầu 0.5 6x 7 x x Vây: c’ – c = 4 hay 4 4 x 360 15 18 90 Trang 2
3. Vậy số gói tăm 3 lớp đã mua là 360 gói. 0.5 c 5z 6y 6x 4z 4y 5x Từ 1 đ 4 5 6 20z 24y 30x 20z 24y 30x => 0.5 16 25 36 =>10z = 12y = 15x x y z 3x 2y 5z => => và 3x – 2y + 5z = 96 4 5 6 12 10 30 Giải ra ta được x = 12; y = 15; z = 18 0.5 0.5 1) Ta có: A 2x 2 2x 2013 2x 2 2013 2x a 2đ 2x 2 2013 2x 2011 0.5 Câu 3 2013 Dấu “=” xảy ra khi (2x 2)(2013 2x) 0 1 x (4 điểm) 2 0.5 KL: 0.5 b 2) Vì x,y,z nguyên dương nên ta giả sử 1 x y z 2đ 0.25 1 1 1 1 1 1 3 0.5 Theo bài ra 1 = + + + + = yz yx zx x2 x2 x2 x2 => x 2 3 => x = 1 Thay vào đầu bài ta có 1 y z yz => y – yz + 1 + z = 0 => y(1-z) - ( 1- z) + 2 =0 => (y-1) (z - 1) = 2 TH1: y -1 = 1 => y =2 và z -1 = 2 => z =3 0.5 0.25 TH2: y -1 = 2 => y =3 và z -1 = 1 => z =2 0.25 Vậy có hai cặp nghiệp nguyên thỏa mãn (1,2,3); (1,3,2) 0.25 A P B C 0,5 Câu 4 E (6 điểm ) D I Trang 3
4. a Ta có IB = IC, IA = ID 1 2đ Lại có AB = CD (gt) 0,5 Do đó ∆AIB = ∆DIC (c.c.c) 0,5 b CM: DAI = D 0,5 1,5đ ∆AIB = ∆DIC (câu a), suy ra BAI = D 0,5 Do đó DAI = BAI. 0,5 Vậy AI là tia phân giác của góc BAC c Kẻ IE AB, ta có ∆AIE = ∆AIP 0,5 => AE = AP 0,5 2đ Mà AP = ½ AD (vì P là trung điểm AD) 0,5 1 Suy ra AE AD 0,5 2 Câu 5 + + = ( 2 điểm ) + + 1 + + 1 + + 1 1 xz xyz z 2 xyz xz z xyz xyz xz xz z 1 1 x z x y z z x y z x z 1 = 1 1 x z z z 1 x z x z z 1 x y z x z 1 Lưu ý .Học sinh có cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa. PHÒNG GD & ĐT DIỄN CHÂU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG VÒNG 1 LIÊN TRƯỜNG THCS NĂM HỌC 2022-2023 ĐỀ CHÍNH THỀC MÔN THI: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4,5 điểm) 1. Tính giá trị biểu thức: 2 3 4 5 4 3 5 1 1 1 a) : : ; b) 6. 3. 1 : ( 1 7 11 11 7 11 11 3 3 3 2 2 1 1 0,4 0,25 2022 c) 9 11 3 5 : 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 2023 9 11 6 Câu 2. (4,0 điểm) x x 2 a) Tìm x biết: 2 .3 3 99 ; 1+3y 1+5y 1+7y b) Tìm x, y biết: ; 12 5x 4x c) Tìm số tự nhiên x, y biết: 7(x 2023)2 23 y2 Câu 3. (4,5 điểm) a) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3, biết p + 2 cũng là số nguyên tố. Chứng tỏ rằng p + 1 chia hết cho 6. Trang 4
5. 236.312. 3 1 510.73. 1 7 2.236.312 59.73. 1 23 510.73. 6 1 0.5 59.73.9 10 7 1 0.25 3 3 1b 1đ 10 5 5 3 3 2 1 1 1 1 3 155 0,9 5 31 3 7 11 23 5 13 7 11 23 5 13 10 B 0.75 26 13 13 7 3 2 1 1 1 1 3 403 0,2 13 31 7 11 23 91 10 7 11 23 5 13 10 5 34 3 13 13 0.25 2 Ta có : (a -3)2 0 với mọi a, (3b +1)100 0 với mọi b 2đ suy ra (a -3)2022 +(3b +1)2024 0 với mọi a, b do đó từ 0.5 (a -3)2022 +(3b +1)2024 0 suy ra (a -3)2022 =0 và (3b +1)2024 =0 1 suy ra a=3, b= 0.5 3 1 Thay a=3, b= vào biểu thức ta có: 3 2 2 2 2 1 1 P= 28a b- 9ab = 28.3 . 9.3. 84 3 81 1.0 3 3 Bài 2: Phần đề bài 4đ 4đ a c b2 a2 b a 1) Cho . Chứng minh rằng: c b a2 c2 a 1+3y 1+5y 1+7y 2) Tìm x, y biết 12 5x 4x 3) Trường THCS CVA dự định trao quà tết cho học sinh nghèo ba khối 6; 7; 8 tỉ lệ với 3; 4; 5. nhưng sau đó vì số học sinh các khối được nhận quà thay đổi nên chia lại tỉ lệ với 2; 3; 4. Như vậy có một khối nhận được nhiều hơn so với dự định là 1 xuất quà. Tính tổng số xuất quà mà nhà trường đã phân chia cho các khối. 1 a c a2 c2 a2 ab a a b a b2 c2 b Từ c2 ab khi đó 1đ c b b2 c2 b2 ab b b a b a2 c2 a 0.5 b2 c2 b b2 c2 b b2 a2 b a 1 1 Từ a2 c2 a a2 c2 a a2 c2 a b2 a2 b a Vậy 2 2 0.5 a c a 2 * Điều kiện: x khác 0 1đ - Ta thấy y = 0 không thoả mãn yêu cầu đề bài. 0.25 - Nếu y khác 0 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau. Trang 26
6. 1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y 12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12 2y 2y => x 5x 12 => -x = 5x -12 => x = 2. Thay x = 2 vào dãy trên ta được. 1 3y 2y 0.25 y 12 2 =>1+ 3y = -12y 0.25 => 1 = -15y => y = 1 15 Vậy x = 2, y = 1 thoả mãn 15 0.25 3. 3) Gọi tổng số xuất quà ba khối nhận được là x( x∈N*) 2đ Số xuất quà dự định trao cho ba khối 6, 7,8 lần lượt là a, b, c a b c a b c x x x 5 (a,b,c ∈N*) ta có: a ,b ,c x (1) 0.75 3 4 5 3 4 5 12 4 3 12 Số xuất quà sau đó trao cho ba khối lớp 6, 7,8 lần lượt là m, n, p m n p m n p x 2 x 4 (m, n, p∈N*)ta có: m x,n ,p x (2) 0.5 2 3 4 2 3 4 9 9 3 9 So sánh (1) và (2) ta có a>m, b=n, c<p nên khối 8 nhận nhiều hơn lúc 0.25 đầu suy ra p-c =1 4 5 1 suy ra x x 1 x 1 x 36 9 12 36 Vậy số quà của ba khối 6, 7,8 là 36 xuất. 0.5 Bài 3: Phần đề bài 4đ (4đ) 1) Cho x, y là các số nguyên dương thỏa mãn x2 + y2 – x chia hết cho xy. Chứng minh rằng: x là số chính phương 2) Tìm các cặp số nguyên x, y thoả mãn: x2 + xy + 3x + 2y = 1 1 1) 1) Đặt (x, y) =d, ta có: x = dm, y = dn, với m, n là các số 2đ nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Theo đề bài cho ta có: 0.25 x2 y2 xxy d 2m2 d 2n2 dmd 2mn 0.25 md 1 0.75 dm2 dn2 mdmn 2 dn m 2 Vì (m,n)=1 nên (m, n2) = 1 nên từ (2) ta có: dm (3) 0.5 Từ (1) và (3) ta có: m = d Vậy x = dm = d2 là số chính phương (đpcm) 0.25 2 2) Ta có: x2 xy 3x 2y 1 x 2 x y 1 3 0.5 2đ Do x, y nguyên x 2; x y 1 nguyên Mà 3 1.3 3.1 3 . 1 1 . 3 1.25 Trang 27
7. Vậy nghiệm nguyên dương x; y của phương trình là: 1;3 , 1; 1 , 3; 1 , 5;3 0.25 Bài 4: Phần đề bài 6đ (6đ) 1) Cho tam giác ABC có AB < AC. Gọi M là trung điểm của BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc BAC tại N và cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng: a) AE = AF; b) BE = CF 2) Cho tam giác ABC có A· BC 700 ,A· CB 500 . Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho A· BM 200 . Trên cạnh AB lấy điểm N sao cho A· CN 100 .Gọi P là giao điểm của BM và CN. Chứng minh rằng MN = 2PM. 1a A 2đ x K F 1 2 B M N C E - Xét ANE và ANF có : E· AN F· AN ( Vì AN là phân giác) AN cạnh chung (gt) A· NE A· NF( 900 ) Suy ra : ANE = ANF (g – c - g) 2.0 AE = AF (2 cạnh tương ứng) 1b b) 2đ - Từ C kẻ tia Cx // AB, cắt tia EF tại K - Xét BME và CMK có : MB = MC (gt) B· ME C· MK (đối đỉnh) B· EM C· KM (so le trong) Suy ra: BME = CMK (g – c - g) 1.0 BE = CK (2 cạnh tương ứng) (1) µ µ - Vì AE = AF nên tam giác AEF cân tại A, suy ra: E F1 µ µ µ µ Mà: F1 F2 (đối đỉnh) và E K (so le trong) µ µ Suy ra: F2 K tam giác CFK cân tại C CF = CK (2) Từ (1) và (2) suy ra: BE = CF (đpcm) 1.0 Trang 28
8. 2 A Q 2đ N I M P ° ° °10 1010° 10 500 400 B C Dựng tam giác đều BCQ ( Q, A cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC) Từ giả thiết bài toán có 0 M· BC M· CB 50 0.5 Suy ra MBC cân tại M => MB = MC, kết hợp với QB = QC có QMB QMC(c.c.c) 0.5 dẫn đến M· QC M· QB 300 (1) vì N· BC 700 , N· CB 400 nên B· NC 700 từ đó CNB cân tại C 0.5  CN = CB= CQ. Xét hai tam giác CMN và CMQ có CN=CQ, CM chung N· CM Q· CM 100 do đó CMN CMQ (c.g.c) Từ (1) có M· NC M· QC 300 (2) Cũng từ giả thiết bài ra ta thấy MNP vuông cân tại P; gọi I là trung điểm của MN thì do M· NC 300 ( theo (2) ) suy ra MIP đều => PM = IM = 1 MN, hay MN = 2PM ( đpcm) 0.5 2 Bài 5: Phần đề bài 2đ 2đ Cho các số không âm a, b, c thỏa mãn : a +3c =2021 và a+2b =2022 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a+ b +c. Ta có : a +3c =2021 (1) và a+2b =2022 (2) Từ (1) suy ra a =2021- 3c 0.5 3c 1 Lấy (2) trừ (1) ta có: 2b-3c =1 suy ra b = 0.5 2 3c 1 1 1 Ta có: P = a +b+c= 2021 -3c+ +c = 2021 - c 2 2 2 0.75 1 1 1 vì a, b, c là các số không âm nên P = 2021 - c 2021 2 2 2 Trang 29
9. 1 0.25 Vậy P có giá trị lớn nhất bằng 2021 khi c =0. 2 Tổng 12 20điểm PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG TH&THCS . Năm học 2022 - 2023 Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề kiểm tra gồm 01 trang) Bài 1. (4,0 điểm) 2 2 2 2 1 3 5 7 49 a) Tính giá trị của biểu thức sau: A . 4.9 9.14 14.19 44.49 623 1 1 1 1 1 b) Cho B 2 1 . 2 1 . 2 1 2 1 . Hãy so sánh B với . 2 3 4 100 2 Bài 2. (3,0 điểm) a) Tìm x, biết: x 4 x 3 x 4 x 13 0 b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: a b 2023c b c 2023a c a 2023b . Hãy tính giá trị của biểu thức c a b b a c C 1 1 1 . a c b Bài 3. (3,0 điểm) a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn (x – 1) 2022 + (2y – 1)2022 + |x + 2y – z|2023 = 0. Chứng minh rằng x = y. z. b) Cho biểu thức P x99 100x98 100x97 100x96 100x 1. Tính giá trị biểu thức P với x = 99. Bài 4. (3,0 điểm) a) Một đội công nhân có 38 người, được chia thành ba nhóm I, II, III. Nếu thêm 2 người vào nhóm I, thêm 3 người vào nhóm II và bớt 4 người của nhóm III thì số công nhân của ba nhóm I, II, III tỉ lệ nghịch với các số 4; 3; 2. Tìm số công nhân của mỗi nhóm. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau K= 3x - 2y 2 - 4y - 6x 2 - x + y - 5 Bài 5. ( 6,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Từ O kẻ OF vuông góc với BC, OH vuông góc với AC (F thuộc BC, H thuộc AC). Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a) Chứng minh tam giác FCH cân ; b) Chứng minh AK = KI ; c) Chứng minh 3 điểm B, O, K thẳng hàng. Bài 6. (1,0 điểm) Cho a, b, c, d là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E x a x b x c x d . Trang 30
10. Hết Họ và tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn Toán 7. Năm học 2022 – 2023 Bài 1. (4,0 điểm) 2 2 2 2 1 3 5 7 49 a) Tính giá trị của biểu thức sau: A . 4.9 9.14 14.19 44.49 623 1 1 1 1 1 b) Cho B 2 1 . 2 1 . 2 1 2 1 . Hãy so sánh B với . 2 3 4 100 2 Biểu Bài Nội dung điểm 1 2 2 2 2 1 3 5 7 49 Ta có A . 4.9 9.14 14.19 44.49 623 2 2 2 2 2 (1 3 5 7 49) . 4.9 9.14 14.19 44.49 623 0,25 2 2 2 2 * 4.9 9.14 14.19 44.49 2 5 5 5 5 . 0,25 5 4.9 9.14 14.19 44.49 2 1 1 1 1 1 1 1 1 . 5 4 9 9 14 14 19 44 49 2 1 1 . 5 4 49 0,25 2 45 . 5 4.49 9 98 0,25 * 1 3 5 7 49 (có 25 số hạng) 49 1 .25 0,25 2 25.25 625 0,25 Do đó 2 2 2 2 2 (1 3 5 7 49) A . 4.9 9.14 14.19 44.49 623 9 2 625 . 98 623 Trang 31
11. 9 623 0,25 . 98 623 9 98 9 0,25 Vậy A 98 b) B là tích của 99 số âm, do đó: 0,25 1 1 1 1 B 1 1 1 1 2 4 9 16 100 0,25 1.3 2.4 3.5 99.101 B . . 0,25 22 32 42 1002 1.2.3.4 98.99 3.4.5 100.101 B . 0,25 2.3.4 99.100 2.3.4 99.100 1 101 B . 100 2 0,25 101 B 200 0,25 101 100 1 1 Vì nên B 200 200 2 2 0,25 1 1 B . Vậy B 2 2 0,25 Bài 2. (3,0 điểm) a) Tìm x, biết: x 4 x 3 x 4 x 13 0 b) Cho a, b, c là ba số thực khác 0, thoả mãn điều kiện: a b 2023c b c 2023a c a 2023b . Hãy tính giá trị của biểu thức c a b b a c C 1 1 1 . a c b Biểu Bài Nội dung điểm a) x 4 x 3 x 4 x 13 0 x 3 10 0,25 x 4 1 x 4 0 2 x 3 10 x 4 0 hoặc 1 x 4 0 0,25 x 3 x 4 0 x 4 0 (Điều kiện x + 3 0) 0,25 0,25 x 4 10 1 x 4 0 10 x 4 1 Trang 32
12. x 4 1 hoặc x 4 1 0,25 x 5 hoặc x 3 Vậy x = 3, x = 4, x = 5. 0,25 a b 2023c b c 2023a c a 2023b b) Ta có c a b a b 2023c b c 2023a c a 2023b 2024 2024 2024 c a b a b c b c a c a b 0,25 c a b + Nếu a+b+c 0 thì a = b = c. 0,25 b a c 0,25 C 1 1 1 2.2.2 8 a c b + Nếu a+b+c = 0 thì a + b = -c; a + c = -b; b + c = -a 0,25 b a c C 1 1 1 a c b a b a c c b a c b ( a).( b).( c) a.b.c 0,25 1 Vậy C = 8 hoặc C = -1 0,25 Bài 3. (3,0 điểm) a) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn (x – 1) 2022 + (2y – 1)2022 + |x + 2y – z|2023 = 0. Chứng minh rằng x = y. z. b) Cho biểu thức P x99 100x98 100x97 100x96 100x 1. Tính giá trị biểu thức P với x = 99. Biểu Bài Nội dung điểm a) Ta có: (x – 1)2022 0  x (2y – 1)2020 0  y |x + 2y – z|2023 0  x, y, z 0,25 (x – 1)2022 + (2y – 1)2022 + |x + 2y – z|2023 0  x, y, z 3 Mà (x – 1)2022 + (2y – 1)2022 + |x + 2y – z|2022 = 0 nên dấu 0,25 x – 1 2022 0 2022 "=" xảy ra khi 2y – 1 0 x 2y – z 2023 0 0,25 Trang 33
13. x 1 x 1 1 1 y y 2 2 1 z 2 1 2. – z 0 2 x = y.z (đều bằng 1) (đpcm) 0,5 0,25 b) P x99 100x98 100x97 100x96 100x 1 P x99 99x98 x98 99x97 x99 99x96 x96 99x x 1 0,25 P x98 (x 99) x97 (x 99) x96 (x 99) x(x 99) (x 1) 0,25 P (x 99)(x98 x97 x96 x) (x 1) 0,25 Với x = 99, ta có: P (99 99)(9998 9997 9996 99) (99 1) 0,25 98 0,25 Vậy P = 98 với x = 99 0,25 Bài 4. (3,0 điểm) a) Một đội công nhân có 38 người, được chia thành ba nhóm I, II, III. Nếu thêm 2 người vào nhóm I, thêm 3 người vào nhóm II và bớt 4 người của nhóm III thì số công nhân của ba nhóm I, II, III tỉ lệ nghịch với các số 4; 3; 2. Tìm số công nhân của mỗi nhóm. b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau K= 3x - 2y 2 - 4y - 6x 2 - x + y - 5 Biểu Bài Nội dung điểm a) Gọi số công nhân của ba nhóm I, II, III lần lượt là x, y, z (người) 0,25 (x, y, z N* và x, y, z < 38). Vì đội công nhân có 38 người x + y + z = 38. 0,25 Nếu thêm 2 người vào nhóm I, thêm 3 người vào nhóm II và bớt 4 người của nhóm III thì số công nhân của ba nhóm I, II, III tỉ lệ 0,25 nghịch với các số 4; 3; 2 4 4(x + 2) = 3(y + 3) = 2(z -4) 4 x + 2 3 y +3 2 z -4 x + 2 y +3 z -4 = = = = = 12 12 12 3 4 6 0,25 x + 2+ y +3+ z -4 x + y + z +1 39 = = = = 3 0,25 3+ 4+6 13 13 Tìm được x=7, y = 9, z = 22 (thỏa mãn x, y, z N* và x, y, z < 38) Vậy số công nhân của ba nhóm I, II, III lần lượt là 7, 9, 22 (người) 0,25 b) Ta có Trang 34
14. K = 3x - 2y 2 - 4y - 6x 2 - x + y - 5 = 3x - 2y 2 - 4. 2y - 3x 2 - x + y - 5 3x - 2y 2 - 4. 3x - 2y 2 - x + y - 5 0,25 = - 3. 3x - 2y 2 - x + y - 5 = - 3. 3x - 2y 2 + x + y - 5 0,25 Ta có 3. 3x - 2y 2 0 với mọi giá trị của x, y x + y - 5 0 với mọi giá trị của x, y 2 Do đó 3. 3x - 2y + x + y - 5 0 với mọi giá trị của x, y 0,25 Nên - 3. 3x - 2y 2 + x + y - 5 0 với mọi giá trị của x, y Hay K ≤ 0 với mọi giá trị của x, y 0,25 Dấu ‘‘ = ’’ xảy ra khi và chỉ khi 3x - 2y 0 và x + y - 5 0 (1) x y + Với 3x - 2y = 0 thì 3x = 2y = 2 3 x y 0,25 Đặt = = k . Khi đó x = 2k ; y = 3k 2 3 Thay x = 2k và y = 3k vào (1) ta được 2k + 3k - 5 = 0 5k = 5 k = 1 Với k = 1 thì x = 2 ; y = 3 0,25 Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức K là 0 khi và chỉ khi x = 2; y = 3 Bài 5. ( 6,0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Từ O kẻ OF vuông góc với BC, OH vuông góc với AC (F thuộc BC, H thuộc AC). Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a) Chứng minh tam giác FCH cân ; b) Chứng minh AK = KI ; c) Chứng minh 3 điểm B, O, K thẳng hàng. Biểu Bài Nội dung điểm A H E 5 O K G C B F I Trang 35
15. Chứng minh: Ta có C· HO = C· FO = 900 ( vì OH  AC ; OF  BC ) 0,25 + Xét CHO vuông tại H và CFO vuông tại F có : 0,25 OC chung; 0,25 a H· C O = F· CO (vì CO là tia phân giác C ) 0,25 Vậy CHO = CFO (cạnh huyền – góc nhọn) 0,25 CH = CF (2 cạnh tương ứng của hai tam giác bằng nhau) 0,25 Vậy FCH cân tại C (tam giác có 2 cạnh bằng nhau) 0,5 + Qua I vẽ IG //AC (G FH) 0,25 Ta có FCH cân tại C (cm trên) C· H F C· F H (2 góc ở đáy của tam giác cân) (1) 0,25 Mà C· H F F· G I (hai góc đồng vị, IG // AC) (2) 0,25 Từ (1),(2) C· F H F· G I hay I·F G I·G F Vậy IFG cân tại I 0,25 FI = GI (hai cạnh bên của tam giác cân ) Mặt khác FI = AH 0,25 b Nên GI = AH (cùng bằng FI ) Lại có: I·G K ·A H K (hai góc so le trong, IG // AC) 0,25 H· AK =G· IK (hai góc so le trong, IG // AC) Xét AHK và IGK có: I·G K ·A H K (cm trên) GI = AH (cm trên) H· A K G· IK (cm trên) 0,25 Vậy AHK = IGK ( g.c.g) AK = KI (2 cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau) 0,25 Vẽ OE  AB tại E 0,25 + Xét OAE vuông tại E và OAH vuông tại H có : OA chung; O· AE O· AH (vì AO là tia phân giác µA ) Vậy OAE = OAH ( cạnh huyền – góc nhọn) 0,25 OE = OH (2 cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau) Lại có OH = OF (vì CHO = CFO ) Do đó OE = OF 0,25 c + Xét OBE vuông tại E và OBF vuông tại F có : OB chung; OE = OF (cm trên) Vậy OBE = OBF (cạnh huyền – cạnh góc vuông) O· BE O· BF (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Mà tia BO nằm giữa hai tia BE, BF BO là tia phân giác của E· BF hay BO là tia phân giác của ·ABC 0,25 (*) Ta có BA = BE + AE; BI = BF + FI; BE = BF (vì OBE = OBF ); Trang 36
16. AE = AH (vì OAE = OAH ); AH = FI (giả thiết) 0,25 Do đó BA = BI Nối B với K Xét BKA và BKI có: BA = BI (cm trên ) KA = KI (cm trên ) BK là cạnh chung Vậy BKA = BKI ( c.c.c) 0,25 Suy ra ·ABK I·BK (hai góc tương ứng của hai tam giác bằng nhau) Mà tia BK nằm giữa hai tia BA, BC 0,25 Do đó BK là tia phân giác của ·ABC (* *) Từ (*) và (* *) suy ra tia BK và tia BO trùng nhau Hay B, O, K là 3 điểm thẳng hàng 0,25 Bài 6. (1,0 điểm) Cho a, b, c, d là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: E x a x b x c x d Biểu Bài Nội dung điểm Không mất tính tổng quát, giả sử a b c d. Áp dụng BĐT a b a b , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0 ta có: 0,25 x a x d x a d x x a d x d a (1) 0,25 6 x b x c x b c x x b c x c b (2) Suy ra E ≥ c + d – a – b. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi dấu “=” ở (1) và 0,25 (2) xảy ra (x – a)(d – x) ≥ 0 và (x – b)(c – x) ≥ 0 a x d và b x c. Do đó minE = c + d –a – b b x c. 0,25 Trang 37