Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Gia Lâm (Có đáp án)

Nội dung text: Đề chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021 - Phòng GD và ĐT Gia Lâm (Có đáp án)

1. UBND HUYỆN GIA LÂM ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN Đề số 3 Câu 1. (2.0 điểm). Cho đa thức f( x) = x32 + ax + bx + c trong đó abc,, . Biết rằng khi chia đa thức fx( ) cho đa thức x − 2 thì được dư là 5, còn chia đa thức fx( ) cho đa thức x +1 thì được dư là – 4. Tính giá trị biểu thức (abbcca201920192020202020212021+++ )( )( ). Câu 2. (2.0 điểm). Giải các phương trình sau: xx333 a) xxx−−=−−2111 . b) x3 ++= 2 . ( x −1)3 x −1 nn 5351553515++−− Câu 3. (2.0 điểm). Cho với * . fn( ) =+ . n 102102 Tính fnfn( +−−11) ( ) . Câu 4. (2.0 điểm). Tìm số tự nhiên x , biết 111111 111.++++++++++ 1 21612 ++= x . 222222 ( ) 23341415 Câu 5. (2.0 điểm). Cho các số p và p2 + 2 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng p3 + 2 cũng là số nguyên tố. Câu 6. (2.0 điểm) Cho P là một điểm nằm trong hình chữ nhật A B C D sao cho PA = 3cm, PD==4 cm , PC 5 cm . Tính độ dài đoạn thẳng PB . Câu 7. (2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 của một bệnh viện chỉ có bác sĩ và bệnh nhân. Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị. Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân nhiều hơn. 2ab  Câu 8. ((2.0 điểm) Cho tan x = , trong đó ab 0 và 090 x . ab22− Hãy biểu diễn sin x theo ab;. Câu 9. (2.0 điểm) Cho các số dương abc,, thỏa mãn điều kiện abc++= 2020 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pa=+222222 ab +++222222 bb +++ bc + cc ca a Câu 10. (2.0 điểm) Cho S là tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: Tổng của hai phần tử tùy ý của S là một số chính phương. (Ví dụ S = 5;20;44 hoặc S = 10;5;90 là các tập hợp thỏa mãn điều kiện trên). Chứng minh rằng tập hợp S có không quá một phần tử là số lẻ. HẾT
2. ĐÁP ÁN ĐỀ CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 UBND HUYỆN GIA LÂM NĂM HỌC 2020-2021. MÔN: TOÁN HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. (2.0 điểm). Cho đa thức f( x) = x32 + ax + bx + c trong đó abc,, . Biết rằng khi chia đa thức fx( ) cho đa thức x − 2 thì được dư là 5, còn chia đa thức fx( ) cho đa thức x +1 thì được dư là – 4. Tính giá trị biểu thức (abbcca201920192020202020212021+++ )( )( ). Lời giải Gọi thương trong phép chia đa thức fx( ) cho đa thức x − 2và x +1 lần lượt là Px( ) và Qx( ) Theo đề ra ta có fxxPx( ) =−+( 25) ( ) 1 ( ) fxxQx( ) =+−( 14) ( ) 2 ( ) do với mọi x nên: - Thay x = 2 vào (1) ta có: 8425+−+=abc 3 ( ) - Thay x =−1vào (2) ta có: −1 +a − b + c = − 4 ( 4) Từ (3) và (4) suy ra 42333abcabcabab++=−+= − = − =( − ) =abababbcca2019201920192019201920192020202020212021 − += +++= 00( )( )( ) . Câu 2. (2.0 điểm). Giải các phương trình sau: xx333 a) xxx−−=−−2111 . b) x3 ++= 2 . ( x −1)3 x −1 Lời giải a) Điều kiện: x 1 Ta có: xxx−−=−2111 − x −1 − 2 x − 1 + 1 = x − 1 − 1 2 ( xx −1 − 1) = − 1 − 1 xx −1 − 1 = − 1 − 1 x −1 − 1 0 x − 1 1 x 2 (TMĐK)
3. Vậy tập nghiệm của phương trình là Sxx= /2 . b) ĐK: x 1 xx323 Ta có: x3 + + = 2 ( x −1)3 x −1 3 xxxx 3 2 +−++= xxx 3 2 xxxx−−−−1111 3 xxxx2222 3 −+= 3 2 xxxx−−−−1111 32 xxx222 3 −+−= 3.11 xxx−−−111 222 3 xxx 2 −= −= = =− 1111222 xx xxx−−−111 2 −+=(x 110) (phương trình vô nghiệm) Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S =. nn 53++−− 51553 515 Câu 3. (2.0 điểm). Cho với * . fn( ) =+ . n 102102 Tính fnfn( +−−11) ( ) . Lời giải fnfn( +−−11) ( ) nnnn++−−1111 5++−−++++ 3 5 155 3 5 155 3 5 155 3 5 15 =+−− 102102102102 nn−−1212 5+++−−− 3 5 15155 3 5 1515 =− +− 11 10221022 nn−−11 53515+ + 1553515 + − − 15 − =+ 10 2 2 10 2 2 nn 5++−− 3 5 1 55 3 5 1 5 =+= fn( ) 102102 Vậy f( n+11) − f( n −) = f( n) . Câu 4. (2.0 điểm). Tìm số tự nhiên x , biết
4. 111111 111.++++++++++++= 121612 x . 222222 ( ) 23341415 Lời giải 22 111222 nnnn22( ++++11) ( ) nnnnn4232+++++ Ta thấy 1++== n2 (nnnnn+++111)222 22( ) ( ) 2 2 (nn++1) 11111 nn2 ++ = ++==+− 11 nnn2 ( ++11)22nnnnn2 ( ) ( ++11) Áp dụng với n = 2 ,3 ,4 . . . ,1 4 ta có: 11111111 111 1++++++++++++22222222 2334451415 111111111113 =+−++−++−+++−=+−=111 11313 233445141521530 13 xxxx( ++14031) ( ) Khi đó phương trình đã cho = =13.16121612 30260 += +x( xxxx12402) −= −+= 2400151602 ( )( ) −=+ =xxx150 do( 16 16015 ) Vậy x =15. Câu 5. (2.0 điểm). Cho các số p và p2 + 2 là các số nguyên tố. Chứng minh rằng p3 + 2 cũng là số nguyên tố. Lời giải - Xét p = 2 thì p2 +2 = 4 + 2 = 6 (loại). Vì 6 không là số nguyên tố. - Xét p = 3 thì p2 +=+=29211 (nhận). Vì 11 là số nguyên tố. Suy ra, p33+=+=23229 (nhận). Vì 29 là số nguyên tố. - Xét p 3. Vì p là số nguyên tố nên p không chia hết cho 3 (1). Mà p suy ra p2 là số chính phương (2). Từ (1), (2) suy ra p2 chia cho 3 dư 1. +p2 2 chia hết cho 3. (3) Mặt khác, p 3 p22 9 p + 2 11 (4) Từ (3), (4) suy ra p2 + 2 là hợp số (trái với đề bài).
5. Vậy p = 3thỏa mãn bài toán. Câu 6. (2.0 điểm) Cho P là một điểm nằm trong hình chữ nhật A B C D sao cho PAPDPC===3cm,4cm,5cm . Tính độ dài đoạn thẳng PB . Lời giải Qua P kẻ đường thẳng HKCD/ /,,, HAD ⊥⊥ KBCHKAD HKBC Áp dụng định lý Pytago vào các tam giác vuông ta có: PAPDPHHAPHHDHAHD22222222−=+−+=−( ) ( ) PBPCPKKBPKKCKBKC22222222−=+−+=−( ) ( ) Ta chứng minh được HAKBHDKC==, −=− =−+ =−+=PAPDPBPCPBPAPDPCPB222222222222 34518 ==PB 1832cm . Câu 7. (2.0 điểm) Tại khu điều trị bệnh nhân mắc COVID – 19 của một bệnh viện chỉ có bác sĩ và bệnh nhân. Biết rằng nhiệt độ trung bình của các bác sĩ khác với nhiệt độ trung bình của các bệnh nhân, nhưng trung bình của hai số này bằng nhiệt độ trung bình của tất cả các bệnh nhân và các bác sĩ trong khu điều trị. Hỏi bác sĩ nhiều hơn hay số bệnh nhân nhiều hơn. Lời giải Gọi số bác sỹ là a (người) (aN *) Nhiệt độ trung bình của các bác sỹ là x (độ) Số bệnh nhân là y (người) ( yN *) Nhiệt độ trung bình của bệnh nhân là y (độ) ( yx ) Theo đề bài ta có:
6. xyaxby++ = ++=+ (xyabaxby)( ) 2( ) +++=+axaybxbyaxby 22 2 ab+ +−−= −−=axbybxayabxy 00( )( ) Mà x khác y nên a b− a = b 0 = Vậy số bác sỹ và số bệnh nhân bằng nhau. 2ab Câu 8. (2.0 điểm) Cho ta n x = , trong đó ab 0 và 000 9 0 x . ab22− Hãy biểu diễn s i n x theo ab;. Lời giải Vẽ tam giác ABC vuông tại A có AC=2, ab AB = a22 − b Khi đó số đo góc B chính là số đo x Áp dụng định lý Pytago vào tam giác ABC ta có: BCABAC222=+ 2 =+=−+=+ =+BCABACaba2222 babBC 22 22222 ()4 ab ( ) 2ab Khi đó ta có sin x =  ab22+ Câu 9. (2.0 điểm) Cho các số dương abc,,thỏa mãn điều kiện abc++= 2020 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Paabbbbccccaa=++++++++222222222222 Lời giải Ta có 4( 225232aabbaabbaabb222222++=+++−+) ( ) ( ) =++− +535(ababab)222 ( ) ( ) 5 +2 2521 +a2222 ab + ba + ba( + ab +) ba b ( )( ) 2 Dấu bằng xảy ra khi ab= . 5 Tương tự ta có: +2 2522 +b2222 bc + cb + cb( + bc +) cb c ( )( ) 2 5 2 2c2 + ac + a 2 5( c + a) 2 c 2 + ac + a 2 ( c + a)( 3) 2 Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) ta có:
7. 5 Paabbbbccccaaabc=++++++++ ++=222.220205222222 ( ) 2 2020 Dấu bằng xảy ra khi abc= = = . 3 2020 Vậy minP= 2020 5 a = b = c = . 3 Câu 10. (2.0 điểm) Cho S là tập hợp gồm 3 số tự nhiên có tính chất: Tổng của hai phần tử tùy ý của S là một số chính phương. (Ví dụ S = 5 ;20 ;44  hoặc S = 10 ;5 ;90 là các tập hợp thỏa mãn điều kiện trên). Chứng minh rằng tập hợp S có không quá một phần tử là số lẻ. Lời giải Ta đã biết số chính phương hoặc chia hết cho 4 hoặc chia cho 4 dư 1. Xét tập S={,,} a b c thỏa yêu cầu. • Nếu abc,, là các số lẻ thì ( )ab 4+ , (bc ) 4+ và ( )ac 4+ . Khi đó abbcacb+++−+= ()24 . Suy ra b là số chẵn (mâu thuẫn với b lẻ). • Nếu ab, là các số lẻ và c chẵn thì ()4ab+ , ()()4bcac+−+ . Khi đó abbcacb+++−+=()()24 . Suy ra b là số chẵn (mâu thuẫn với b lẻ).