Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Hậu Lộc (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7 - Năm học 2015-2016 - Phòng GD và ĐT Hậu Lộc (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT HẬU LỘC ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Năm học 2015 - 2016 Đề thi gồm 01 trang có 05 bài Thời gian làm bài 150 phút Bài 1. (4,0 điểm) Thực hiện phép tính 212.35 46.92 255.73 6252.74 a) A 126 84.35 8753 59.143 b) Chứng minh rằng đa thức P(x) = x2 + x - 2017 không thể có nghiệm nguyên. Bài 2. (5,0 điểm) 1. Tìm x biết: a) 7x+2 + 2.7x-1 =345 3 4 5 2010 b) . . 1005.161 x 4 6 8 4018 2. Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: x2 + xy – 2y – 3x = 3 Bài 3. (4,0 điểm) 2 1. Cho hàm số y=f(x)= x (1) 3 a) Tính f(2016) b) Cho điểm M(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số (1) và thỏa mãn biểu thức 5y +2 x =8. Xác định tọa độ của điểm M. 2. Tìm một số chính phương có ba chữ số biết rằng nó chia hết cho 56. Bài 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB. a) Chứng minh rằng: BM = CN b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: KC  AC. Bài 5. (1,0 điểm) Tìm các số tự nhiên a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 HẾT Chú ý: - Giám thị không giải thích gì thêm. - Học sinh không được dùng máy tính.
2. HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN TOÁN 7 Giám khảo chú ý: 1) Trước khi chấm nên đọc để chắc chắn rằng hướng dẫn này không có sai sót. Hoặc nếu sai sót thì sẽ được điều chỉnh lại. 2) Tổ chấm nên hội ý để thống nhất một số phương án chấm. 3) Bài hình: thí sinh không vẽ hình thì không chấm điểm; vẽ sai hình ở ý nào thì không chấm điểm ở ý đó và ý sau (có liên quan) nếu thí sinh không chứng minh được ý nào đó ở trên nhưng lại sử dụng kết quả này ở ý sau thì trừ đi 50% số điểm ý đó (nếu đúng). 4) Thí sinh chứng minh hoặc làm ý nào đó khác đáp án mà đúng thì giám khảo tự cho điểm thành phần với số điểm đạt được tương ứng với đáp án. Bài Nội dung đáp án Điểm 1 212.35 46.92 255.73 6252.74 a) A 126 84.35 8753 59.143 212.35 212.34 510.73 58.74 0,5 212.36 212.35 59.73 59.23.73 212.34 (3 1) 58.73 (52 7) 1 212.35 (3 1) 59.73 (1 8) 1 18 1 2 17 0,5 6 5.9 6 5 30 b) Giả sử đa thức có nghiệm nguyên là x = n. Khi đó : 0,5 n2 + n -2017 = 0 nên n2 + n = 2017 n(n + 1) = 2017 (*) 0,5 do n và n + 1 là hai số nguyên liên tiếp nên n(n + 1)  2 0,5 Do đó (*) không thể xảy ra, vì 2017  2 Chứng tỏ phương trình đã cho không có nghiệm nguyên. 0,5 2 1. x+2 x-1 a) 7 + 2.7 =345 0,5 7 x 1 (73 2) 345 7 x 1.345 345 0.5 7 x 1 1 x 1 0 x 1 0,5 Vậy x=1 3 4 5 2010 b) . . 1005.161 x 4 6 8 4018
3. 3 4 5 2010 . . 1005 . 16 1 x 2 . 2 2 . 3 2 . 4 2 . 2009 0,5 1 1 1 2010 . . 1005 . 16 1 x 2 . 2 2 2 2 2010 1 1 1 ( . ) 1005 . 16 1 x 2 2 2 2 1 1005 . 1005 . 16 1 x 0,5 2 2008 2 4 4 x . 2 2008 1 2 2012 4 x 1 2012 4 x 0 x 503 Vậy x=503 0,5 2) Ta có: 0,5 x2 xy 2y 3x 3 2 xy 2y x 3x 3 0,5 y(x 2) x2 2x x 2 5 y(x 2) x(x 2) (x 2) 5 0,5 (x 2)(y x 1) 5 Do đó : x – 2 và x + y - 1 là các ước của 5 Lập bảng: x- 2 -5 -1 1 5 x + y -1 -1 -5 5 1 0,5 x -3 1 3 7 y 3 -5 3 -5 Vậy các cặp số nguyên (x; y) là : ( -3; 3) , ( 1; -5), ( 3; 3), ( 7; -5) 2 3 a )f(2016)= .2016 1344 0,5 3 b) 2 +) M(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số (1) ta có y0= x 3 0 0,5 +) M(x0;y0) thỏa mãn biểu thức 5y+2 x =8 ta có 5y0+2 x0 =8 2 Suy ra 5( x )+2 x =8 hay 10x 6 x 24 3 0 0 0 0 TH1: x0 0 : Ta có -10x0+6x0=24 0,5 -4x0 = 24 x0 = -6(loại) TH2: x0 0 :Ta có -10x0-6x0=24 -16x0 =24
4. 3 x0=- (Thỏa mãn) suy ra y0=1 2 0,5 3 KL:vậy M( ;1) 2 b) gọi số chính phương đó là : xyz với 1 ≤ x ≤ 9 ; 0 ≤ y ; z ≤ 9 xyz k 2 ta có : k N;l N 0,5 xyz 56l do đó : k2 = 56.l = 4. 14l suy ra : l = 14h2 (1) với h N 0,5 mặt khác 100 ≤ 56l ≤ 999 2 ≤ l ≤ 17 (2) 0,5 từ (1) và (2) suy ra: h = 1. do đó l = 14 0,5 nên số chính phương phải tìm là: 784 4 a. Chứng minh rằng: BM = CN Theo giả thiết, ta có: 2AB = AB + AB = AB + AM + BM 0,5 AM + AN = AM + AC + CN 0,5 ABC cân ở A AB = AC Do đó, từ AM + AN = 2AB 0,5 BM = CN 0.5 b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. MN x BC = I Qua M kẻ ME // AC (E BC) 0,5 ABC cân ở A ABC ACB (1) Mà ME// AC nên MEB ACB (2) 0,5 Từ (1) và (2) suy ra MEB ABC BME cân ở M EM = BM = CN 0,5 MEI = NCI (g-c-g) 0,5 IM = IN Vậy: BC đi qua trung điểm của MN. c) Chứng minh rằng: KC  AN. + K thuộc đường trung trực của MN KI  MN IMK = INK( c.g.c) 0,5
5. KM = KN( hai cạnh tương ứng) (3) 0,5 + ABK = ACK (c-g-c) KB = KC (4); ABˆK ACˆK (*) + Kết quả câu c/m câu a) BM = CN (5) 0,5 + Từ (3), (4) và (5) BMK = CNK (c-c-c) ABˆK NCˆK ( ) 1800 + Từ (*) và ( ) ACˆK NCˆK 900 KC  AN 0,5 2 5 Theo đề bài 2008a + 3b + 1 và 2008a + 2008a + b là 2 số lẻ. a Nếu a 0 2008 + 2008a là số chẵn 0,25 để 2008a + 2008a + b lẻ b lẻ Nếu b lẻ 3b + 1 chẵn do đó 2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn) Vậy a = 0 0,5 Với a = 0 (3b + 1)(b + 1) = 225 Vì b N (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5. 45 = 9.25 3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1 3b 1 25 b 8 b 1 9 0,25 Vậy a = 0 ; b = 8. Hết