Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2015 - Phòng GD và ĐT Cẩm Giàng (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 8 - Năm học 2015-2015 - Phòng GD và ĐT Cẩm Giàng (Có đáp án)

1. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN CẨM GIÀNG NĂM HỌC: 2015 - 2016 MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian làm bài: 150 phút Đề gồm 01 trang Câu 1. (2,0 điểm) a3 4 a 2 a 4 a) Rút gọn biểu thức: P a3 7 a 2 14 a 8 b) Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2 dư 26, f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư. Câu 2. (2,0 điểm) Giải phương trình: x 43 x 46 x 49 x 52 a) 57 54 51 48 b) 2x 3 x 2 2 2 x 5 3 Câu 3. (2,0 điểm) 3 3 3 * a) Chứng minh rằng Q = n + (n + 1) +( n + 2)  9 với mọi n N b) Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: a b c A 3 bca acbabc Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Các đường cao AE, BF, CG cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K. a) Chứng minh tam giác ABC đồng dạng với tam giác EFC. b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC = ND và HI = HK. AH BH CH c) Chứng minh: 6 HE HF HG Câu 5. (1,0 điểm) Cho abc,, là ba số dương thoả mãn abc 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 3 . a3( b c ) b 3 ( c a ) c 3 ( a b ) 2 Hết Họ và tên học sinh: Số báo danh: Họ và tên Giám thị: Chữ ký:
2. PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM CẨM GIÀNG ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2015 - 2016 MÔN: TOÁN LỚP 8 Hướng dẫn chấm gồm 04 trang Câu Đáp án Điểm a3 4 a 2 a 4 a) P a3 7 a 2 14 a 8 2 2 a a 1 4 a 1 P a3 8 7 a a 2 0,25 a2 1 a 4 a 1 a 1 a 4 P 0,5 a 2 a2 5 a 4 a 2 a 1 a 4 a 1 P a 2 a 1 Câu 1 Vậy P với a 1; a 2; a 4. 0,25 (2 điểm) a 2 b) Giả sử f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư là ax b . Khi đó: f (xx ) (2 4).( 5 x ) ax + b 0,25 Theo đề bài, ta có: f(2) 26 2 a b 26 a 4 0,5 f( 2) 10 2 a b 10 b 18 Do đó: f (xx ) (2 4).( 5 x ) 4x +18 Vậy đa thức f(x) cần tìm là: f (xx ) (2 4).( 5 x ) 4x +18 0,25 x 43 x 46 x 49 x 52 a) 57 54 51 48 x 43 x 46 x 49 x 52 + 1 + + 1 = + 1 + +1 57 54 51 48 0,25 x 100 x 100 x 100 x 100 + - - = 0 57 54 51 48 0,25 1 1 1 1 (x + 100)( ) = 0 0,25 Câu 2 57 54 51 48 (2 điểm) 1 1 1 1 Do ( ) 0 nên x + 100 x = -100 57 54 51 48 Vậy tập nghiệm của phương trình là S = 100 0,25
3. 2 b) 2x 3 x 2 2 x 5 3 2x 3 2x 5 x 2 2 3 2 2 (4x + 16x + 15)(x + 4x + 4) = 3 (2) Đặt y = x2 + 4x + 4 4y = 4(x2 + 4x + 4) = 4x2 + 16x + 16 0,25 4x2 + 16x + 15= 4y - 1 Khi đó (2) y(4y - 1) - 3 = 0 2 4y - y - 3 = 0 (y - 1)(4y + 3) = 0 0,25 +/ y - 1 = 0 (x + 2)2 - 1 = 0 (x + 2)2 = 1 x + 2 = 1 hoặc x + 2 = -1 x = -1 hoặc x = -3 +/ 4y + 3 = 0 4(x+2)2 + 3 = 0 0,25 Vì 4(x+2)2 + 3 3 nên phương trình vô nghiệm. Vậy S 1; 3 là tập nghiệm của phương trình đã cho. 0,25 a) Q = n3 + (n + 1)3 +( n + 2)3 = n3 + (n3 + 3n2 + 3n + 1)+(n3 + 6n2 + 12n + 8) =3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 3(n3 + 3n2 + 5n + 3) 0,25 Đặt C = n3 + 3n2 + 5n + 3 = n3 + n2 + 2n2 + 2n + 3n + 3 = n2(n + 1) +2n(n + 1) +3(n + 1) 0,25 = n(n + 1)(n + 2) + 3(n + 1) Ta thấy n(n + 1)(n + 2) chia hết cho 3 (vì tích của 3 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3), mà 3(n + 1) chia hết cho 3. 0,25 C chia hết cho 3 Q = 3C chia hết cho 9. 0,25 Câu 3 (2 điểm) b) Đặt b + c a = x > 0; c + a b = y > 0; a + b c = z > 0 y z x z x y Từ đó suy ra a = ;b ;c ; 2 2 2 0,25 Thay vào biểu thức A ta được: y z x z x y 1 y x x z y z A = ( ) ( ) ( ) 0,25 2x 2y 2z 2 x y z x z y 1 Suy ra A (2 2 2) hay A 3 2 0,25 a b c Vậy A 3 , với a, b, c là ba cạnh của bca acbabc 0,25 một tam giác.
4. A F K G H I 0,25 B E M C N D CE CA a) Ta có AEC BFC (g-g) nên suy ra CF CB 0,25 CE CA Xét ABC và EFC có và góc C chung CF CB 0,25 Câu 4 nên suy ra ABC EFC ( c-g-c) 0,25 (3 điểm) b) Vì CN // IK, HM  IK nên HM  CN M là trực tâm HNC. 0,25 MN  CH mà CH  AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD Do M là trung điểm BC NC = ND 0,25 IH AH (vì IH // DN) DN AN 0,25 HK AH (vì KH // CN) CN AN Suy ra: IH = HK 0,25 AH SSSSSS c) Ta có: AHCABH AHC ABH AHC ABH HE SCHE S BHE S CHE S BHE S BHC BH SS CH SS Tương tự ta có BHC BHA và BHC AHC HF S HG S 0,25 AHC BHA AH BH CH SS SS SS AHC ABH BHC BHA BHC AHC HE HF HG SBHC S AHC SBHA 0,25 SS SS SS = AHC ABH BHC BHA + BHC AHC 6 . SS SS SS 0,25 BHC BHC AHC AHC BHA BHA Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC đều, mà theo gt thì AB < AC nên không 0,25 xảy ra dấu bằng.
5. Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c R và x, y, z > 0 ta có 2 a2 b 2 c 2 a b c (*) x y z xyz a b c Dấu “=” xảy ra x y z Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có 2 a2 b 2 a b ( ) x y xy 2 2 2 a y b x x y xy a b bx ay 2 0 (luôn đúng) a b Dấu “=” xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ( ) ta có 2 2 abc2 2 2 ab c 2 abc xyz xy z xyz 0,25 a b c Câu 5 Dấu “=” xảy ra (1 điểm) x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c 0,25 a3()()() b c b 3 c a c 3 a b ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 abc abc a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc2( ab bc ac ) 1 1 1 2 a b c 0,25 1 1 1 a2 b 2 c 2 1 1 1 1 Hay ab ac bc ab ac bc2 a b c 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 1 1 1 3 Vậy (đpcm) 0,25 a3( b c ) b 3 ( c a ) c 3 ( a b ) 2 * Lưu ý: HS làm cách khác đáp án mà đúng vẫn cho điểm tối đa.