Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Lang Chánh (Có hướng dẫn chấm)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi cấp huyện Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD&ĐT Lang Chánh (Có hướng dẫn chấm)

1. UBND HUYỆN LANG CHÁNH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 7 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2022 - 2023 Môn: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Ngày thi: 01 tháng 4 năm 2023 (Đề thi gồm có 01 trang) Bài 1: (4,0 điểm) 3 4 7 4 7 7 a) Tính bằng cách hợp lí: A = : : 7 11 11 7 11 11 b) Tính: B 22022 22021 22020 2 1 230 57 213 527 c) Tính giá trị của biểu thức C 210.57. 217 520 Bài 2: (4,0 điểm) x 1 y 3 z 2 a) Tìm x, y, z biết và x 3y 4z 4. 2 4 3 b c c a a b b) Cho a,b,c thỏa mãn 2022 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) 1 1 1 Tính giá trị biểu thức Q a b b c c a Bài 3:(4,0 điểm) a) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: x2 xy 3y 5x 3 0 b) Cho các số nguyên tố p và q thoả mãn: p2 2q2 17 . Tính ( p q)4 15 Bài 4:(6,0 điểm) Cho tam giác ABC có góc A 60 ( góc B và góc C nhọn). Tia phân giác của góc B cắt AC tại D , tia phân giác của góc C cắt AB tại E . BD cắt CE tại I .Trên cạnh BC lấy F sao cho BF BE . Trên tia IF lấy M sao cho IM IB IC . a) Tính góc B· IC và chứng minh ID IF . b) Chứng minh tam giác BCM là tam giác đều. c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để D và E cách đều đường thẳng BC . Bài 5: (2,0 điểm) Cho các số không âm x, y, z thoả mãn: x 3z 2022 và x 2y 2023 1 Tính giá trị lớn nhất của biểu thức: A x y z . 2 HẾT! Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm Họ và tên thí sinh: SBD
2. HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 7 NĂM HỌC 2022-2023 Câu Ý Nội dung36 Điểm Bài 3 4 7 4 7 7 4đ a). Tính bằng cách hợp lí: A = : : 1: 4đ 7 11 11 7 11 11 b) Tính: S 22022 22021 22020 2 1 230 57 213 527 c) Tính giá trị của biểu thức C 210.57. 217 520 a 3 4 7 4 7 7 3 4 11 4 7 11 a) A = : : = . . 1đ 7 11 11 7 11 11 7 11 7 7 11 7 0,25 3 4 4 7 11 11 = . = 0. = 0 7 11 7 11 7 7 Vậy A = 0 0,5 0,25 b b) S 22022 22021 22020 2 1 1,5đ S 22022 22021 22020 2 1 Đặt P 22021 22020 2 1 2022 2021 2020 2P 2 2 2 2 0,5 2P P 22022 22021 22020 2 22021 22020 2 1 2P P 22022 1 2022 P 2 1 0,5 Do đó: S 22022 22022 1 1 Vậy S 1 0,25 0,25 c c) Tính giá trị của biểu thức 1,5đ 230 57 213 527 C 210.57. 217 520 213 57. 217 520 210.57. 217 520 36 0,5 213 57 210.57 23 8 0,5 0,25
3. 0,25 x 1 y 3 z 2 Bài a) Tìm x, y, z biết và x 3y 4z 4. 4đ 2: 4đ 2 4 3 b c c a a b b) Cho a,b,c thỏa mãn 2022 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) 1 1 1 Tính giá trị biểu thức Q a b b c c a x 1 y 3 z 2 x 1 3y 9 4z 8 x 1 3y 9 4z 8 a 2 0,75 2đ 2 4 3 2 12 12 2 12 12 x 1 y 3 z 2 2 x 5; 2 y 11; 2 z 8 0,75 2 4 3 Vậy x 5; y 11; z 8 0,5 b c c a a b b 2022 2đ (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) (b a) (c a) (c b) (a b) (a c) (b c) 2022 0,75 (a b)(a c) (b a)(b c) (c a)(c b) 1 1 1 1 1 1 2022 c a a b a b b c b c c a 0,5 1 1 1 0,5 2 2022 a b b c c a 1 1 1 Vậy 1011 0,25 a b b c c a Bài 3: a) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thoả mãn: x2 xy 3y 5x 3 0 4đ (4đ) b) Cho các số nguyên tố p và q thoả mãn: p2 2q2 17 . Tính ( p q)4 15 a Ta có: x2 xy 3y 5x 3 0 2đ Suy ra: x2 xy 2x 3y 3x 6 3 x(x y 2) 3(x y 2) 3 0,5 (x 3)(x y 2) 3 Do x, y là số nguyên nên ta có: 0,5 (x 3)(x y 2) 3 1.3 3.1 ( 1)( 3) ( 3)( 1) 0,5 x 3 1 x 3 3 hoặc x y 2 3 x y 2 1 0,25
4. x 3 1 x 3 3 0,25 hoặc hoặc x y 2 3 x y 2 1 Từ đó tìm được các cặp (x;y) là: (4;1), (6;-3), (2; -3), (0; 1) b Ta có: 2đ p2 2q2 17 p2 1 2q2 16 ( p 1)( p 1) 2q2 162 0,5 Mà p 1 p 1 2 ( p 1)( p 1)2 suy ra p 1; p 1 là hai số chẵn liên tiếp ( p 1)( p 1)8 0,5 2q2 168 2q2 8 q2 4 q2 0,5 Mà q là số nguyên tố q 2 p2 2.22 17 25 0,25 Mà p là số nguyên tố p 5. Ta có: ( p q)4 15 (5 2)4 15 2416 . 0,25 Vậy: ( p q)4 15 2416 Bài Cho tam giác ABC có góc A 60 ( góc B và góc C nhọn). Tia phân giác 6đ 4: của góc B cắt AC tại D , tia phân giác của góc C cắt AB tại E . BD cắt (6đ) CE tại I .Trên cạnh BC lấy F sao cho BF BE . Trên tia IF lấy M sao cho IM IB IC . a) Tính góc B· IC và chứng minh ID IF . b) Chứng minh tam giác BCM là tam giác đều. c) Tìm điều kiện của tam giác ABC để D và E cách đều đường thẳng BC .
5. a 2đ ABC có µA 60 Bµ Cµ 120 1 1 0,5 I·BC C· CB Bµ Cµ .120 60 2 2 0,5 B· IC 120 . · · Chứng minh BIF BIE c-g-c BIF BIE 60 0,5 F· IC D· IC 60 Chứng minh FIC DIC g-c-g ID IF . 0,5 b Trên đoạn thẳng IM lấy K sao cho IK IB IBK đều 0,5 2đ IB BK . Chứng minh IBC KBM c-g-c BC BM 1 0,5 0,5 IBK đều I·BK 60 mà I·BC K· BM C· BM 60 2 Từ 1 và 2 BCM là tam giác đều 0,5 c BIF BIE IF IE , mà ID IF ID IE . 0,5 2đ IDE cân tại I , mà D· IE 120 I·DE 30 0,5
6. Kẻ EN  BC và DQ  BC EN // DQ 0,5 EN DQ ED // BC D· BC 30 ( vì I·DE 30 ) · ABC 60 ABC là tam giác đều. 0,5 Bài Cho các số không âm x, y, z thoả mãn: x 3z 2022 và x 2y 2023. Tính 2đ 1 5: 2đ giá trị lớn nhất của biểu thức: A x y z . 2 Ta có: x + 3z = 2022 (1) và x + 2y = 2023 (2) Từ (1) x 2022 3z Trừ vế theo vế (2) cho (1), ta được: 2y 3z 1 1 3z y 2 Khi đó: 0,5 1 1 3z 1 A x y z (2022 3z) z 2 2 2 1 1 3 2022 3z z z 2 2 2 1 0,5 2023 z 2 1 1 Vì z 0 z 0 2023 z 2023 2 2 0,5 A 2023 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: z 0 x 2022 0,25 1 y 2 z 0 0,25 Vậy: GTLN của Abằng 2023 x 2022 1 y 2 Lưu ý:-Nếu HS làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. -Bài hình vẽ hình sai hoặc không vẽ hình không chấm điểm. các trường hợp khác do tổ chấm thống nhất.