Đề giao lưu học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Cẩm Thủy (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2022-2023 - Phòng GD và ĐT Cẩm Thủy (Có đáp án)

1. PHÒNG GD & ĐT ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG HUYỆN CẨM THỦY NĂM HỌC 2022 - 2023 Môn thi : Toán - Lớp 7 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : / /2023 (Đề thi có 01trang, gồm 05 bài) Bài 1: (4,0 điểm) 212 .3 5−− 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 1. Tính giá trị biểu thức: 63− ()22 .3+ 8 45 .3 ()125.7+ 593 .14 ac 2. Cho tỉ lệ thức = với abcdabcd≠0, ≠ 0, ≠ 0, ≠ 0, ≠± , ≠± . Chứng minh: bd 2013 ab−+ a2013 b 2013 = cd−+ c2013 d 2013 3. Tìm đa thức M biết rằng: M+()52 x2 − xy =+− 69 x 22 xy y . Tính giá trị của M khi x, y 2018 2020 thỏa mãn: ()()25xy− ++ 34 ≤ 0. Bài 2: (4,0 điểm) 1 2 3 100 1. Tìm x, biết: x+ ++ x ++ x +++ x = 101x 101 101 101 101 231 2. Số A được chia thành ba phần số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình phương 546 của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. 3. Biết fx()chia cho x – 3 thì dư 7; chia cho x – 2 thì dư 5; chia cho (x – 3).(x – 2) được thương là 3x và còn dư. Tìm fx(). Bài 3: (4,0 điểm) 1. Tìm các số tự nhiên a; b sao cho: (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 2. Cho a,b,c,d ∈ Z thỏa mãn ab33+=2() c 3 − 8d 3.Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3 Bài 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE. b) Chứng minh rằng: DIB = 600. c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng ∆AMN đều. d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE. Bài 5: (2,0 điểm) Cho ba số dương 01≤≤≤≤abc . Chứng minh rằng: abc ++≤ 2 bc++111 ac ab + HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
2. PHÒNG GD & ĐT ĐÁP ÁN ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG HUYỆN CẨM THỦY NĂM HỌC 2022- 2023 Môn thi : Toán - Lớp 7 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : / /2023 (Đáp án gồm 05 trang) Bài Đáp án Điểm 212 .3 5−− 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 1. Tính giá trị biểu thức: A = − 263 45 93 ()2 .3+ 8 .3 ()125.7+ 5 .14 212 .3 5−− 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 63− ()22 .3+ 8 45 .3 ()125.7+ 593 .14 0,5 212 .3 5−− 2 12 .3 4 5 10 .7 3 5 10 .7 4 = − 212 .3 6++ 2 12 .3 5 5 9 .7 3 5 9 .2 3 .7 3 212 .3 4 () 3−− 1 510 .7 3 () 1 7 = − 212 .3 5 () 3++ 1 59 .7 3 () 1 8 0,5 212 .3 4 .2 510 .7 3 .()− 6 = − 212 .3 5 .4 59 .7 3 .9 1− 10 7 =−= 632 0,5 7 Vậy A = 2 ac 2. Cho tỉ lệ thức = với abcdabcd≠0, ≠ 0, ≠ 0, ≠ 0, ≠± , ≠± . Chứng Bài 1 bd 2013 (4 điểm) ab−+ a2013 b 2013 minh: = cd−+ c2013 d 2013 2013 2013 2013 a c ac−− a c ac Ta có: ==⇒== (1) b d bd−− b d bd 0,5 2013 2013 a  c a2013 c 2013 ac 2013+ 2013 Mà: =  = = = (2) 0,5 b  d b2013 d 2013 bd 2013+ 2013 2013 ab−+ a2013 b 2013 Từ (1) và (2) ⇒= (đpcm) 0,5 cd−+ c2013 d 2013 3. Tìm đa thức M biết rằng: M+()52 x2 − xy =+− 69 x 22 xy y . Tính giá trị 2018 2020 của M khi x, y thỏa mãn: ()()25xy− ++ 34 ≤ 0 Ta có: M+()52 x2 − xy =+−⇒=+−−− 69 x 22 xyy M 69 x 222 xyy() 52 x xy 2 22 2 2 ⇒ M=695211 x + xyy −− x + xyx =+ xyy −  2018 0,5 ()25x −≥ 0 2018 2020 =>−25xy ++ 34 ≥ 0 Lại có:  2020 ()() ()34y +≥ 0
3. 2018 2020 2018 2020 Mà: (25xy−) ++( 34) ≤ 0 ⇒ (25xy−) ++( 34) = 0  5  2018 x = (25x −=) 0 2 ⇒ ⇒ . Thay vào ta được 2020 4 (34y +=) 0 y = − 0,5  3 2 2  5  54 − 4  25 110 16 −1159 M =   + 11. .− −   = − − =  2  23 3  4 3 9 36 1 2 3 100 1. Tìm x, biết: x+ ++ x ++ x +++ x = 101x 101 101 101 101 1 2 3 100 Vì x+ ++ x ++ x +++ x > 0 nên 101x > 0 101 101 101 101 0,5 Suy ra: x > 0 Từ đó ta bỏ được dấu giá trị tuyệt đối thu được phương trình sau: 1 2 3 100 (x+ ) ++ (x ) ++ (x ) +++ (x ) = 101.x 101 101 101 101 0,5 1 2 3 100 ⇒ (x+ x+ + x) + ( ++++ ) = 101.x 101 101 101 101 1 ⇒ 100x + (1 + 2 + 3+ + 100) = 101.x 101 0,5 1 (1+ 100) .( 100 −+ 1) :1 1 ⇒ = x ⇒ x = 50 (TM) 101 2 231 2. Số A được chia thành ba phần số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các Bài 2 546 (4 điểm) bình phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A. Gọi ba phần được chia lần lượt là: a, b, c 231 Theo bài ra ta có: abc::= : : và abc222++=24309 546 0,5 231 abc Ta có: abc::= : : ⇒= = 5 4 6 24 45 10 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b c a2 b 2 c 2 abc 222++ 24309 ==⇒= == = =9 24 45 10 576 2025 100 576++ 2025 100 2701 2 0,5 ⇒aa =576.9 = 5184 ⇒=± 72 bb2 =2025.9 = 18225 ⇒=± 135 cc2 =100.9 = 900 ⇒=± 30 abc Vì: = = ⇒ a, b, c cùng dấu. 24 45 10 ⇒A =−72 +−( 135) +−( 30) =− 237 0,5 Hoặc: A =+72 135 += 30 235 Vậy: A = −135 hoặc A =135
4. 3. Biết fx()chia cho x – 3 thì dư 7; chia cho x – 2 thì dư 5; chia cho (x – 3).(x – 2) được thương là 3x và còn dư. Tìm fx(). Theo bài ra, ta có: f() x=−+ (x3).() Ax 7 (1) f() x=−+ (x2).() Bx 5 (2) fx( )= 3x(x − 3)( x −+ 2) ax + b (3) 0,5 Các đẳng thức trên đúng với mọi x nên: +) Thay x = 2 vào (2); (3) được: 2a + b = 5 (4) +) Thay x = 3 vào (1); (3) được: 3a + b = 7 (5) Từ (4) và (5), suy ra: a = 2; b = 1 Do đó dư là 2x + 1 0,5 Vậy fx( )= 3x(x − 3)( x − 2) + 2x += 1 3x32 − 15x − 20x + 1 1. Tìm các số tự nhiên a; b sao cho: (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 Theo đề bài ⇒ 2008a + 3b + 1 và 2008a + 2008a + b là 2 số lẻ. 0,5 Nếu a ≠ 0 ⇒ 2008a + 2008a là số chẵn Để 2008a + 2008a + b lẻ ⇒ b lẻ 0,5 Nếu b lẻ ⇒ 3b + 1 chẵn do đó 2008a + 3b + 1 chẵn (không thoả mãn) Với a = 0 ⇒ (3b + 1)(b + 1) = 225 0,5 Vì b ∈ N ⇒ (3b + 1)(b + 1) = 3.75 = 5. 45 = 9.25 Mặt khác: 3b + 1 không chia hết cho 3 và 3b + 1 > b + 1 3b += 1 25 ⇒ ⇒=b 8 0,5 b +=19 Vậy a = 0 ; b = 8. 33 3 3 Bài 3 2. Cho a,b,c,d ∈ Z thỏa mãn ab+=2() c − 8d . (4 điểm) Chứng minh a + b + c + d chia hết cho 3 Ta có ab33+=2() c 3 − 8d 3 ⇔+++= abc 3333d 3 c 3 − 15d 3 0,5 Mà 3c33− 15d 3 nên abc3333+++d3 (1) 0,5 Dư trong phép chia a cho 3 là {}0;± 1 suy ra dư trong phép chia a3 cho 3 cũng là {}0;± 1 hay a≡ a3 () mod3 Tương tự ta có bb≡ 3 ()mod3 ; c≡ c3 () mod3 ; d≡ d3 () mod3 0,75 ⇒+++abcd ≡ a333 + b + c + dmo 3()d3 (2) Từ (1) và (2) suy ra a + b + c + d chia hết cho 3 0,25
5. E A D 0,25 K I C B a) Chứng minh rằng: ∆ADC = ∆ABE. Ta có: AD = AB; DAC = BAE và AC = AE 1,5 Suy ra: ∆ADC = ∆ABE (c.g.c) b) Chứng minh rằng: DIB = 600. Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a)⇒=ABE ADC 0,75 Lại có: BKI = AKD (đối đỉnh) Khi đó xét ∆BIK và ∆DAK, suy ra BIK = DAK = 600 (đpcm) 0,75 c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng Bài 4 ∆ (6 điểm) AMN đều. E A D J N 0,25 K M I C B Từ ∆ADC = ∆ABE (câu a) ⇒ CM = EN và ACM = AEN 0,5 ⇒ ∆ACM = ∆AEN (c.g.c) ⇒ AM = AN và CAM = EAN 0,5 MAN = CAE = 600. Do đó ∆AMN đều. d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE. Trên tia ID lấy điểm J sao cho IJ = IB ⇒ ∆BIJ đều ⇒ BJ = BI và JBI = DBA = 600 0,5 Suy ra: IBA = JBD , kết hợp BA = BD 0,5 ⇒ ∆IBA = ∆JBD (c.g.c) ⇒=AIB DJB = 1200 mà BID = 600 ⇒ DIA = 600. Từ đó suy ra IA là phân giác của góc DIE 0,5 Cho ba số dương 01≤≤≤≤abc . Chứng minh rằng: abc ++≤ 2 bc++111 ac ab + a −1≤ 0 Vì 0 ≤≤ab≤≤c 1⇒ ⇒ (a − 1)(b − 1) ≥01⇒ ab− a −+≥b 0 0,5 b −1≤ 0
6. 11 cc ⇒ab +≥1 a + b ⇒ ≤ ⇒ ≤ (c ≥ 0) 0,5 ab++11 a b ab + a+ b Bài 5 ccc22 c Mà: ≤≤⇒ (2 điểm) ab+ abc ++ ab +1 abc+ + 0,5 bb2 aa2 Chứng minh tương tự, ta có: ≤ và ≤ ac+1 abc ++ bc+1 abc ++ a b c222 abc++ Cộng theo vế, ta được: ++≤ =2 (đpcm) bc+111 ac + ab + a ++ b c 0,5 abc Vậy với ba số dương 01≤≤≤≤abc thì ++≤ 2 bc++111 ac ab + Chú ý: - Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án. - Bài hình nếu không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm điểm.