Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Thị xã Chí Linh (Có đáp án)

Nội dung text: Đề giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2016-2017 - Phòng GD và ĐT Thị xã Chí Linh (Có đáp án)

1. UBND THỊ XÃ CHÍ LINH ĐỀ GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 120 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1 (2,0 điểm) Tìm x biết: 2 1 1 3 1 a) x 0 b) x 2017 3 16 4 2 Câu 2 (2,0 điểm) a b c ab bcca a) Cho . Tính : P . b c c a a b c a b b) Hãy chia số 26 thành ba phần tỉ lệ nghịch với các số 2; 3; 4. Câu 3 (2,0 điểm) a) Cho đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 Xác định hệ số a, b biết đa thức f(x) nhận x = -1 và x = 2 làm nghiệm. b) Cho đa thức Ax 210 xy 2017 y 2 2 y và Bx 52 8 xy 2017 y 2 3 y 2018 . Tìm đa thức C = A - B. Tính giá trị của đa thức C tìm được ở trên khi 2x + y = 1. Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC. a) Chứng minh AM  BC và MA = MC. b) Lấy điểm D trên đoạn thẳng AB (D khác A và B), đường thẳng vuông góc với MD tại M cắt AC tại E. Chứng minh: MD = ME. c) Chứng minh: MD + ME AD + AE. Câu 5 (1,0 điểm) Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn a b c d 25 . c d Tìm giá trị lớn nhất của M . b a –––––––– Hết –––––––– Họ tên thí sinh: Số báo danh: . Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2:
2. UBND THỊ XÃ CHÍ LINH HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ GIAO LƯU HSG PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN - LỚP 7 (Hướng dẫn chấm và biểu điểm gồm 03 trang) Câu Ý Nội dung Điểm 1 1 1 x 0,5 2 x 1 1 3 4 12 a x 3 16 1 1 7 x x 0,5 3 4 12 3 1 3 1 4035 1 x 2017 x 2017 0,25 4 2 4 2 2 3 4035 8067 b x x 0,25 4 2 4 3 4035 8073 x x 0,5 4 2 4 a b c abc Ta có: 0,25 b c c a a b 2(a b c) + Nếu a + b + c = 0 => a + b = -c; b + c = -a; a + c = -b 0,25 Khi đó P (1) (1) (1) 3 a + Nếu a b c 0 thì ta có b + c = 2a; c + a = 2b; a + b = 2c a b b c c a 2c 2a 2b 0,25 Khi đó P 6 c a b c a b Vậy : P = - 3 hoặc P = 6. 0,25 2 Giả sử số 26 được chia thành ba phần x, y, z. x y z 0,25 Theo bài ra ta có : 2x = 3y = 4z 6 4 3 x yz xyz b Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau 0,25 6 4 3 6 4 3 26 0,25 2 13 x = 12, y = 8, z = 6. 0,25 Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = -1 làm nghiệm. 0,25 3 a f(-1) = 0 a.(-1)2 +b.(-1) -2 =0 a - b -2 = 0 a = b + 2. Đa thức f(x) = ax2 + bx - 2 nhận x = 2 làm nghiệm. 0,25
3. f(2)=0 a.(2)2 +b.(2) -2 =0 4a + 2b -2 = 0 0,25 4(b +2) + 2b - 2 = 0 4b +8 + 2b - 2 = 0 6b +6 = 0 b = -1 a = 1. Vậy a = 1; b = -1 0,25 C = A – B 2 2 2 2 x10 xy 2017 yy 2 5 xxy 8 2017 yy 3 2018 0,25 x2 10xy 2017y 2 2y 5x 2 8xy 2017y 2 3y 2018 b 4x2 2xy y 2018 0,25 C 4x2 2xy y 2018 2x(2x y) y 2018 Thay 2x + y = 1 vào ta được C 2x y 2018 (2x y) 2018 0,25 Thay 2x + y = 1 vào ta được C 1 2018 2017 0,25 A H E D 0,25 2 3 1 4 B M 5 C F Xét ABM và ACM có: AM chung; AB = AC ( ABC vuông cân); MB = MC (gt) 0,25 ABM = ACM (c.c.c) AMB AMC . Mà AMB AMC 1800 AMB AMC 90 0 a 0,25 4 AM  BC - AMC có AMC 900 ; ACM 45 0 ( ABC vuông cân tại A) 0,5 AMC vuông cân tại M MA = MC (1) 0 0 Ta có: M2 M 3 90 (MD  ME) và M3 M 4 90 (AM  BC) 0,25 M2 M 4 (2) BAC - Do ABM = ACM MAB MAC 450 0,25 b 2 Xét AMD và CME có: 0 AM = CM (theo (1)); M2 M 4 (theo (2)); MAD ACM 45 0,5 AMD = CME (g.c.g) MD = ME
4. Trên tia đối của tia MD lấy F sao cho MF = MD. Từ F kẻ FH  AB tại H. 0,25 - Chứng minh MDB = MFC (c.g.c) từ đó suy ra FC // AB và FC  AC. 0,25 - Chứng minh HAC = CFH từ đó suy ra HF = AC c Do AMD = CME AD = CE AD + AE = AC. Do MD = ME nên MD + ME = 2MD = DF 0,25 Mặt khác DF HF DF AC hay MD + ME AD + AE - Dấu “=” khi MD  AB. Vì a + b = c + d = 25 nên 1 a , b , c , d 24 c d Nếu cả hai phân số và đều lớn hơn 1 thì c + d > a + b. Trái giả thiết. b a 0,25 Vậy có một phân số không vượt quá 1. c Không mất tính tổng quát giả sử 1 b d c d 0,25 + Nếu d 23 thì 23 (vì a 1) M 1 23 24 (1) a b a 1 24 5 + Nếu d 24 thì c = 1 M b a 24 - Nếu a > 1 thì M 1 13 (2) 0,25 2 1 24 577 - Nếu a = 1 thì b = 24 M (3) 24 1 24 577 Từ (1), (2) và (3) suy ra Max( M ) 24 0,25 Dấu “=” xảy ra khi a = c = 1; b = d = 24 hoặc a = c = 24; b = d = 1. Chú ý : Nếu HS làm cách khác, đúng vẫn cho điểm tối đa.